【正文】 算例一：s. t. 理論最優(yōu)解：[1 1]T 1 分別用本課題開(kāi)發(fā)的軟件和matlab優(yōu)化工具箱中優(yōu)化函數(shù)求解，結(jié)果如表41所示：算法最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)值迭代次數(shù)罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法[1 1]112罰函數(shù)外點(diǎn)法[1 1]8罰函數(shù)混合法[ 1]111matlab優(yōu)化工具箱中優(yōu)化函數(shù)fmincon[1 1]1 表41算例二：s. t. 理論最優(yōu)解：[ ]T 分別用本課題開(kāi)發(fā)的軟件和matlab優(yōu)化工具箱中優(yōu)化函數(shù)求解，結(jié)果如表42所示： 算法最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)值迭代次數(shù)罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法罰函數(shù)外點(diǎn)法[ ]1罰函數(shù)混合法[ ]10matlab優(yōu)化工具箱中優(yōu)化函數(shù)fmincon[ ] 表42 算例二中，用matlab優(yōu)化工具箱中優(yōu)化函數(shù)fmincon求解時(shí)，命令窗口中出現(xiàn)如下提示：Maximum number of function evaluations exceeded。90年代又逐步拓展其數(shù)值計(jì)算、符號(hào)解析運(yùn)算、文字處理、圖形功能等等，并采用面向?qū)ο蟮某呒?jí)語(yǔ)言作為用戶(hù)界面，使MATLAB成為一個(gè)多領(lǐng)域、多學(xué)科、多功能的優(yōu)秀科技應(yīng)用軟件，占據(jù)了數(shù)值型軟件市場(chǎng)的主導(dǎo)地位。2．2．5 三種算法的比較算法特點(diǎn)適用場(chǎng)合懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法將約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，初始點(diǎn)應(yīng)取為嚴(yán)格滿足各個(gè)不等式約束條件的內(nèi)點(diǎn)，懲罰因子應(yīng)取為單調(diào)遞減的正數(shù)序列，初試罰因子的選擇恰當(dāng)與否對(duì)收斂速度和求解成敗有較大影響。這時(shí)，其初始點(diǎn)應(yīng)為內(nèi)點(diǎn)；而值可參照內(nèi)點(diǎn)法選??；其迭代程序則與內(nèi)點(diǎn)法的相類(lèi)似。2） 從點(diǎn)出發(fā)用無(wú)約束最優(yōu)化方法求解： 得 其中3） 計(jì)算點(diǎn)違反約束的最大量： 4） 檢驗(yàn)迭代終止準(zhǔn)則：如果滿足則可以認(rèn)為點(diǎn)已接近約束邊界，停止迭代。這就保證了在可行域內(nèi)與是等價(jià)的。求出(k+1)后，便可按式的方法決定新的探索方向：可以證明，這樣產(chǎn)生的方向也是共扼方向，而且對(duì)于非二次函數(shù)來(lái)說(shuō)，它比用其它方法產(chǎn)生的共輛方向共扼性更好。由于這一類(lèi)方法的迭代形式與牛頓法類(lèi)似。通常，當(dāng)初始點(diǎn)是一個(gè)嚴(yán)格的內(nèi)點(diǎn)時(shí)，則應(yīng)使懲罰項(xiàng)在新目標(biāo)函數(shù)中所起的作用與原目標(biāo)函數(shù)的作用相當(dāng)，于是得 倘若約束區(qū)域是非凸的且初始點(diǎn)亦不靠近約束邊界，則的取值可更小些，約為上式算得值的0．1——0．5倍。在計(jì)算中一旦取得即可以停機(jī)以節(jié)省時(shí)間，這樣得到的點(diǎn)作為初始點(diǎn)至少比原初始點(diǎn)要多滿足一個(gè)約束條件。因此，懲罰因子又稱(chēng)為懲罰參數(shù)。通常?。?．0，0．1，0．01，0．001，…。所以在這種情況下，探索結(jié)果經(jīng)常與初始點(diǎn)的選擇有關(guān)。由此可見(jiàn)，在最優(yōu)化設(shè)計(jì)工作中開(kāi)展對(duì)數(shù)學(xué)模型的理論研究，十分重要。任何一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題均可歸結(jié)為如下的描述，即：在滿足給定的約束條件(決定n維空間En中的可行域)下，選取適當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)變量x，使其目標(biāo)函數(shù)f（x）達(dá)到最憂值。1．2 本課題的主要工作利用Matlab軟件開(kāi)發(fā)和編寫(xiě)約束優(yōu)化方法軟件包，包括間接解法中的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和混合懲罰函數(shù)法，并提供用戶(hù)可視化界面。國(guó)外的優(yōu)化軟件目前來(lái)說(shuō)較成熟和應(yīng)用較廣的為MATLAB的優(yōu)化工具箱。在我國(guó), 優(yōu)化設(shè)計(jì)的推廣和應(yīng)用也遇到很多問(wèn)題, 主要表現(xiàn)在目前的優(yōu)化設(shè)計(jì)應(yīng)用軟件都存在一定的局限性。 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)就是把機(jī)械設(shè)計(jì)與數(shù)學(xué)規(guī)劃理論及方法相結(jié)合，借助電子計(jì)算機(jī)，尋求最優(yōu)設(shè)計(jì)方案和最佳設(shè)計(jì)參數(shù)。本課題研制了一個(gè)基于MATLAB的約束優(yōu)化算法軟件包，該軟件包有著友好的圖形用戶(hù)界面（GUI）和求解的直觀性。本文介紹了約束優(yōu)化算法軟件包的開(kāi)發(fā)過(guò)程和其使用方法，對(duì)計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)有一定的幫助。 本課題的現(xiàn)狀及其研究意義從70 年代起, 優(yōu)化方法開(kāi)始應(yīng)用于工程設(shè)計(jì),各個(gè)專(zhuān)業(yè)的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究工作有了不同程度的發(fā)展,出現(xiàn)了許多與各專(zhuān)業(yè)相聯(lián)系的工程優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件。當(dāng)用戶(hù)進(jìn)行實(shí)際工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí), 不僅必須創(chuàng)建自己復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型, 而且要編制一些程序, 然后調(diào)用軟件中的某一優(yōu)化子程序。90年代又逐步拓展其數(shù)值計(jì)算、符號(hào)解析運(yùn)算、文字處理、圖形功能等等，并采用面向?qū)ο蟮某呒?jí)語(yǔ)言作為用戶(hù)界面，使MATLAB成為一個(gè)多領(lǐng)域、多學(xué)科、多功能的優(yōu)秀科技應(yīng)用軟件，占據(jù)了數(shù)值型軟件市場(chǎng)的主導(dǎo)地位。③ 通過(guò)良好的可視化界面，可以較直觀地了解尋優(yōu)求解的過(guò)程。對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型往往會(huì)遇到很多困難，有時(shí)甚至比求解更為復(fù)雜。在實(shí)際工程中，大部分問(wèn)題的變量取值都有一定的限制，也就是屬于有約束條件的尋優(yōu)問(wèn)題。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的問(wèn)題，大多數(shù)屬于約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，起數(shù)學(xué)模型為min .(subject to) v=1，2，…，p u=1，2，…，m約束優(yōu)化問(wèn)題的約束條件一般有等式約束和不等式約束，根據(jù)求解方式的不同，可分為直接解法和間接解法等。這時(shí)對(duì)設(shè)計(jì)變量起懲罰作用，使其在迭代過(guò)程中始終不會(huì)觸及約束邊界。遞減系數(shù)C＝0．1一0．5，常取0．1，亦可取0．02。 還可以采用隨機(jī)選擇初始點(diǎn)的方法來(lái)尋找可行的初始點(diǎn)。但如果值又取得太大，則又會(huì)發(fā)生上述毛病。其遞推形式為 式中： E——校正矩陣，它應(yīng)只依賴(lài)于本次迭代的，和相應(yīng)的梯度，向量。但是計(jì)算的程序較復(fù)雜，且需要較大的存貯量，特別是在有舍入誤差時(shí)，也存在數(shù)值穩(wěn)定性不夠理想的情況。對(duì)懲罰函數(shù)求無(wú)約束極值，其結(jié)果將隨給定的懲罰因子的值而異。外點(diǎn)法的計(jì)算程序框圖如下所示： 圖24 外點(diǎn)法程序框圖2．2．4 懲罰函數(shù)混合法2．2．4．1 懲罰函數(shù)混合法的原理鑒于內(nèi)點(diǎn)法和外點(diǎn)法備有優(yōu)缺點(diǎn)，因此在懲罰函數(shù)法中又出現(xiàn)了所謂混合法。3) 求解，得。用于求解含有不等式約束和等式約束的中等維度的優(yōu)化問(wèn)題。用戶(hù)通過(guò)一定的方法（如鼠標(biāo)或鍵盤(pán)）選擇、激活這些圖形對(duì)象，使計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某種動(dòng)作或變化，比如實(shí)現(xiàn)計(jì)算、繪圖等。5 結(jié)論 本課題研制開(kāi)發(fā)了一個(gè)可視化的約束優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件，適用于教學(xué)過(guò)程中幫助學(xué)生更好的理解優(yōu)化算法的尋優(yōu)過(guò)程，主要完成了以下工作：（1）完成了懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和混合法程序的編制；（2）算法具有可選性，即用戶(hù)可自主選擇所需優(yōu)化方法并設(shè)置優(yōu)化參數(shù)；（3）可求解任意維的約束優(yōu)化問(wèn)題，對(duì)二維優(yōu)化問(wèn)題，提供模型等值線圖和約束條件的圖象以