高等數(shù)學上期末復習資料大全(編輯修改稿)
2025-02-04 13:46 本頁面
【文章內容簡介】 21???18?例 16. 計算拋物線 xy 22 ? 與直線 的面積 . 4?? xy 所圍圖形 )2,2( ?為簡便計算 , 選取 y 作積分變量 , 則有 yyy d????? 4 2A 空間曲線的切線與法平面 切線方程 000 zzyyxx ?????法平面方程 ))(( 00 xxt ????????????)()()(:tztytx???空間光滑曲線 切向量 )( 0t?? )( 0t?? )( 0t??)()( 00 yyt ??? ? 0))(( 00 ???? zzt?))(,)(,)(( 000 tttT ??? ????zyxo切線方程 ?? Rx法平面方程 xR?022 ??? kzkxR ?即 ????????002RykRzRxk ?即 解 : 0Ry ?kkz 2???),0( 20 kRM ?對應的切向量為 0)( 2 ??? kzk ?例 17. 求圓柱螺旋線 的切線方程和法平面方程 . 在 ),0,( kRT ?? , 故 由于 ayxb例 18計算由橢圓 所圍圖形繞 x 軸旋轉而 轉而成的橢球體的體積 . 解 利用直角坐標方程 則 xxaab a d)(2 20 222?? ??(利用對稱性 ) ?????? ?? 3222312 xxaab?0a234 ab??o?? aV 02 xy d2?x.12354:)2,1,3(M方程的平面且通過直線設過點zyxL ?????例 19 解法一 [利用 平面束 解之 .] ?????????????????.123,235412354zyyxzyx直線設通過直線 L 的平面方程為 ： ??????????.032,02352zyyx,0)32(2352 ?????? zyyx ?將 x=3,y=1,z=2代入上式，得 .411??程：代入上式得所求平面方再將 411??.059298 ???? zyx例 20 且與直線 :1l求通過直線?????????083,042zyzx?????????06,04:2 zyyxl 平行的平面方程 . 解 設通過直線 平面的方程為 1l( * ),0)83(42 ?????? zyzx ?,048)2(3 ?????? ??? zyx110011???kjiskji ???:?的方向向量直線 2l的方向向量垂直，即與直線的法向量根據(jù)題意平面21))2(,3,1( ln ?????.111 ），（?,01)2(1311 ??????? ?? ,23???代入 (*),得 .032792: ???? zyx? 上述方程表示通過定直線 L的所有平面的全體 , 稱為平面束 . 平面束 考慮三元一次方程 : A1x?B1y?C1z?D1??(A2x?B2 y?C2z?D2)?0, 即 (A1??A2)x?(B1??B2)y?(C1??C1)z?D1??D2?0, 其中 ?為任意常數(shù) . 其中系數(shù) A B C1與 A B C2不成比例 . ???????????0022221111DzCyBxADzCyBxA , 設直線 L的一般方程為 1. 函數(shù)的極值問題 第一步 利用必要條件在定義域內找駐點 . 即解方程組 第二步 利用充分條件 判別駐點是否為極值點 . 2. 函數(shù)的條件極值問題 (1) 簡單問題用代入法 ,),( yxfz ??????0),(0),(yxfyxfyx如對二元函數(shù) (2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法 例 20 要設計一個容量為 0V則問題為求 x , y , 令 解方程組 解 設 x , y , z 分別表示長、寬、高 , 下水箱表面積 最小 . z 使在條件 02 ??? zyyz ?02 ??? zxxz ?0)(2 ??? yxyx ?00 ?? Vzyx水箱長、寬、高等于多少時所用材料最省？ 的長方體開口水箱 , 試問 0Vzyx ? yxzyzxS ??? )(2)()(2 0VzyxyxzyzxF ????? ?xyz得唯一駐點 ,22 3 0Vzyx ??? 3024V???由題意可知合理的設計是存在的 , 長、寬為高的 2 倍時，所用材料最省 . 因此 , 當高為 ,3 40Vxyz思考 : 1) 當水箱封閉時 , 長、寬、高的尺寸如何 ? 提示 : 利用對稱性可知 , 3 0Vzyx ???2) 當開口水箱底部的造價為側面的二倍時 , 欲使造價 最省 , 應如何設拉格朗日函數(shù) ? 長、寬、高尺寸如何 ? 提示 : )()(2 0VzyxyxzyzxF ????? ?2長、寬、高尺寸相等 . ? ? ? ?? ?00 0 0 0 0 00 0 0, , c os , , c os, , c os .xyPzuf x y z f x y zlf x y z???????? 且 的方向余弦為 , 則 l c os , c os , c os? ? ?0Pf 在 點可微 若 ) , , ( z y x f u ? ? ? ? ?0
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