【文章內(nèi)容簡介】 ? 特點： 矢量線上任意點的切線方向必定與該點的矢量方向相同 ? 矢量線方程（直角坐標系）： x y zd x d y d zA A A??167。 場的概念 矢量線的作用 1 根據(jù)矢量線確定矢量場中各點矢量的 方向 2 根據(jù)各處矢量線的疏密程度，判別出各處矢量的 大小及變化趨勢 。 ABA點受到向下電場力 B點受到向下電場力 A點比 B點受到的力大 越密矢量越大 167。 場的概念 例 11 求數(shù)量場 φ=(x+y)2z 通過點 M(1, 0, 1) 的等值面方程 。 解： 點 M的坐標是 x0=1, y0=0, z0=1， 則該點的數(shù)量場值為 φ=(x0+y0)2z0=0。 其等值面方程為 2( ) 0x y z? ? ?2()z x y??或 ： 167。 場的概念 例 12 求矢量場 的矢量線方程 解： 矢量線應滿足的微分方程為 2 2 2d x d y d zx y x y y z??2222d x d yx y x yd x d zx y y z?????????1222z c xx y c? ???? ???從而有 c1和 c2是積分常數(shù)。 2 2 2x y zA x y e x y e zy e? ? ?167。 場的概念 167。 標量場的方向?qū)?shù)和梯度 167。 標量場方向?qū)?shù) (標量 ) Directional Derivative 設 M0是標量場 φ=φ(M)中的一個已知點 ， 從 M0出發(fā)沿某一方向引一條射線 l, 在 l上 M0的鄰近取一點 M，MM0=ρ， 若當 M趨于 M0時 (即 ρ趨于零時 ) 0( ) ( )MM??????? ?的極限存在 ， 稱此極限為函數(shù) φ(M) 在點 M0處沿 l方向的方向?qū)?shù) ， 記為 000( ) ( )limMMMMMl??????? ??結(jié)論： 0Ml???)(M? 0M l? 方向?qū)?shù) 是函數(shù) 在點 處沿方向 對距離的變化率 0l?? ??表明 M0處函數(shù) Φ 沿 l 方向增加，反之減小 ? 若函數(shù) φ=φ(x, y, z)在點 M0(x0, y0, z0)處可微， cosα、cosβ、 cosγ為 l方向的方向余弦，則函數(shù) φ在點 M0處沿 l方向的方向?qū)?shù)必定存在，且為 0c o s c o s c o sMl x y z? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?167。 標量場方向?qū)?shù) 證明： M點的坐標為 M(x0+Δx, y0+Δy, z0+Δz)，由于函 數(shù) φ在 M0處可微，故 0( ) ( )M M x y zx y z? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?兩邊除以 ρ，可得 x y zx y z? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?當 ρ趨于零時對上式取極限，可得 c o s c o s c o sl x y z? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?c o s c o s c o sx y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?167。 標量場方向?qū)?shù) 解： l方向的方向余弦為 1 2 2c o s c o s c o s3 3 3? ? ?? ? ?2222 2 ( ),u x u y u x yx z y z z z? ? ? ? ?? ? ?? ? ?c o s c o s c o su u u ul x y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?1 2 2 2 2113 3 3 4 3Ml?? ? ? ? ? ? ? ??而 數(shù)量場在 l 方向的方向?qū)?shù)為 點 M處沿 l方向的方向?qū)?shù) 2221 2 2 2 23 3 3x y x yzz z?? ? ?例 13 求數(shù)量場 在點 M(1, 1, 2)處沿 方向的方向?qū)?shù) 22xyuz??22x y zl e e e? ? ?167。 標量場方向?qū)?shù) 167。 標量場的梯度 (矢量 ) gradient 在直角坐標系中 x y zg r a d G e e ex y z? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?梯度的定義： 在標量場 中的一點 M處 ， 其 方向 為函數(shù) 在 M點處變化率最大的方向 ， 其 模 又恰好等于最大變化率的 矢量 ， 稱為標量場 在 M點處的梯度 ， 用 表示 。 ()M?()M?()M?G()grad M?方向： 函數(shù) 在 M點處變化率最大的方向 ()M?||G大小： 最大變化率的矢量的模 c o s c o s c o sl x y z? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?在直角坐標系中，令 x y zG e e ex y z? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?已知： 證明： 標量場 在任意方向 l上的方向?qū)?shù)為 ()M?0 c o s c o s c o sx y zl e e e? ? ?? ? ?00c o s ( , )G l G G ll?? ? ? ??證明沿 方向的方向?qū)?shù) 最大，且 Gma xGl?? ??l???x y zG e e ex y z? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?已知： 0c os ( , ) 1Gl ?ma xGl?? ??與 方向一致，且 Gl167。 標量場的梯度 0ll?????? ??梯度的性質(zhì)： )(M?)(M?》 標量場 中每一點 M處的梯度垂直于過該點的等值面，且指向函數(shù) 的增大方向。即梯度為該等值面的法向矢量。 》 在某點 M處沿任意方向的方向?qū)?shù)等于該點處的梯度在此方向上的投影。 》 任一點梯度的模等于該點各方向上方向?qū)?shù)最大值 167。 標量場的梯度 梯度運算法則 2200( ) ( )( ) ( )( ) ( )11( ) ( )[ ( ) ] 39。 ( ) [ ( ) ] 39。 ( )gra dc cgra d c u c gra du c u c ugra d u v gra du gra dv u v u vgra d u v v gra du u gra dv u v v u u vuugra d v gra du u gra dv v u u vvvvvgra d f u f u gra dv f u f u u? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?或或或或或或167。 標量場的梯度 1 ()x y zg r a d r r x e y e z er? ? ? ? ?點 M處的坐標為 x=1, y=0, z=1, 且 2 2 2 2r x y z? ? ? ?1122xzg r a d r r e e? ? ? ?r在 M點沿 l方向的方向?qū)?shù)為 0Mr rll? ? ? ??解： r的梯度為 例 15 求 r在 M(1,0,1)處沿 22x y zl e e e? ? ?而 0 1 2 23 3 3x y zll e e el? ? ? ?所以 1 1 2 1 2 103 3 32 2 2Mrl? ? ? ? ? ? ? ??所以 r在 M點的梯度為 167。 標量場的梯度 證明見例 14 矢量單位化方法 167。 矢量場的通量和散度 167。 矢量場的通量（ flux） 一、面元矢量： 面積很小的有向曲面 dSnSd ?? ?方向： 開曲面上的面元 閉合面上的面元 確定繞行 l的方向后， 沿繞行方向按右手 螺旋 — 拇指方向 閉合曲面的 外法線方向 二、通量（標量） A? Sd? 穿過面元 的通量 A? 穿過整個曲面 S的通量 A? 穿過閉合曲面 S的通量 dSASdA ?c o s???? ???? ???? SS dSASdA ?c os???? ???? SS dSASdA ?c os??通量特性： 反映某一空間內(nèi)場源總的特性 — 凈流量 通過閉合面 S的通量的物理意義 （流出正，流入負） 》 Ψ0，穿出多于穿入， S內(nèi)有發(fā)出矢量線的 正源 》 Ψ0， 穿出 少于穿入， S內(nèi)有 匯集矢量線的 負源 》 Ψ=0， 穿出 等于穿入， S內(nèi) 無源 ，或 正源負源代數(shù)和為 0 A ?ndS167。 矢量場的通量 167。 矢量場的散度 (標量 )(divergence) VSdASV ???????0l i m A?散度的定義： 極限存在，此極限為矢量場 在某點的散度 0lim SVA d Sd iv A V???? ??散度的定義式： 散度的物理意義： 》 散度表征矢量場