【文章內容簡介】 像電荷 來等效。在介質 2中的電場是源電荷通過介質分界面上的感應束縛電荷在下半空間作用的結果 , 在上半空間用一鏡象電荷代替界面上的感應束縛面電荷在下半空間產生的場，則 φ2 為： 39。q2 2 00z???＝ （ ）在介質分界面上，場存在的邊界條件是： 則 1 2 1 2n n t tD D E E??為了求介質 1中的場，將整個空間充滿 ε 1介質，設在源電荷 q對稱位置上的鏡像電荷為 39。q1 441 1 1 2qqrr? ? ? ? ????即 22 4qr? ?????在介質 ε 2中，場是由 產生的。將整個空間看成是充滿介質 ε 2，則介質 ε 2中的場由在源點電荷上的象電荷 產生 39。39。q39。39。q在介質 1中，界面上 p點的電場強度的切向分量 1 si n si n si n2 2 24 4 41 1 1tq q q qr r rE ? ? ?? ? ? ? ? ??? ????在介質 2中，電場是由 產生的。電場強度切向分量為 39。39。q2 si n24 2tqrE ??????根據邊界條件可得 21 2 21 2 1 2q q q q? ? ?? ? ? ??? ??????注意： 鏡象電荷不能放在要討論的區(qū)域中，放在被討論的區(qū)域中時將會改 變所放置區(qū)域的電位分布，所得出的電位將不滿足原來的拉普拉斯 方程或泊松方程。 鏡像電荷周圍的介質應該是與被討論的區(qū)間一致的。 所得電位函數必須滿足原來的邊界條件。 可以用類似的方法來處理兩種磁介質分界面兩邊的磁場計算問題。 靜態(tài)場的鏡像法求解 ? 鏡象法是利用一個與源電荷相似的點電荷或線電荷來代替或等效實際電荷所產生的感應電荷，這個相似的電荷稱為鏡象電荷，然后通過計算由源電荷和鏡象電荷共同產生的合成電場，而得到源電荷與實際的感應電荷所產生的合成電場。 ? 鏡像法求解注意： ? 鏡象電荷不能放在要討論的區(qū)域中，放在被討論的區(qū)域中時將會改變所放置區(qū)域的電位分布，所得出的電位將不滿足原來的拉普拉斯方程或泊松方程。 ? 鏡像電荷周圍的介質應該是與被討論的區(qū)間一致的。 ? 所得電位函數必須滿足原來的邊界條件。 ? 可以用類似的方法來處理兩種磁介質分界面兩邊的磁場計算問題。 球形邊界問題 如圖（ page107,圖 ），接地導體球，半徑為 a，在球外與球心相 距為 d的 p點處有一點電荷 q，點電荷 q將在導體球表面產生感應負電 荷，球外任一點的電位應等于這些感應電荷與點電荷 q產生的電位之 和。 4412qqrr? ? ? ? ????設想把導體球移開，用一個鏡象電荷代替球面上的感應負電荷，為了不改變球外的電荷分布，鏡象電荷必須放在導體球內。又由于球對稱性，這個鏡象電荷必然在點電荷 q與球心所在的同一條直線上。又由于靠近點電荷 q的球面部分，感應電荷密度大些，所以鏡象電荷必定在 OM線段上，設在 b點 ,OM=b，則位函數表達式為 da q39。q? 若考慮球面一點的電位，因為是接地，則 : ? ∴ …… ① ? 現(xiàn)考慮邊界問題目的是要由已知 d,a,q確定的大小。 ? 在 M,N兩個特殊點考慮邊界： ? 在 M點： ? …… ② ? 同理在 N點： ? …… ③ ? ∴ 04412qqrr? ? ? ????2121 rrqqrqrq ?????qqadbarr ??????12qqadbarr ??????12dab2? qdaq ???aqqd? ??可求出： 可知鏡象電荷與源電荷總是極性相反的，確定了鏡像電荷的位置和電量大小，則位函數表達式就確定了。采用鏡象法后，球面外區(qū)域的電位函數相對容易計算。 如圖（ page108,圖 ），若導體球不接地，導體球上的靜電荷為 0，并且球面電位不為 0，但仍保持為等位面，為了滿足導體球上靜電荷為 0的條件，還需加入另一鏡象電荷 , 使 qqq?? ???即： 0qq? ????球面電位為： 4 q a? ?????球 面4 4 412q q qp r r r? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ?導體球外各點的電位由 q, 和 共同產生： 39。q q 圓柱形邊界問題 一無限長帶電線，電荷密度為 ,與半徑為 a的無限長導電圓柱的軸線平行，線與圓柱軸線的距離為 d，無限長導電圓柱等效為接地。 4412qqrr? ? ? ? ????利用球形邊界的分析方法：導電圓柱體上的鏡象線電荷為 : l?ll??? ??鏡象線電荷與圓柱軸線的偏心距離為 : 2adb ?這樣，用鏡象線電荷取代圓柱形導電體，就把問題簡化為了求兩條平行等值異號線電荷的電位和電場。 分離變量法 分離變量法是求解拉普拉斯方程的基本方法，該方法把一個多變量的函數表示成為幾個單變量函數的乘積后，再進行計算。與完全的數學求解不同，針對具體物理問題使用該方法求解時，將要結合一些物理概念進行分析求解。 通過分離變量，它將函數的偏微分方程分解為帶 “ 分離 ” 常數的幾個單變量的常微分方程。不同坐標系分解出來的單變量常微分方程的形式不同，其通解的形式也不同。坐標系的選擇應盡量使場域邊界面平行于坐標面。例如：矩形域應選直角坐標系；圓柱形域應選圓柱坐標系；球形域應選球坐標系。 直角坐標系中的分離變量法 如果所討論的場域的邊界面是平面，而且這些平面相互平行或相互垂直時，應選擇直角坐標系。在直角坐標系中，位函數 φ 的拉普拉斯方程為 2222 02 2 2x y z???? ???? ? ? ? ?? ? ?令 φ為三個單變量函數的乘積，即 ( , , ) ( ) ( ) ( )x y z f x g y h z? ?代入上式，并在兩端