【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 d t? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?得到： (1 )d m d mmud t d t?? ? ?解得： 0( ) (1 ) l n ()mtu mt???? 理想火箭與一級(jí)火箭最大的區(qū)別在于，當(dāng)火箭燃料耗盡時(shí)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也逐漸拋盡，它的最終質(zhì)量為 mP， 所以最終速度為： 0(1 ) l nPmum????只要 m0足夠大，我們可以使衛(wèi)星達(dá)到我們希望它具有的任意速度。 考慮到空氣阻力和重力等因素，估計(jì)（按比例的粗略估計(jì)）發(fā)射衛(wèi)星要使 υ= /秒才行，則可推算出 m0/ mp約為 51,即發(fā)射一噸重的衛(wèi)星大約需要 50噸重的理想火箭 理想過(guò)程的實(shí)際逼近 —— 多級(jí)火箭衛(wèi)星系統(tǒng) 記火箭級(jí)數(shù)為 n，當(dāng)?shù)?i級(jí)火箭的燃料燒盡時(shí)，第 i+1級(jí)火箭立即自動(dòng)點(diǎn)火，并拋棄已經(jīng)無(wú)用的第 i級(jí)火箭。用 mi表示第i級(jí)火箭的質(zhì)量， mP表示有效負(fù)載。 先作如下假設(shè)： （ i）設(shè)各級(jí)火箭具有相同的 λ ,即 i級(jí)火箭中 λmi為結(jié)構(gòu)質(zhì)量，（ 1λ） mi為燃料質(zhì)量。 （ ii） 設(shè)燃燒級(jí)初始質(zhì)量與其負(fù)載質(zhì)量之比保持不變，并記比值為 k。 考慮二級(jí)火箭： 由 ，當(dāng)?shù)谝患?jí)火箭燃燒完時(shí)，其末速度為： 12212ln PPm m mum m m? ??????當(dāng)?shù)诙?jí)火箭燃盡時(shí)，末速度為： 2 1 2 2222 1 2 2l n l nP P PP P Pm m m m m m muum m m m m m m? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???該假設(shè)有點(diǎn)強(qiáng)加的味道，先權(quán)作討論的方便吧 又由假設(shè)（ ii）， m2=kmP， m1=k(m2+mP)，代入上式，仍設(shè) u=3公里 /秒，且為了計(jì)算方便，近似取 λ=，則可得： 1222122113 l n 11PPPPmmm m mmmm m m???? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ???2113 l n 6 l n0 . 1 1 0 . 1 1kk??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?要使 υ2= /秒，則應(yīng)使 : 61 5 .7 50 .1 1k ek? ???即 k≈，而 : 12 149PPm m mm?? ?類似地，可以推算出三級(jí)火箭： 1 2 3 2 3 331 2 3 2 3 3ln P P PP P Pm m m m m m m m mum m m m m m m m m? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ???在同樣假設(shè)下 : 33113 l n 9 l n0 .1 1 0 .1 1kk? ??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?要使 υ3= /秒，則 (k+1)/(+1)≈， k≈，而（ m1+ m2+ m3+ mP） / mP≈77。 三級(jí)火箭比二級(jí)火箭幾乎節(jié)省了一半 是否三級(jí)火箭就是最省呢？最簡(jiǎn)單的方法就是對(duì)四級(jí)、五級(jí)等火箭進(jìn)行討論。 考慮 N級(jí)火箭： 記 n級(jí)火箭的總質(zhì)量（包含有效負(fù)載 mP）為 m0 ，在相同的假設(shè)下可以計(jì)算出相應(yīng)的 m0/ mP的值，見(jiàn)表 32 n（ 級(jí)數(shù) ） 1 2 3 4 5 … ∞ （ 理想 ） 火箭質(zhì)量 （ 噸 ） / 149 77 65 60 … 50 表 32 由于工藝的復(fù)雜性及每節(jié)火箭都需配備一個(gè)推進(jìn)器，所以使用四級(jí)或四級(jí)以上火箭是不合算的，三級(jí)火箭提供了一個(gè)最好的方案。 當(dāng)然若燃料的價(jià)錢很便宜而推進(jìn)器的價(jià)錢很貴切且制作工藝非常復(fù)雜的話，也可選擇二級(jí)火箭。 火箭結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì) 3中已經(jīng)能說(shuō)過(guò)假設(shè) (ii)有點(diǎn)強(qiáng)加的味道；現(xiàn)去掉該假設(shè)，在各級(jí)火箭具有相同 λ 的粗糙假設(shè)下，來(lái)討論火箭結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計(jì)。 W1=m1+… + mn+ mP W2=m2+… + mn+ mP …… Wn= mn+ mP Wn+1= mP 記 應(yīng)用（ ）可求得末速度： 121 2 2 3 1ln nnnnWWWum W m W m W? ? ? ? ???????? ? ???1121, n nnWW kkWW ???記 11212 1ln11 11nnnnnWWWWuWWW W?? ????????? ? ? ??? ????? ? ? ??? ????則 1 1 2 1 121 2 3 1nnnW W W W k k kW W W W??? ? ?又 問(wèn)題化為，在 υn一定的條件下，求使 k1 k2… kn最小 1ln [ ( 1 ) ] [ ( 1 ) ]nnkkukk? ? ? ?? ? ? ? ?解條件極值問(wèn)題： ? ?12121m in..[ ( 1 ) ] [ ( 1 ) ]nnnk k kk k ks t Ckk? ? ? ??? ? ? ?或等價(jià)地求解無(wú)約束極值問(wèn)題： 12121m in [ ( 1 ) ] [ ( 1 ) ]nnnk k kk k k a Ckk? ? ? ?????????????? ? ? ?????可以解出最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)應(yīng)滿足： 12 nk k k? ? ?火箭結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)討論中我們得到與假設(shè)（ ii）相符的結(jié)果，這說(shuō)明前面的討論都是有效的！ 167。 藥物在體內(nèi)的分布 何為房室系統(tǒng)？ 在用微分方程研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們常常采用一種叫 “ 房室系統(tǒng) ” 的觀點(diǎn)來(lái)考察問(wèn)題。根據(jù)研究對(duì)象的特征或研究的不同精度要求，我們把研究對(duì)象看成一個(gè)整體（單房室系統(tǒng)）或?qū)⑵淦史殖扇舾蓚€(gè)相互存在著某種聯(lián)系的部分（多房室系統(tǒng)）。 房室具有以下特征：它由考察對(duì)象均勻分布而成，房室中考察對(duì)象的數(shù)量或濃度（密度）的變化率與外部環(huán)境有關(guān)，這種關(guān)系被稱為 “ 交換 ” 且交換滿足著總量守衡。在本節(jié)中，我們將用房室系統(tǒng)的方法來(lái)研究藥物在體內(nèi)的分布。在下一節(jié)中，我們將用多房室系統(tǒng)的方法來(lái)研究另一問(wèn)題。 交換 環(huán)境 內(nèi)部 單房室系統(tǒng) 均勻分布 藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認(rèn)為是與藥物當(dāng)前的濃度成正比的，即： dx kxdt?? ?????出藥物分布的單房室模型 單房室模型是最簡(jiǎn)單的模型，它假設(shè)：體內(nèi)藥物在任一時(shí)刻都是均勻分布的，設(shè) t時(shí)刻體內(nèi)藥物的總量為 x(t)；系統(tǒng)處于一種動(dòng)態(tài)平衡中，即成立著關(guān)系式： d x d x d xd t d t d t? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?入 出 藥物的輸入規(guī)律與給藥的方式有關(guān)。下面，我們來(lái)研究一下在幾種常見(jiàn)的給藥方式下體內(nèi)藥體的變化規(guī)律。 機(jī)體 環(huán)境 藥物總量 ()xtdxdt??????入dxdt??????出圖 38 假設(shè)藥物均勻分布 情況 1 快速靜脈注射 機(jī)體 環(huán)境 ()xt dxdt??????出(0)xD?只輸出不輸入房室 其解為： () ktx t De ??藥物的濃度： () ktDc t eV ?? 與放射性物質(zhì)類似，醫(yī)學(xué)上將血漿藥物濃度衰減一半所需的時(shí)間稱為藥物的血漿半衰期： 12ln 2tk?負(fù)增長(zhǎng)率的 Malthus模型 在快速靜脈注射時(shí)，總量為 D的藥物在瞬間被注入體內(nèi)。設(shè)機(jī)體的體積為 V，則我們可以近似地將系統(tǒng)看成初始總量為D，濃度為 D/V，只輸出不輸入的房室，即系統(tǒng)可看成近似地滿足微分方程： 0(0)dx kxdtxD? ????? ??（ ） 情況 2 恒速靜脈點(diǎn)滴 機(jī)體 環(huán)境 ()xt dxdt??????出(0) 0x ?恒定速率輸入房室 0Kdtdx ????????藥物似恒速點(diǎn)滴方式進(jìn)入體內(nèi)，即 : 0dx Kdt ??? ?????則體內(nèi)藥物總量滿足： 0dx k x Kdt ??（ x(0)=0） （ ） 這是一個(gè)一階常系數(shù)線性方程，其解為： 0( ) (1 )ktKx t ek??? 0( ) (1 )ktKC t eVk???或 易見(jiàn) ： 0lim () KCtt Vk?? ??稱為穩(wěn)態(tài)血藥濃度 對(duì)于多次點(diǎn)滴，設(shè)點(diǎn)滴時(shí)間為 T1，兩次點(diǎn)滴之間的間隔時(shí)間設(shè)為 T2， 則在第一次點(diǎn)滴結(jié)束時(shí)病人體內(nèi)的藥物濃度可由上式得出。其后 T2時(shí)間內(nèi)為情況 1。故： 0( ) (1 )ktKC t eVk ???（第一次） 0≤ t≤ T1 11 ()0( ) ( 1 )k T k t TKC t e eVk? ? ???T1≤ t≤ T1 +T2 類似可討論以后各次點(diǎn)滴時(shí)的情況，區(qū)別只在初值上的不同。第二次點(diǎn)滴起，患者 體內(nèi)的初始藥物濃度不為零。 情況 3 口服藥或肌注 y(t) x(t) K1y K1x 環(huán)境 機(jī)體 外部藥物 口服藥或肌肉注射時(shí)，藥物的吸收方式與點(diǎn)滴時(shí)不同，藥物雖然瞬間進(jìn)入了體內(nèi)，但它一般都集中與身體的某一部位，靠其表面與肌體接觸而逐步被吸收。設(shè)藥物被吸收的速率與存量藥物的數(shù)量成正比，記比例系數(shù)為 K1，即若記 t時(shí)刻殘留藥物量為 y(t)，則 y滿足： 1(0)dy kydtyD? ????? ??D為口服或肌注藥物總量 因而： 1() kty t De ??11( 0)ktdx k x k D edtxD?? ????? ??所以： 解得： 111( ) ( )ktktkDx t e ekk ?????111( ) ( )() ktktkDC t e eV k k ?????從而藥物濃度： 圖 39給出了上述三種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線。容易看出，快速靜脈注射能使血藥濃度立即達(dá)到峰值，常用于急救等緊急情況；口服、肌注與點(diǎn)滴也有一定的差異，主要表現(xiàn)在血藥濃度的峰值出現(xiàn)在不同的時(shí)刻，血藥的有效濃度保持時(shí)間也不盡相同。 圖 39 我們已求得三種常見(jiàn)給藥方式下的血藥濃度 C(t)，當(dāng)然也容易求得血藥濃度的峰值及出現(xiàn)峰值的時(shí)間，因而，也不難根據(jù)不同疾病的治療要求找出最佳治療方案。 新藥品、新疫苗在臨床應(yīng)用前必須經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間的基礎(chǔ)研究、小量試制、中間試驗(yàn)、專業(yè)機(jī)構(gòu)評(píng)審及臨床研究。當(dāng)一種新藥品、新疫苗研制出來(lái)后，研究人員必須用大量實(shí)驗(yàn)搞清它是否真的有用，如何使用才能發(fā)揮最大效用，提供給醫(yī)生治病時(shí)參考。在實(shí)驗(yàn)中研究人員要測(cè)定模型中的各種參數(shù)，搞清血藥濃度的變化規(guī)律，根據(jù)疾病的特點(diǎn)找出最佳治療方案（包括給藥方式、最佳劑量、給藥間隔時(shí)間及給藥次數(shù)等），這些研究與試驗(yàn)據(jù)估計(jì)最少也需要數(shù)年時(shí)間。在 2022年春夏之交的 SARS（非典）流行期內(nèi)，有些人希望醫(yī)藥部門能趕快拿出一種能治療 SARS的良藥或預(yù)防 SARS的有效疫苗來(lái)，但這只能是一種空想。 SARS的突如其來(lái)，形成了 “ 外行不懂、內(nèi)行陌生 ” 的情況。國(guó)內(nèi)權(quán)威機(jī)構(gòu)一度曾認(rèn)為這是 “ 衣原體 ” 引起的肺炎，可以用抗生素控制和治療。但事實(shí)上，抗生素類藥物對(duì) SARS的控制與治療絲毫不起作用。以鐘南山院士為首的廣東省專家并不迷信權(quán)威，堅(jiān)持認(rèn)為 SARS是病毒感染引起的肺炎，兩個(gè)月后（ 4月 16日），世界衛(wèi)生組織正式確認(rèn) SARS是冠狀病毒的一個(gè)變種引起的非典型性肺炎（注：這種確認(rèn)并非是由權(quán)威機(jī)構(gòu)定義的，而是經(jīng)對(duì)猩猩的多次實(shí)驗(yàn)證實(shí)的）。發(fā)現(xiàn)病原體尚且如此不易，要攻克難關(guān)，找到治療、預(yù)防的辦法當(dāng)然就更困難了，企圖幾個(gè)月解決問(wèn)題注定只能是一種不切實(shí)際的幻想。 上述研究是將機(jī)體看成一個(gè)均勻分布的同質(zhì)單元，故被稱單房室模型，但機(jī)體事實(shí)上并不是這樣。藥物進(jìn)入血液，通過(guò)血液循環(huán)藥物被帶到身體的各個(gè)部位，又通過(guò)交換進(jìn)入各個(gè)器官。因此，要建立更接近實(shí)際情況的數(shù)學(xué)模型就必須正視機(jī)體部位之間的差異及相互之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這就需要多房室系統(tǒng)模型。 I II k12 k21 兩房室系統(tǒng) 圖 310 圖 310表示的是一種常見(jiàn)的兩房室模型，其間的 k12表示由室 I滲透到室 II的變化率前的系數(shù)，而 k21則表示由室 II返回室 I的變化率