【文章內(nèi)容簡介】 d t? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?得到： (1 )d m d mmud t d t?? ? ?解得： 0( ) (1 ) l n ()mtu mt???? 理想火箭與一級火箭最大的區(qū)別在于，當火箭燃料耗盡時，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也逐漸拋盡，它的最終質(zhì)量為 mP， 所以最終速度為： 0(1 ) l nPmum????只要 m0足夠大，我們可以使衛(wèi)星達到我們希望它具有的任意速度。 考慮到空氣阻力和重力等因素，估計（按比例的粗略估計）發(fā)射衛(wèi)星要使 υ= /秒才行，則可推算出 m0/ mp約為 51,即發(fā)射一噸重的衛(wèi)星大約需要 50噸重的理想火箭 理想過程的實際逼近 —— 多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng) 記火箭級數(shù)為 n，當?shù)?i級火箭的燃料燒盡時，第 i+1級火箭立即自動點火，并拋棄已經(jīng)無用的第 i級火箭。用 mi表示第i級火箭的質(zhì)量， mP表示有效負載。 先作如下假設(shè)： （ i）設(shè)各級火箭具有相同的 λ ,即 i級火箭中 λmi為結(jié)構(gòu)質(zhì)量，（ 1λ） mi為燃料質(zhì)量。 （ ii） 設(shè)燃燒級初始質(zhì)量與其負載質(zhì)量之比保持不變，并記比值為 k。 考慮二級火箭： 由 ，當?shù)谝患壔鸺紵陼r，其末速度為： 12212ln PPm m mum m m? ??????當?shù)诙壔鸺急M時，末速度為： 2 1 2 2222 1 2 2l n l nP P PP P Pm m m m m m muum m m m m m m? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???該假設(shè)有點強加的味道，先權(quán)作討論的方便吧 又由假設(shè)（ ii）， m2=kmP， m1=k(m2+mP)，代入上式，仍設(shè) u=3公里 /秒，且為了計算方便，近似取 λ=，則可得： 1222122113 l n 11PPPPmmm m mmmm m m???? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ???2113 l n 6 l n0 . 1 1 0 . 1 1kk??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?要使 υ2= /秒，則應(yīng)使 : 61 5 .7 50 .1 1k ek? ???即 k≈，而 : 12 149PPm m mm?? ?類似地，可以推算出三級火箭： 1 2 3 2 3 331 2 3 2 3 3ln P P PP P Pm m m m m m m m mum m m m m m m m m? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ???在同樣假設(shè)下 : 33113 l n 9 l n0 .1 1 0 .1 1kk? ??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?要使 υ3= /秒，則 (k+1)/(+1)≈， k≈，而（ m1+ m2+ m3+ mP） / mP≈77。 三級火箭比二級火箭幾乎節(jié)省了一半 是否三級火箭就是最省呢？最簡單的方法就是對四級、五級等火箭進行討論。 考慮 N級火箭： 記 n級火箭的總質(zhì)量（包含有效負載 mP）為 m0 ，在相同的假設(shè)下可以計算出相應(yīng)的 m0/ mP的值，見表 32 n（ 級數(shù) ） 1 2 3 4 5 … ∞ （ 理想 ） 火箭質(zhì)量 （ 噸 ） / 149 77 65 60 … 50 表 32 由于工藝的復(fù)雜性及每節(jié)火箭都需配備一個推進器，所以使用四級或四級以上火箭是不合算的，三級火箭提供了一個最好的方案。 當然若燃料的價錢很便宜而推進器的價錢很貴切且制作工藝非常復(fù)雜的話，也可選擇二級火箭。 火箭結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計 3中已經(jīng)能說過假設(shè) (ii)有點強加的味道；現(xiàn)去掉該假設(shè)，在各級火箭具有相同 λ 的粗糙假設(shè)下，來討論火箭結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計。 W1=m1+… + mn+ mP W2=m2+… + mn+ mP …… Wn= mn+ mP Wn+1= mP 記 應(yīng)用（ ）可求得末速度： 121 2 2 3 1ln nnnnWWWum W m W m W? ? ? ? ???????? ? ???1121, n nnWW kkWW ???記 11212 1ln11 11nnnnnWWWWuWWW W?? ????????? ? ? ??? ????? ? ? ??? ????則 1 1 2 1 121 2 3 1nnnW W W W k k kW W W W??? ? ?又 問題化為，在 υn一定的條件下，求使 k1 k2… kn最小 1ln [ ( 1 ) ] [ ( 1 ) ]nnkkukk? ? ? ?? ? ? ? ?解條件極值問題： ? ?12121m in..[ ( 1 ) ] [ ( 1 ) ]nnnk k kk k ks t Ckk? ? ? ??? ? ? ?或等價地求解無約束極值問題： 12121m in [ ( 1 ) ] [ ( 1 ) ]nnnk k kk k k a Ckk? ? ? ?????????????? ? ? ?????可以解出最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計應(yīng)滿足： 12 nk k k? ? ?火箭結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計討論中我們得到與假設(shè)（ ii）相符的結(jié)果，這說明前面的討論都是有效的！ 167。 藥物在體內(nèi)的分布 何為房室系統(tǒng)？ 在用微分方程研究實際問題時，人們常常采用一種叫 “ 房室系統(tǒng) ” 的觀點來考察問題。根據(jù)研究對象的特征或研究的不同精度要求，我們把研究對象看成一個整體（單房室系統(tǒng)）或?qū)⑵淦史殖扇舾蓚€相互存在著某種聯(lián)系的部分（多房室系統(tǒng)）。 房室具有以下特征：它由考察對象均勻分布而成，房室中考察對象的數(shù)量或濃度（密度）的變化率與外部環(huán)境有關(guān)，這種關(guān)系被稱為 “ 交換 ” 且交換滿足著總量守衡。在本節(jié)中，我們將用房室系統(tǒng)的方法來研究藥物在體內(nèi)的分布。在下一節(jié)中，我們將用多房室系統(tǒng)的方法來研究另一問題。 交換 環(huán)境 內(nèi)部 單房室系統(tǒng) 均勻分布 藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認為是與藥物當前的濃度成正比的，即： dx kxdt?? ?????出藥物分布的單房室模型 單房室模型是最簡單的模型，它假設(shè)：體內(nèi)藥物在任一時刻都是均勻分布的，設(shè) t時刻體內(nèi)藥物的總量為 x(t)；系統(tǒng)處于一種動態(tài)平衡中，即成立著關(guān)系式： d x d x d xd t d t d t? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?入 出 藥物的輸入規(guī)律與給藥的方式有關(guān)。下面，我們來研究一下在幾種常見的給藥方式下體內(nèi)藥體的變化規(guī)律。 機體 環(huán)境 藥物總量 ()xtdxdt??????入dxdt??????出圖 38 假設(shè)藥物均勻分布 情況 1 快速靜脈注射 機體 環(huán)境 ()xt dxdt??????出(0)xD?只輸出不輸入房室 其解為： () ktx t De ??藥物的濃度： () ktDc t eV ?? 與放射性物質(zhì)類似，醫(yī)學(xué)上將血漿藥物濃度衰減一半所需的時間稱為藥物的血漿半衰期： 12ln 2tk?負增長率的 Malthus模型 在快速靜脈注射時，總量為 D的藥物在瞬間被注入體內(nèi)。設(shè)機體的體積為 V，則我們可以近似地將系統(tǒng)看成初始總量為D，濃度為 D/V，只輸出不輸入的房室，即系統(tǒng)可看成近似地滿足微分方程： 0(0)dx kxdtxD? ????? ??（ ） 情況 2 恒速靜脈點滴 機體 環(huán)境 ()xt dxdt??????出(0) 0x ?恒定速率輸入房室 0Kdtdx ????????藥物似恒速點滴方式進入體內(nèi)，即 : 0dx Kdt ??? ?????則體內(nèi)藥物總量滿足： 0dx k x Kdt ??（ x(0)=0） （ ） 這是一個一階常系數(shù)線性方程，其解為： 0( ) (1 )ktKx t ek??? 0( ) (1 )ktKC t eVk???或 易見 ： 0lim () KCtt Vk?? ??稱為穩(wěn)態(tài)血藥濃度 對于多次點滴，設(shè)點滴時間為 T1，兩次點滴之間的間隔時間設(shè)為 T2， 則在第一次點滴結(jié)束時病人體內(nèi)的藥物濃度可由上式得出。其后 T2時間內(nèi)為情況 1。故： 0( ) (1 )ktKC t eVk ???（第一次） 0≤ t≤ T1 11 ()0( ) ( 1 )k T k t TKC t e eVk? ? ???T1≤ t≤ T1 +T2 類似可討論以后各次點滴時的情況，區(qū)別只在初值上的不同。第二次點滴起，患者 體內(nèi)的初始藥物濃度不為零。 情況 3 口服藥或肌注 y(t) x(t) K1y K1x 環(huán)境 機體 外部藥物 口服藥或肌肉注射時，藥物的吸收方式與點滴時不同，藥物雖然瞬間進入了體內(nèi)，但它一般都集中與身體的某一部位，靠其表面與肌體接觸而逐步被吸收。設(shè)藥物被吸收的速率與存量藥物的數(shù)量成正比，記比例系數(shù)為 K1，即若記 t時刻殘留藥物量為 y(t)，則 y滿足： 1(0)dy kydtyD? ????? ??D為口服或肌注藥物總量 因而： 1() kty t De ??11( 0)ktdx k x k D edtxD?? ????? ??所以： 解得： 111( ) ( )ktktkDx t e ekk ?????111( ) ( )() ktktkDC t e eV k k ?????從而藥物濃度： 圖 39給出了上述三種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線。容易看出，快速靜脈注射能使血藥濃度立即達到峰值，常用于急救等緊急情況；口服、肌注與點滴也有一定的差異，主要表現(xiàn)在血藥濃度的峰值出現(xiàn)在不同的時刻，血藥的有效濃度保持時間也不盡相同。 圖 39 我們已求得三種常見給藥方式下的血藥濃度 C(t)，當然也容易求得血藥濃度的峰值及出現(xiàn)峰值的時間，因而，也不難根據(jù)不同疾病的治療要求找出最佳治療方案。 新藥品、新疫苗在臨床應(yīng)用前必須經(jīng)過較長時間的基礎(chǔ)研究、小量試制、中間試驗、專業(yè)機構(gòu)評審及臨床研究。當一種新藥品、新疫苗研制出來后，研究人員必須用大量實驗搞清它是否真的有用，如何使用才能發(fā)揮最大效用，提供給醫(yī)生治病時參考。在實驗中研究人員要測定模型中的各種參數(shù)，搞清血藥濃度的變化規(guī)律，根據(jù)疾病的特點找出最佳治療方案（包括給藥方式、最佳劑量、給藥間隔時間及給藥次數(shù)等），這些研究與試驗據(jù)估計最少也需要數(shù)年時間。在 2022年春夏之交的 SARS（非典）流行期內(nèi)，有些人希望醫(yī)藥部門能趕快拿出一種能治療 SARS的良藥或預(yù)防 SARS的有效疫苗來，但這只能是一種空想。 SARS的突如其來，形成了 “ 外行不懂、內(nèi)行陌生 ” 的情況。國內(nèi)權(quán)威機構(gòu)一度曾認為這是 “ 衣原體 ” 引起的肺炎，可以用抗生素控制和治療。但事實上，抗生素類藥物對 SARS的控制與治療絲毫不起作用。以鐘南山院士為首的廣東省專家并不迷信權(quán)威，堅持認為 SARS是病毒感染引起的肺炎，兩個月后（ 4月 16日），世界衛(wèi)生組織正式確認 SARS是冠狀病毒的一個變種引起的非典型性肺炎（注：這種確認并非是由權(quán)威機構(gòu)定義的，而是經(jīng)對猩猩的多次實驗證實的）。發(fā)現(xiàn)病原體尚且如此不易，要攻克難關(guān)，找到治療、預(yù)防的辦法當然就更困難了，企圖幾個月解決問題注定只能是一種不切實際的幻想。 上述研究是將機體看成一個均勻分布的同質(zhì)單元，故被稱單房室模型，但機體事實上并不是這樣。藥物進入血液，通過血液循環(huán)藥物被帶到身體的各個部位，又通過交換進入各個器官。因此，要建立更接近實際情況的數(shù)學(xué)模型就必須正視機體部位之間的差異及相互之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這就需要多房室系統(tǒng)模型。 I II k12 k21 兩房室系統(tǒng) 圖 310 圖 310表示的是一種常見的兩房室模型，其間的 k12表示由室 I滲透到室 II的變化率前的系數(shù)，而 k21則表示由室 II返回室 I的變化率