【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障 的臺(tái)數(shù) ， 則 Y~ b(80， ） . 故 80 臺(tái)中發(fā)生故障而 不能及時(shí)維修的概率為： .0 0 9 !)(}4{4??? ????kkkeYP例 13(續(xù) ) 第二種方法中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率小，且維 修工人減少一人。 運(yùn)用概率論討論國(guó)民經(jīng)濟(jì)問題，可以 有效地使用人力、物力資源。 4）幾 何 分 布 若隨機(jī)變量 X 的分布律為 ? ? ? ??， 211 ??? ? kpqkXP k? ?100 ???? qpqp ，其中的幾何分布．服從參數(shù)為則稱隨機(jī)變量 pX5）超 幾 何 分 布 如果隨機(jī)變量 X 的分布律為 ? ? ? ?? ?nMkCCCkXPnNknMNkM ，， m i n10 ??????均為自然數(shù)．，其中 nMN? ? 的超幾何分布．，服從參數(shù)為則稱隨機(jī)變量 nMNX超幾何分布的概率背景 一批產(chǎn)品有 N 件，其中有 M 件次品，其余 NM 件 為正品．現(xiàn)從中取出 n 件． 令： X：取出 n 件產(chǎn)品中的次品數(shù)． 則 X 的分 布律為 ? ? ? ?? ?nMkCCCkXPnNknMNkM ，， m i n10 ??????? ?分布的超幾何，服從參數(shù)為此時(shí)，隨機(jī)變量 nMNX想一想： 離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征可以 用分布律描述，非離散型的該如何描述？ 如：熊貓彩電的壽命 X是一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì) 消費(fèi)者來說，你是否在意 {X5年 }還是 {X5年零 1分鐘 } 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 一、分布函數(shù)的概念 . 定義 設(shè) X是 隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù) x， 事件 {X?x}的概率 P{X?x}稱為隨機(jī)變量 X的 分布函數(shù) 。 記為 F(x)， 即 F(x)＝ P {X?x}. 易知，對(duì)任意實(shí)數(shù) a, b (ab), P {aX?b}＝ P{X?b}－ P{X?a}＝ F(b)－ F(a). 二、分布函數(shù)的性質(zhì) 單調(diào)不減性： 若 x1x2, 則 F(x1)?F(x2)。 歸一 性： 對(duì)任意實(shí)數(shù) x， 0?F(x)?1， 且 右連續(xù)性：對(duì)任意實(shí)數(shù) x， 反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。 一般地，對(duì)離散型隨機(jī)變量 X～ P{X= xk}＝ pk, k＝ 1, 2, ? 其分布函數(shù)為 例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X具分布律 如右表 解 X 0 1 2 P 試求出 X的分布函數(shù)。 例 2 向 [0,1]區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點(diǎn)，以 X表示質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo) .假定 質(zhì)點(diǎn)落在 [0,1]區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長(zhǎng)成正比 ，求 X的分布函數(shù) 解： F(x)=P{X≤ x} 當(dāng) x0時(shí) ,F(x)=0。當(dāng) x1時(shí) ,F(x)=1 當(dāng) 0≤x≤1時(shí) , 特別 ,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1 例 3 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為： 求 X 的分布函數(shù) . X pk 21 1 2 3 4141解： 當(dāng) x 1 時(shí)，滿足 ，的集合為的 ?? XxX0 ２ x X ３ 1 x .0}{}{)( ????? PxXPxF當(dāng) ,21 時(shí)??? x滿足 X ? x 的 X 取值為 X = 1, .41}1{}{)( ?????? XPxXPxF２ x X ３ 1 x 當(dāng) ,32 時(shí)?? x滿足 X ? x 的 X 取值為 X = 1, 或 2 .2141}21{}{)( ???????? XXPxXPxF 或X pk 21 1 2 3 4141同理當(dāng) ,3 時(shí)x?.1}321{}{)( ???????? XXXPxXPxF 或或??????????????????.3,1,32,43,21,41,1,0)(xxxxxF1 0 1 2 3 x 1 ,41)21(}21{ ??? FXP,214143)23()25(}2523{ ??????? FFXP,4321431}2{)2()3(}32{??????????XPFFXP1 0 1 2 3 x 1 1 0 1 2 3 x 1 214141 分布函數(shù) F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,…) 處有跳躍， 其跳躍值為 pk=P{X= xk}. X pk 21 1 2 3 4141 例 4 一個(gè)靶子是半徑為 2 米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的 面積 成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以 X 表示彈著點(diǎn)與圓心的距離 . 試求隨機(jī)變量 X的分布函數(shù) . 解： （ 1） 若 x 0, 則 是不可能事件，于是 }{ xX ?.0)(}{)( ????? PxXPxF（ 2） ,}0{,202xkxXPx????? 由題意，若X 時(shí)于是， 20 ?? x.4}0{}0{}{)(2xxXPXPxXPXF????????（ 3） 若 , 則 是必然事件，于是 }{ xX ?2?x.1}{)( ??? xXPxF.4}20{,4/12xxPk ???? 即得與上式對(duì)比由已知得取 ,1}20{,2 ???? xPx????????????.2,1,20,4,0,0)(2xxxxxF0 1 2 3 1 F(x) x 分 布 函 數(shù) 的 性 質(zhì) 分別觀察離散型、連續(xù)型分布函數(shù)的圖象， 可以 看出，分布函數(shù) F(x) 具有以下基本性質(zhì)： ).()( 1212xFxFxx?? 時(shí)，即當(dāng)10 F (x) 是一個(gè)不減的函數(shù)． 0 1 2 3 1 F(x) x 返回主目錄 20 .1)(lim)(。0)(lim)(,1)(0??????????????xFFxFFxFxx且30 .)(),()0( 是右連續(xù)的即 xFxFxF ??1 0 1 2 3 x 1 用分布函數(shù)計(jì)算某些事件的概率 ? ? ? ? 的分布函數(shù)，則是隨機(jī)變量設(shè) XxXPxF ??? ? ? ?0??? aFaXP? ? ? ? ? ?aXPaXPaXP ?????? ? ? ?0??? aFaF? ? ? ? ? ?aXPbXPbXaP ??????? ? ? ?aFbF ??用分布函數(shù)計(jì)算某些事件的概率 ? ? ? ? ? ?aXPbXPbXaP ??????? ? ? ?0??? aFbF? ? ? ? ? ?aXPbXPbXaP ??????? ? ? ?aFbF ??? 0? ? ? ? ? ?aXPbXPbXaP ??????? ? ? ?00 ???? aFbF用分布函數(shù)計(jì)算某些事件的概率 ??bXP????1??bF??1? ? ? ?bXPbXP ???? 1 ? ?01 ??? bF例 3 的分布函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量 X? ?????????????????????xxxxxxxF313212112132102