[理學(xué)]概率習(xí)題課(編輯修改稿)
2025-02-15 14:48 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 kkg x pE Y E g X g x p????????且 收 斂 ， 則 有( 2) ( )| ( ) | ( ) d( ) [ ( ) ] ( ) ( ) d . ( 2)X f xg x f x xE Y E g X g x f x x????????????若 為 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 ， 其 概 率 密 度 為 ， 且收 斂 ， 則 有 定理 設(shè) (X,Y)為二維隨機(jī)變量， g(x,y)為二元連續(xù)函數(shù)。 的數(shù)學(xué)期望為函數(shù)絕對(duì)收斂，則隨機(jī)變量且級(jí)數(shù) ),(),(1 1YXgpyxgi jijji? ????? 1若 (X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律為 ,2,1,2,1,},{ ?? ????? jipyYxXP ijji11[ ( , ) ] ( , ) . ( 1 )i j i jijE g X Y g x y p????? ??[ ( , ) ] ( , ) ( , ) d d ( 2 )E g X Y g x y f x y x y? ? ? ?? ? ? ?? ??絕對(duì)收斂，則隨機(jī)變量函數(shù) g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望為 注意①，若 (X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率密度為 f(x,y). 有 2若 (X,Y)為二維連續(xù)隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率密度為f(x,y)且廣義積分 ? ????? ???? yxyxfyxg dd),(),(也就是說，對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量，計(jì)算 E[g(X)]用定理 。 ②但當(dāng) (X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量時(shí)，由于求邊緣分布律不復(fù)雜，用定理 E[g(x)]稍簡(jiǎn)潔些。 [ ( ) ] ( ) ( , ) d dE g X g x f x y x y? ? ? ?? ? ? ?? ??xyyxfxg dd),()( ??????? ?? ????????,)d()( xxfxg X?????? 例 4 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)只能取下列數(shù)值中的值：(0,1),(1,1),(0,1),(2,1), 且取這些值的概率依次為,. 求： (1)E(X2)。(2)E(XY). 解 由題意寫出 (X,Y)的聯(lián)合分布律并計(jì)算邊緣分布律如下： X Y 1 0 2 P{Y=yj} 1 0 1 0 P{X=xi} 1 2 2 2 2( 1 ) 2 . 3 ( ) ( 1 ) 0 . 1 0 0 . 5 2 0 . 41 . 7 .EX ? ? ? ? ? ? ??由 定 理 ，( 2) ( ) ( 1 ) ( 1 ) 0 ( 1 ) 1 0 ( 1 ) 01 2 ( 1 ) 2 1 0.i j ijijE XY x y p? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?????由 定 理 ， X Y 1 0 2 0 1 練習(xí)：設(shè)聯(lián)合分布率如下所示， ._ _ _ _ _ _ _ _ _)5,3c o v ( 22 ??? YX則 例 5 設(shè) (X,Y)的聯(lián)合概率密度為 ??? ?????.,0,0,10,3),(其他xyxxyxf).()4()。()3()。()2()。(),()1( 2 XYEYXEYEXEXE ?求：解 用定理 。 ,43d3d3ddd),()()1(1030210???????? ?????????xxyxxyxyxxfXEx.53d3d3ddd),()(104031022???????? ?????????xxyxxyxy
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