實(shí)對稱矩陣與相似對角陣(編輯修改稿)
2024-11-14 13:51 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 一定可以對角化，與之相似的對角陣的對角元素就是 A的特征值，而正交矩陣 P是其對應(yīng)的兩兩正交的單位特征向量所組成。 下面 , 給出求正交矩陣 P 的步驟 ?求實(shí)對稱矩陣 A的全部特征值 ,即求解特征方程 0|| ?? EA ? 的全部根； ?將每一個特征值分別代入 0)( ?? xEA ? 求出基礎(chǔ)解系；將基礎(chǔ)解系正交單位化 ?作正交矩陣 P ?? APP 1 ?Λ ????????????n????21? 事實(shí)上 ,做完這一步 ,就已經(jīng)求出 A的相似對角陣 . 例題分析 例 2 設(shè) ???????????211121112A 求一個正交矩陣 P 使 為對角陣 . APP 1?解 (1)求特征值 ?? EA ???????2111211122)1)(4( ??? ??故得特征值 43 ??121 ?? ??注意： 可看出，實(shí)對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù) 求出基礎(chǔ)解系 —— 特征向量 當(dāng) 時(shí) , 由 121 ?? ?????????????????????????????????000111111111321xxx0)( ?? xEA ?得基礎(chǔ)解系 ????????????0111?????????????1012?將基礎(chǔ)解系正交單位化（施密特正交單位化）； 將 正交化得 21,???????????????01111 ??212 2 111??? ? ???ξ , ηη ξ ηη , η ??????????????????????? ???????????? ?1112101121101再將 單位化得 21,???????
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