[理學(xué)]第五章相似矩陣及二次型(編輯修改稿)
2024-11-15 01:02 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ? 0? :若 n 階矩陣 A 與對(duì)角陣 ????????????????n????21相似，則 稱 A 可對(duì)角化。 二 .方陣相似對(duì)角陣的條件 : 注 ：設(shè) A 的 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量為 ， nxxx , 21 ?記矩陣 ，則 P 即為相似變換 矩陣，使 為對(duì)角陣。 ),( 21 nxxxP ????? APP 1 即 P 為 A的 n個(gè)線性無關(guān)的特征向量構(gòu)成的矩陣 證 : : (1)定理 5:n 階矩陣 A 與對(duì)角陣相似 (即 A 能對(duì)角化 ) A 有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量 (3)推論 2: 若 A的每一個(gè) 重特征值有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量 ,則 A可對(duì)角化 (2)推論 1: 若 n 階矩陣 A有 n 個(gè)相異的特征值 ,則 A可對(duì)角陣化。 注 :1)其逆命題不成立 . 2)若 為單根 ,必對(duì)應(yīng)一個(gè)線性無關(guān)的特征向量 . 若 為重根 ,當(dāng) 對(duì)應(yīng)線性無關(guān)向量個(gè)數(shù) n,A不能對(duì) 角化 . 3)對(duì)角陣主對(duì)角線元素可由 構(gòu)成 ,其順序同 P陣 . ? ? ? ? ik ik例 .若能相似于對(duì)角矩陣 ,求出 P和對(duì)角陣 . ??????????????????????????????264157113)2(,314020112)1( AA121???????????????? PPAknkkk????三 .可對(duì)角化矩陣的冪 : 結(jié)論 :求 轉(zhuǎn)化為求特征值及特征向量 . kA例 A的特征值 對(duì)應(yīng)的特征向量為 , 求 A. ,1,4 321 ??? ???T)1,0,1(3 ???T)0,1,1(2 ???T)1,1,1(1 ??第三節(jié) 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 一 .二次型及其矩陣 : :1)含有 n 個(gè)變量 的二次齊次函數(shù) nxxx , 21 ?22222211121 ),( nnnn xaxaxaxxxf ???? ??nnnn xxaxxaxxa 1,131132112 222 ?????? ?稱為 二次型 。當(dāng) 為復(fù)數(shù)時(shí)， 稱為 復(fù)二次型 ； 當(dāng) 為實(shí)數(shù)時(shí)， 稱為 實(shí)二次型 。 ijafija f 2)：只含平方項(xiàng)的二次型，稱為二次型的 標(biāo)準(zhǔn)形 （或 法式 ） 若標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù) 只在 1，－ 1， 0 中取值， 則稱為二次型的 規(guī)范形 。 nkkk , 21 ? nn xxaxxaxa 1121122111 ???? ?取 ，則 jiij aa ? ijjijiijjiij xxaxxaxxa ??2此時(shí) 22222211121 ),( nnnn xaxaxaxxxf ???? ??nnnn xxaxxaxxa 1,131132112 222 ?????? ?nn xxaxaxxa 2222221221 ???? ?22211 nnnnnnn xaxxaxxa ????? ?????njijiij xxa1,)( 12121111 nn xaxaxax ???? ? )( 22221212 nn xaxaxax ???? ?)( 2211 nnnnnn xaxaxax ????? ?? : )( 12121111 nn xaxaxax ???? ? )( 22221212 nn xaxaxax ???? ?)( 2211 nnnnnn xaxaxax ????? ??? ?????????????????????????nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx?????????????22112222121121211121,? ??????????????????????????????nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx????????2121222211121121,AxxT?其中 ???????????????nnnnnnaaaaaaaaaA??????21222211
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