[工學(xué)]信號(hào)與系統(tǒng)教案第2章(2)(編輯修改稿)
2025-11-12 18:24 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1(t),令其滿足方程 y1(n)(t)+an1y1(n1)(t)+…+a 1y1(1)(t)+a0y1(t)=f(t) 求出其沖激響應(yīng) h1(t)。 ?根據(jù) LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的線性性質(zhì)和微分特性 ,可得下式的 LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)=bmh1(m)(t)+ bm1h1(m1)(t)+… +b 0h1(t) () 信號(hào)與系統(tǒng) 第 217頁(yè) ■ 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 例 1 描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t),求其沖激響應(yīng) h(t)。 解 :先選變量 y1(t),它滿足方程 y1”(t)+5y1’(t)+6y1 (t)= f(t) 設(shè)其沖激響應(yīng)為 h1(t), 則由 ()式知系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)= h’’1(t) + 2h’1(t) + 3h1 (t) () h”1(t) + 5h’1(t) + 6h1(t) = δ(t) h1(0+)=h1(0)=0 ， h’1(0+) =1 對(duì) t0時(shí) ， 有 h”1(t) + 5h’1(t) + 6h1(t) = 0 (一齊次解 ) h1(t)=(C1e2t + C2e3t)ε(t) 代入初始條件求得 h1(t)=( e2t e3t)ε(t) 它的一階 ,二階導(dǎo)數(shù)分別為 h’1(t)=(2e2t+ 3e3t)ε(t) h’’1(t)= δ(t) +(4e2t9e3t)ε(t) 將它們代人 ()得系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)= δ(t) +(3e2t6e3t)ε(t) 信號(hào)與系統(tǒng) 第 218頁(yè) ■ 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 二、階躍響應(yīng) 由單位階躍函數(shù) ε(t)所引起的 零狀態(tài)響應(yīng) 稱為 單位 階躍 響應(yīng) ，簡(jiǎn)稱階躍響應(yīng)，記為 g(t)。 g(t)=T[{0}, ε(t) ] 若 n階微分方程的等號(hào)右端只含激勵(lì) f(t)，即若 y(n) (t)+an1y(n1) (t)+…+a 1y(1)(t)+a0y(t)=f(t) 則當(dāng) f(t)= ε(t)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)滿足方程 g(n) (t)+an1g(n1) (t)+…+a 1g(1)(t)+a0g(t)= ε(t) g(j)(0)=0,j=0,1,2,…,n 1 由于等號(hào) 右端只含 ε(t) ,故除 g(n)(t)外 ,g(t)及其直到 n1階導(dǎo)數(shù)均連續(xù) ,即有 g(j)(0+)= g(j)(0)= 0 j=0,1,2,…,n 1 信號(hào)與系統(tǒng) 第 219頁(yè) ■ 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) ttgthxxhtg td)(d)(,d)()( ?? ???由于 δ(t) 與 ε(t) 為微積分關(guān)系，故 例 描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t)+3y’(t)+2y(t)= f’(t) + 2f(t) 求其 階躍 響應(yīng) g(t)。 解 先選變量 gx(t),它滿足方程 gx”(t)+3gx’(t)+2gx (t)= ε(t) gx(0) =gx’(0)=0 則系統(tǒng)的 階躍 響應(yīng) g(t) g(t)= gx’(t)+ 2gx(t) (參考教材 P56) 信號(hào)與系統(tǒng) 第 220頁(yè) ■ 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) gx”(t)+3gx’(t)+2gx (t)= ε(t) gx(0) =gx’(0)=0 其特征根為 1,2,其特解為 1/2,故 gx(t)=(C1et+C2e2t+1/2) ε(t) 由 gx(0+) =gx’(0+)=0可解的 C1=1, C2=1/2,故 gx(t)=(et+1/2e2t+1/2) ε(t) 其一次導(dǎo)為 gx(t)=(et+1/2e2t+1/2) δ(t)+(et+e2t) ε(t) = (et+e2t) ε(t) g(t)=gx’(t)+ 2gx(t)=(3et+2e2t+1) ε(t) 信號(hào)與系統(tǒng) 第 221頁(yè) ■ 卷積積分 1 . 任意信號(hào)分解 2??2?f ( t )t023 ? 1 0 1 2……)(? tff( 0 ))(?f)( ??f“0”號(hào)脈沖高度 f(0) ,寬度為△，用 p△ (t)表示 為 ： f(0) △ p△ (t) “1”號(hào)脈沖高度 f(△ ) ,寬度為△， 用 p△ (t △ )表示 為： f(△ ) △ p△ (t △ ) “1”號(hào)脈沖高度 f(△ ) 、寬度為△， 用 p△ (t +△ )表示為 ： f ( △ ) △ p△ (t + △ ) ????? ??????kktpkftf )()()(?? ???????? ???? d)()()()(?lim0tftftfto( 1 )δ ( t )top n ( t )n1n1?2n信號(hào)與系統(tǒng) 第 222頁(yè) ■ 卷積積分 2 .任意 信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng) L T I 系統(tǒng)零狀態(tài)yzs(t) f (t) 根據(jù) h(t)的定義： δ(t) h(t) 由時(shí)不變性： δ(t τ) h(t τ) f (τ)δ(t τ) 由齊次性： f (τ) h(t τ) 由疊加性： ???? d)()(? ??? ?tf ?
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