掌握拋物線的定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質(zhì)(編輯修改稿)
2024-11-04 00:45 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ? 的圓 P 0的半徑，且 P0Q0⊥ ，圓 P0與準線相切． ?解析： 過 P作 PK⊥ l(I為拋物線的準線 )于 K，則 PF=PK. ? ∴ PA+PF=PA+PK. ? ∴ 當 P點的縱坐標與 A點的縱坐標相同時 ，PA+PK最小 ． 此時 P點的縱 ? 坐標為 y=1代入 y2=4x得 x= ， ? 即當 P點的坐標為 時 ， PA+PF最小 ． ? 答案 ： ?變式 1： 已 知點 A(－ 2,1)， y2＝－ 4x的焦點是F， P是 y2＝－ 4x上的點，為使 PA＋ PF取得最小值， P點的坐標是 ________． ?拋物線上一點與焦點 F連線的線段叫做焦半徑 ． ?過焦點 F的直線與拋物線交于 A， B， 則線段 AB稱為焦點弦 ． ?通過焦點垂直于對稱軸的拋物線的弦叫拋物線的通徑 ， 通徑長為 2p， 這是 ?標準方程中 2p的一種幾何意義 ， 而 p的幾何意義則是焦點到準線的距離 ． ?設 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 則有： 標準方程 焦半徑 AF 焦點弦長 AB y2＝ 2px(p0) AF＝ x1＋ AB＝ x1＋ x2＋ p y2＝－2px(p0) AF＝ － x1 AB＝ p－ x1－x2 x2＝2px(p0) AF＝ y1＋ AB＝ p＋ y1＋y2 x2＝－2py(p0) AF＝ － y1 AB＝ p－ y1－y2 ?【 例 2】 求 拋物線 y2＝ 2px的焦點弦長的最小值 ． ? 思路點撥： 設焦點弦所在直線 AB的傾斜角為 θ， 把直線 AB的方程 ? 寫成 ycos θ＝ sin θ ， 焦點弦長用 θ表示 ， 根據(jù) θ的取值求最值 ． ?解： 設 焦點弦所在直線的傾斜角為 θ， ?則直線 AB的方程為 ycos θ=sin θ ， 如右圖所示 ． ?設 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由 ?消去 y ， 得 sin2θx2p(2cos2θ+sin2θ)x+ sin2θ=0， ?∴ x1+x2= .∴ AB=AF+BF=x1+x2+p ?= ， ∴ 當sin2θ=1， ?即 θ= 時 ， AB取最小值 2p. ?變式 2： 過 拋物線 y2＝ 2px(p0)的焦點 F， 引兩條互相垂直的弦 AC， BD， 求 ? 四邊形 ABCD面積的最小值 ． ? 解： 由方程組 , 得4k2x2－ 4p(k2＋ 2)x＋ p2k2＝ 0. ? 設 A(x1， y1)， C(x2， y2)， 由公式 AC＝|x1＋ x2|＋ p， 得 AC＝ x1＋ x2＋ p ? ＝ ， ? 同理可得 BD＝ 2p(k2＋ 1)． ∴ 四邊形 ABCD的面積 S＝ ? ACBD＝
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