教育論文中學函數(shù)最值的求法(編輯修改稿)
2025-07-12 00:46 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1sin ?x ，例如： 例 9．求函數(shù) xxy 2co ssin42 ??? 的最值． 解： 1s i n4s i n2)s i n21(s i n422c o ss i n42 22 ?????????? xxxxxxy ， 令 xt sin? ，則 11 ??? x ，則原式變?yōu)? 1)1(2142)( 22 ?????? ttttf ， 所以 142)( 2 ??? tttf 在 ]1,1[? 上單調(diào)遞減， 1)1()( m in ??? fxf ， 7)1()( m ax ??? fxf ， 故 xxy 2co ssin42 ??? 的最小值是 1， 最大值是 7． 4. dxc bxay ??? sinsin 型． 反解出 xsin ，利用 1sin ?x 解決，例： 例 10．求 2cos 1cos ??? xxy 的最值 解：因為 2cos 1cos ??? xxy ， 所以 1co s)2(co s ??? xxy ， 所以121cos ???? y yx， 又因為 1cos ?x ， 所以 1121 ????y y， 解之得 02 ??? y ； 故2cos 1cos ??? xxy的最小值是 2，最大值是 0． （ 5）dxc bxay ??? cossin型． 劃歸為 xBxAy cossin ?? 型，例： 例 11．求 xxy cos2 sin2??? 的最大值和最小值． 解：因為 xxy cos2 sin2??? ， 所以 xxy sin2)co s2( ??? ， 所以 yxyx 22co ssin ??? ， 所以2122)sin( yyx ???? ? ； 又因為 1)sin( ???x ， 所以 11222 ???yy ， 解之得 3 743 74 ???? y ， 故 xxy cos2 sin2??? 的最大值是 374? ，最小值是 374? ． (6) cxxbxxay ???? c o ss in)c o s( s in 型． 根據(jù) xxxx c o ss i n21)c o s( s i n 2 ??? ， 常 用 到 換 元 法 ， 令2,cossin ??? txxt ，大家看下面的例子： 例 12．求函數(shù) xxxxy c o ss inc o ss in ??? 的最大值和最小值． 解：令 2,cossin ??? txxt ，則 2 1cossin 2 ?? txx ，原式變?yōu)? 2122 1)( 22 ?????? tttttf 因為對稱軸 1??x ，所以2122 1)( 22 ?????? tttttf在 ]1,2[ ?? 上單 調(diào)遞減，]2,1[? 上單調(diào)遞增， 1)1()( m in ???? fxf ， 由于 )1(2)2(1 ?????? ， 所以 2 21)2()(m a x ??? fxf， 故 xxxxy c o ss inc o ss in ??? 的最大值是 221? ，最小值是 1． （ 四）函數(shù)單調(diào)性法 當一個函數(shù)單調(diào)遞增的時候，它的 y 值是隨著 x 的增大而增大 的，也就是說，在 x 的最小值處對應著 y 的最小值， x 的最大值處對應著 y 的最大值；同理，當一個函數(shù)單調(diào)遞減的時候，在 x 的最小值處對應著 y 的最大值，在 x 的最大值處對應著 y 的最小值．根據(jù)上述理論，當一個函數(shù)單調(diào)的時候，我們就可以求它的最值． “ ? ” (或“ ? ” )求函數(shù)的最值 例 13：求函數(shù) xxy cos1sin1 ?? 在 0( ， )2? 內(nèi)的最小值． 解析：222s i n2c oss i n2c oss i nc os1s i n1 ??????? xxxxxxxy 圖 2 當 4??x 時， xx cossin ? ， 12sin ?x ．上式中的兩個 “ ? ”中的等號同時成立，所以 22?y 是 “精確的”不等式．因而 22min ?y 另：此題還可用換元 xxt cossin ?? 以及函數(shù)單調(diào)性來判斷 xbaxy ?? 的函數(shù)的最值 (1) 0?a ， 0?b 時，函數(shù)在 ??( ， ab? ］內(nèi)遞增，在 ab?[ ， )0 內(nèi)遞減， 在 0( ， ab ］內(nèi)遞減，在 ab[ ， )?? 內(nèi)遞增． (2) 0?a ， 0?b 時，函數(shù)在 ??( ， ab? ］內(nèi)遞減，在 ab?[ ， )0 內(nèi)遞增， 在 0( ， ab ］內(nèi)遞增，在 ab[ ， )?? 內(nèi)遞減． (3) 0?a ， 0?b 時，函數(shù)在 ??( ， )0 內(nèi)遞減，在 0( ， )?? 內(nèi)遞減． (4) 0?a ， 0?b 時，函數(shù)在 ??( ， )0 內(nèi)遞增，在 0( ， )?? 內(nèi)遞增． 例 14：求函數(shù)xxxxy 2222 c oss in16 1c oss in4 ??的最值． 解析：函數(shù)xxxxy 2222 c oss in16 1c oss in4 ?? xx 2sin4 12sin 22 ??
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