【文章內(nèi)容簡介】 直徑為 12239。 ??? yxFF ，由題意，動圓 M 與 x 軸相切，所以? ?22 11 22 ???? yxy，兩邊平方整理得 yx 42? ，所以曲線 C 的方程為 yx 42? 解法二：因?yàn)閯訄A M 過定點(diǎn) ? ?10，F(xiàn) 且與 x 軸相切，所以動圓 M 在 x 軸上方，連接FF 39。 ,因?yàn)?F 關(guān)于圓心 M 的對稱點(diǎn)為 F’ ， 所以 FF 39。 為圓 M 的直徑 .過點(diǎn) M 作?MN x 軸，垂足為 N ,過點(diǎn) F’ 作 EF’ ? x 軸，垂足為 E .在直角梯形 FEOF 39。 中，122 39。39。39。 ?????? EFOEMNMFF FFF 即動點(diǎn) F’ 到定點(diǎn) ? ?10，F(xiàn) 的距離比到 x 軸的距離大 1，又動點(diǎn) F’ 位于 x 軸的上方，所以動點(diǎn) F’ 到定點(diǎn) ? ?10，F(xiàn) 的距離與到定直線 1??y 的距離相等 .故動點(diǎn) F’ 的軌跡是以 ? ?10，F(xiàn) 為焦點(diǎn)，以直線1??y 為準(zhǔn)線的拋物線 . 所以曲線 C 的方程為 yx 42? （ 2) ① 證法一：由題意，直線 AP 的斜率存在且不為零，設(shè)直線 AP 的斜率為? ?0?KK ,則直線 AQ 的斜率為 K? .因?yàn)?? ?yxA 00, 是曲線 C ： yx 42? 上的點(diǎn)，所以 420 xy? ，直線 AP 的方程為 ? ?xx xky 0240 ??? .由 ? ??????????xxxxkyy022404 陳冬霞：方程思想探究及其解題妙用 12 解得 ???????4020xxyx 或? ????????????4044 20 kxxykx， 所以點(diǎn) P 坐標(biāo)為? ??????????? ? ??40,44 20kxx k以 k? 替換 k ，得 Q 的坐標(biāo)為? ??????????? ? ?40,44 20kxx k 所以直線 PQ 的斜率為 ? ? ? ?? ? ? ? 244 404000022 44xxx kxkxKkkPQ ????????? ???為定值 . ① 證法二：因?yàn)?? ?yxA 00, 是曲線 C ： yx 42? 上的點(diǎn)，所以 420 xy? ， ??????????40,20xxA. 又點(diǎn) QP, 在曲線 C ： yx 42? 上，所以可設(shè) ??????????41,21xxP， ??????????42,22 xxQ 而直線 AP 、 AQ 的傾斜角互補(bǔ)，所以它們的斜率互為相反數(shù)，即 xxxxxxxx0222012240424041??????整理得： xxx 021 2??? ，所以直線 PQ 的斜率為 2441420211222xxxxx xxKPQ ???????為定值 ② 解法一：由 ① 可知， P? ??????????? ? ??40,44 20kxx k， Q? ??????????? ? ?40,44 20kxx k 20xKPQ ?? ，所以直線 PQ 方程為 ? ? ? ?kxy xxkx 4240 0024 ????? ??，整理得 016042 220 ???? kxx yx .設(shè)點(diǎn) ????????4,2xxB在曲線段 L 上，因?yàn)?QP, 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 kx 40?? 和 kx 40?? 所以 B 點(diǎn)的橫坐標(biāo)在 kx 40?? 和 kx 40?? 之間 惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系 2021 屆畢業(yè)論文 13 即 kxk xx 44 00 ?????? 所以 kxk x 44 0 ???? ，從而 ? ? kxx 22 160 ?? ，點(diǎn) B到直線 PQ 的距離為? ?40216040211604160442222222220??????????? ?xkxxxxkxxx xd 當(dāng) xx 0?? 時， 4021622m ax ?? xkd又 kxk xx 44 00 ?????? 所以點(diǎn) ???????????40,20xx在曲線段 L 上，所以點(diǎn) B 的坐標(biāo)是 ???????????40,20xx 解法二：由 ① 可知 20xKPQ ?? ，若點(diǎn) B 在曲線段 L 上，且點(diǎn) B 到直線 PQ 的距離最大，則曲線 C 在點(diǎn) B 處的切線 PQl// 設(shè) l ： bxy x ??? 20 ，由方程組?????????ybxyxx4220 消去 y ，得 042 02 ??? bxxx 令 ? ? ? ? 04402 2 ?????? bx 解得 402xb ?? 代入方程組，解得 40,20 xx yx ??? 所以點(diǎn) B 的坐標(biāo)是 ???????????40,20xx 評析 ：從以上的解法我們發(fā)現(xiàn)，無論是第（ 1)問還是第（ 2）中的 ② ，運(yùn)用設(shè)元解方程組的方法更有利于解答，可縮小運(yùn)算量，易理解 . (2）方程思想在圓錐曲線上的應(yīng)用 例 6.【 2021 高考真題浙江理 21】 橢圓 C： 22+1xyab? (a＞ b＞ 0)的離心率為 12 ，其左焦點(diǎn)到點(diǎn) P(2， 1)的距離為 10 ．不過原點(diǎn) O的直線 l與 C相交于 A， B 兩點(diǎn)，陳冬霞：方程思想探究及其解題妙用 14 且線段 AB 被直線 OP平分． (Ⅰ )求橢圓 C 的方程； (Ⅱ ) 求 ? ABP 的面積取最大時直線 l 的方程． 【命題立意】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，同時考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力。 解： (Ⅰ )由題： 12ce a??； (1) 左焦點(diǎn) (﹣ c， 0)到點(diǎn) P(2， 1)的距離為： 22(2 ) 1dc? ? ? ?10 ． (2) 由 (1) (2)可解得： 2 2 24 3 1a b c? ? ?， ， ． ∴所求橢圓 C 的方程為： 22+143xy?． (Ⅱ )易得直線 OP的方程： y＝ 12x，設(shè) ? ?yx BAA , ， ? ?yx BBB , ， R(x0， y0)． 其中 y0＝ 12x0． ∵ A， B在橢圓上， ∴220220+1 23 3 3434 4 2 2+143AAA B A BABA B A BBBxyxy y x xkx x y y yxy? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???． 設(shè)直線 AB 的方程為 l： y＝﹣ 32xm? (m≠ 0)， 代入橢圓：2222+1433 3 3 032xyx m x my x m? ??? ? ? ? ? ??? ??? ＝ ． 顯然 2 2 2( 3 ) 4 3 ( 3 ) 3 ( 12 ) 0m m m? ? ? ? ? ? ? ?． ∴﹣ 12 ＜ m＜ 12 且 m≠ 0． 由上又有： ABxx? ＝ m， AByy? ＝ 2 33m? ． ∴ |AB|＝ 1 ABk? | ABxx? |＝ 1 ABk? 2( ) 4A B A Bx x x x?? ＝ 1 ABk? 24 3m? ． ∵點(diǎn) P(2， 1)到直線 l 的距離表示為： 3 1 211A B A Bmmd kk? ? ? ?????． 惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系 2021 屆畢業(yè)論文 15 ∴ S? ABP＝ 12d|AB|＝ 122?m 243m?， 當(dāng) 2?m ＝ 243m?，即 m＝﹣ 3 或 m＝ 0(舍去 )時， (S? ABP)max＝ 12． 此時直線 l的方程 y ＝﹣ 3122x? （ 3）利用參數(shù)方程思想解題 例 7： 12222 ??byax )0( ??ba 與 x 軸正向交于點(diǎn) A ，若這個橢圓上總存在點(diǎn)P ，使 APOP? (O 為坐標(biāo)原點(diǎn) )，求其離心率 e 的取值范圍． 分析： ∵ O 、 A 為定點(diǎn)， P 為 動點(diǎn)，可以 P 點(diǎn)坐標(biāo)作為參數(shù)，把 APOP? ，轉(zhuǎn)化為 P 點(diǎn)坐標(biāo)的一個等量關(guān)系，再利用坐標(biāo)的范圍建立關(guān)于 a 、 b 、 c 的一個不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于 e 的不等式．為減少參數(shù)，易考慮運(yùn)用橢圓參數(shù)方程． 解： 設(shè)橢圓的參數(shù)方程是??? ?? ??sincosby ax )0( ??ba，則橢圓上的點(diǎn) )sin,co s( ?? baP ，)0,(aA ，∵ APOP? ，∴ 1c oss i nc oss i n ???? aabab ???? ，即0c o sc o s)( 22222 ???? baba ??，解得 1cos ?? 或 22 2cos ba b??? ， ∵ 1cos1 ??? ? ∴ 1cos ?? （舍去）， 11222 ???? ba b ，又 222 cab ?? ∴ 2022 ??ca ，∴ 22?e ，又 10 ??e ，∴ 122 ??e ． 說明： 若已知橢圓離心率范圍 )1,22( ，求證在橢圓上總存在點(diǎn) P 使APOP? ．如