【正文】 惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系 2021 屆畢業(yè)論文 1 目錄 1 引言 .............................................. 2 發(fā)展歷程 及其思想價(jià)值 .......................... 3 方程發(fā)展簡史 ...................................... 3 方程思想中的教育價(jià)值 .............................. 5 方程思想與中學(xué)數(shù)學(xué)的密切關(guān)系 ....................... 6 ..................................... 7 運(yùn)用方程思想解代數(shù)題 .............................. 7 運(yùn)用方程思想解幾何題 .............................. 8 用方程思想解常見中考幾何題 .................... 8 運(yùn)用方程思想解答高考題中曲線方程問題 ......... 10 運(yùn)用方程思想解函數(shù)題 ............................. 16 方程思 想在高考題中的應(yīng)用 ..................... 16 方程思想在三角函數(shù)中的運(yùn)用 ................... 18 運(yùn)用函數(shù)方程思想解函數(shù)題 ......................... 18 函數(shù)方程的幾種解法 .......................... 18 幾個(gè)重要的二元函數(shù)方程 ...................... 19 運(yùn)用方程思想解決最值問題 ......................... 21 微分線性方程思想求解矩陣的特征值和特征向量 ........ 23 ........................................... 23 致謝辭 ............................................. 24 參考文獻(xiàn) ........................................... 24 陳冬霞：方程思想探究及其解題妙用 2 方程思想探究及其解題妙用 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 陳冬霞 指導(dǎo)老師 潘慶年 （廣東惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系 2021級（ 1） 班 ，廣東惠州 516007） （ Email： ） 摘要： 本文首先介紹方程的歷史發(fā)展及其思想價(jià)值，然后研究方程思想的運(yùn)用，運(yùn)用包括：方程 思想在代數(shù)、幾何（中考、高考）、函數(shù)（一般函數(shù)、三角函數(shù)、函數(shù)方程）、最值問題、特征值特征向量方面的解題應(yīng)用，揭示了方程思想在中學(xué)甚至大學(xué)數(shù)學(xué)解題中的重要地位及其運(yùn)用 . 關(guān)鍵詞： 方程思想 ；解題；中考題；高考題 1 引言 長期以來 , 傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育只注重?cái)?shù)學(xué)知識的傳授 , 忽視了知識發(fā)生過程中 數(shù) 學(xué)思想方法的教學(xué) , 這有悖于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)客觀規(guī)律 .數(shù)學(xué)思想方法比形式化的數(shù)學(xué)知識更具有普遍性 ,在學(xué)生未來工作和生活中有更加廣泛的應(yīng)用 .正如日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏在從事多年的數(shù)學(xué)教育之后所說的一句話 : “學(xué)生 們在中學(xué)所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識在進(jìn)入社會之后幾乎沒什么機(jī)會應(yīng)用 , 因而這種作為知識的數(shù)學(xué)通常在出校門之后一兩年就忘了 , 然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作 , 那種銘刻于腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法卻長期地在他們工作和生活中發(fā)揮著作用 .” 方程思想，顧名思義，也就是具有方程的思想，要了解方程思想，首先要知道什么是方程 .目前中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中通用的方程定義是：含有未知數(shù)的等式 .但是，形如 xsin2 1cos2 ?? x ， ? ? 12221 ???? xxx 之類的等式難以界定 . 給出一個(gè)可以取代的定義：方程是為了求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立的一種等式關(guān)系 .好處在于： ①它揭示了方 程這一數(shù)學(xué)思想方法的目標(biāo)：為了求未知數(shù)； ②陳述了“已知數(shù)”的存在，解方程需要充分利用已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系； 惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系 2021 屆畢業(yè)論文 3 ③方程的本質(zhì)是“關(guān)系”，而且是一個(gè)等式關(guān)系 . 在高等數(shù)學(xué)中方程的定義：形如 ? ? ? ?xxxxxxxx nn gf . . . . . . ., . . . . . . . ., 321321 ?的等式叫做方程，其中 ? ?xxxx nf ......, 321 ， ? ?xxxx ng ......, 321 是在它們定義域的交集內(nèi)研究的兩個(gè)解析式，且至少有一個(gè)不是常函數(shù) . 陳重穆教授指出，方程的邏輯定義不必深究，到時(shí)關(guān)于未知數(shù)的思想，需要特別關(guān)注，即幫助學(xué)生樹立方程的思想 .方程和方程思想是有區(qū)別的，方程屬于知識體系，方程思想屬于思維體系 .方程思想是對方程知識的全面升華，是充滿活力的方程知識的 體現(xiàn) .那究竟什么是方程思想呢？ 在《標(biāo)準(zhǔn)》中關(guān)于方程思想闡述了這樣一個(gè)觀點(diǎn)：（ 1）方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型；（ 2）方程沒有一般解法；（ 3）特殊方程用特殊解法 .張奠宙顯示曾經(jīng)指出方程思想在于“方程思想是一座橋梁，一座聯(lián)系已知和未知的橋梁 .”總的來說 對問題中數(shù)量關(guān)系的分析入手，應(yīng)用數(shù)學(xué)語言將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，使問題獲解的思想方法，稱為方程思想 . 發(fā)展歷程 及其思想價(jià)值 任何事物的發(fā)展都有一個(gè)過程 ,人類對方程的研究也經(jīng)歷了漫長的歲月 . 公元前 2021 年 公元前 1700 年 ,古埃及 —— 紙草上的方程 (如《蘭德紙草書》、《柏林紙草書》等 )中就已經(jīng)用“試位法”精確地得到一元一次方程的解 ,但對于二次以上的方程 ,這種方法只能給出近似解 . 公元前 2021 年左右 ,古巴比倫人就已經(jīng)掌握了解一些一元二次方程的方法希臘數(shù)學(xué)家丟番圖《算術(shù)》中，討論了一次方程、二次方程和個(gè)別三次方程，還討論了大量的不定方程 .印度數(shù)學(xué)家阿耶波多在《阿耶波多歷數(shù)書》中給出了二次方程的求解方法 .婆羅摩笈多在公元 628 年完成的《婆羅摩笈多修正體系》一書中，也給出了一般二次方程的求根公式 . 花拉子米的 《代數(shù)學(xué)》一開頭就指出：下列的問題，都是由根、平方與數(shù)這三樣?xùn)|西組成的 .該書給出了六種類型一、二次方程，分六章來敘述 . 陳冬霞：方程思想探究及其解題妙用 4 中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有“方程”章，包含了很多關(guān)于方程的問題 .“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗 .問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？”《九章算術(shù)》沒有表示未知數(shù)的符號，而是用算籌將zyx , 的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)排列成一個(gè)（長）方陣，這就是“方程”之一名稱的來源 . 采用分離系數(shù)的方法表示線性方程組 、用直除法解線性方程組這是世界上最早的完整的線性方程組的解法 ,西方直到十七世紀(jì)才由萊布尼茲提出了許多隱含了函數(shù)與方程思想的著名趣題 ,如“五家共井” (“方程”章第十三題 )、“百雞問題”(《張丘建算經(jīng)》下卷第三十八題 )、“韓信點(diǎn)兵 —— 孫子問題” (《孫子算經(jīng)》 )等在民間傳說著公元 3 世紀(jì) ,趙爽的《勾股圓方圖說》給出了形如 x2? 0??bx 的二次方程的求解步驟 . 公元 7 世紀(jì)王孝通的《緝古算經(jīng)》中解決了不少三次方程求解的實(shí)際問題 公元 13 世紀(jì)的中國，在求高次方程數(shù)值解，以及解高次聯(lián)立方 程上有重大貢獻(xiàn) .1247 年，秦九昭給出了一般高次方程的數(shù)值解法 .李冶創(chuàng)立的“天元術(shù)”（ 1248年）和朱世杰使用的“四元術(shù)”（ 1303 年）能夠求解一大類的高次聯(lián)立方程 .16世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成就是發(fā)現(xiàn)了三次方程和四次方程的求根公式 16世紀(jì) ,方程解法有了重大的突破 ,費(fèi)羅和塔塔利亞分別在 1515 年和 1535 年給出了三次方程 x3 nmx?? 的代數(shù)解法 1545 年，卡爾丹在《大衍術(shù)》中給出了三次方程和四次方程的解法 .三次方 x3 )0,( ??? qpqpx 程的解法，實(shí)質(zhì)是考慮恒等式 ? ?ba? 3 ??? )(3 baab ba 33? ，若選取 ba, ，使得 pab?3 , ba 33? q? 不難解出，332322 ???????????? ??? pqqa,332322 ???????????? ???? pqqb，于是得到 ba? 就是所求的 x，后人稱之為卡爾丹公式 . 此后很長的一段時(shí)期里 ,人們幵始討論一般的五次方程的解法 ,歐拉和拉格朗日都進(jìn)行了嘗試 ,但都以失敗告終直到 19 世紀(jì) ,魯菲尼和阿貝爾都證明一般的五次及以上的方程沒有求根公式 . 惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系 2021 屆畢業(yè)論文 5 幫助學(xué)生樹立方程的思想，是數(shù)學(xué)“雙基”的重要內(nèi)容，不可忽視 .以下是一個(gè)真實(shí)的例子 . 20世紀(jì) 70年代，上海第 51中學(xué)的一位畢業(yè)生到和平飯店擔(dān)任電工 .工作中，他發(fā)現(xiàn) 12樓客房的室溫，和地下室設(shè)定的文檔有差異 .細(xì)究原因，乃是連接地下室和 12樓空調(diào)器的三根導(dǎo)線不一樣長，于是電阻也不同 .那么如何 測這三根電線的電阻？用萬能表肯定不行 .于是這位電工想到了數(shù)學(xué)，想到了方程 . 盡管單根電線的電阻很難預(yù)測知，但是 12樓上兩根電線連接起來，在地下室測量兩根電線的電阻卻是輕而易舉的 .于是，他列出了以下的方程 ???????????cxzbzyayx ╱╱╱ х У Ζ 解這樣的聯(lián)立方程是每個(gè)初中生都會做的，但是能夠在測量電阻時(shí)想到運(yùn)用方程思想求未知數(shù)，卻是很不容易的 .這也是為什么要培養(yǎng)初中生方程思想的原因了 韋達(dá)在他 的 5 分析方法入門 6