條件概率的性質(zhì)及其應(yīng)用——畢業(yè)論文(已修改)
2025-01-24 05:08 本頁(yè)面
【正文】 條件概率及其應(yīng)用 摘 要 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門學(xué)科，由于在生產(chǎn)生活等等各個(gè)方面隨機(jī)現(xiàn)象具有普遍性，使得概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)具有極其廣闊的應(yīng)用。 概率論是對(duì)隨機(jī)事物的現(xiàn)象進(jìn)行統(tǒng)計(jì)規(guī)律演繹的研究，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)又是對(duì)隨機(jī)事物現(xiàn)象進(jìn)行統(tǒng)計(jì)規(guī)律歸納的研究。并且條件概率這個(gè)概念有是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)重要的內(nèi)容和一個(gè)基本的工具。本文從條件概率的定義、性質(zhì)、定理、應(yīng)用這四個(gè)方面來解釋、探討、分析條件概率。 近年來，由于一方面它為科學(xué)技術(shù)、工農(nóng)業(yè)的生產(chǎn)等的現(xiàn)代化作出了極其重要的貢獻(xiàn)；另一方面，廣泛的 應(yīng)用也促進(jìn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)有了非常大的發(fā)展。 本文從條件概率的定義、性質(zhì)、定理這三 個(gè)方面來解釋、探討、分析條件概率。 并從 應(yīng)用的角度對(duì) 條件概率 進(jìn)行 系統(tǒng)全面的闡述 ，把目前應(yīng)用和后繼發(fā)展進(jìn)行兼顧考慮，隨著 科學(xué)技術(shù)、工農(nóng)業(yè)的生產(chǎn)等的現(xiàn)代化 的 發(fā)展，該課題還存在大量的后續(xù)研究工作。 關(guān)鍵詞： 條件概率 ； 全概率公式 ； 貝葉斯公式 ； 應(yīng)用 引言或緒論等（內(nèi)容略） 第一章 ． 條件概率的定義 和性質(zhì) 條件概率是概率論中的一個(gè)基本工具，在中產(chǎn)生活中有著重要作用。在現(xiàn)實(shí)的世界里 很少存在單一的不受別的事件影響的情況，由于事件的概 率經(jīng)常會(huì)由于其他時(shí)間的影響而發(fā)生改變，所以這里我們引入條件概率這一概念。這樣我們就能了解在事件 B已經(jīng)發(fā)生的情況下時(shí)間 A發(fā)生的概率，這樣也就解決了無條件概率不能解決的問題 ? 例 設(shè)在 N只雞 的總體中，有 AN 條是白雞 而且有 BN 條是母雞 的。若事件A及事件 B表示隨機(jī)選取一條是 白雞 及是 母雞 ，則 P(A)= ANN P(B)= BNN 現(xiàn)在，以所有 母雞 組成的子總體代替總體的位置，我們來計(jì)算從 母雞 中隨機(jī)選出的 一只雞是白雞 的概率。這概率就是 ABN / BN ，其中 ABN 是 白色母雞 的數(shù)目。在研究某個(gè)特定的子集的時(shí)候，我們需要用一個(gè)新的符號(hào)來表達(dá)。一般所采用的符號(hào)是 P(A|B)，可讀為“在事件 B（所選出的 雞是母雞 的）發(fā)生的假定條件下，時(shí)間 A（ 白雞 ）發(fā)生的概率”。采用數(shù)學(xué)符號(hào) P(A|B) = ABBNN = ()()PABPB 很顯然，每一個(gè)子集本身總可以被考慮為一個(gè)總體。為了表達(dá)上的方便，我們說一個(gè)子集時(shí)，意思是說這個(gè)子集背后還有一個(gè)較大的總體。 從上面的例子可以看出 P(A)一般是與 P(A|B)不同的。再來看一個(gè)例子。 例 從標(biāo)號(hào)為 4的四個(gè)球中，等可能地任取一個(gè)球，那么事件 A：“得標(biāo)號(hào)為 4”的概率 P(A)= ；如果已知事件 B：“得標(biāo)號(hào)為偶數(shù)”已經(jīng)出現(xiàn)，那么這時(shí)只剩下兩種可能，或得 2號(hào)或得 4號(hào)，所 以 P(A|B)= 在一般情況下，應(yīng)該怎么樣定義 P(A|B)呢？由于頻率與概率有很多類似的性質(zhì)，先從頻率的討論開始。 設(shè) A、 B 為任一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn) E 中的兩個(gè)事件，每次試驗(yàn)結(jié)果。不外是下列四種情況中的一種。 （ 1） A出現(xiàn) ， B不出現(xiàn) （ 2） B出現(xiàn)， A 不出現(xiàn) （ 3） A,B都出現(xiàn) （ 4）A,B都不出現(xiàn)。 現(xiàn)在把 E 重復(fù)做 n 次，分別以 n n n n4 記下四種情況出現(xiàn)的次數(shù)，顯然 4ii=1n?=n 。而且 B的頻率為 nF （ B） = 23n+nn ， AB的頻率為 nF （ AB） = 3nn ， 在 B 已經(jīng)出現(xiàn)的條件下， A 的頻率為 nF （ A|B） =23nn+n ，根據(jù)這些式子，得 nF （ AB） = nF （ A|B） ? nF （ B）。 因此，如 nF （ B） 0 就有 nF （ A|B） = nnFF（ AB）（ B） 這個(gè)式子告訴我們，如何去定義 P(A|B)。我們就得到如下定義 定義 設(shè)（ Ω ,F,P） 為概率空間， A?F,B?F,設(shè) P(B)0 。 在事件 B 已出現(xiàn)的條件下，事件 A 出現(xiàn)的概率 P(A|B)定義為 P(A|B)= ()()PABPB 對(duì)于古典類型的隨機(jī)試驗(yàn)，設(shè) B 含有 m 個(gè)不同的基本事件， m0 ， AB 含有 k 個(gè)，以 n 表示 Ω中總共不同的基本事件的個(gè)數(shù)，則 P(A|B)= knmn= km 類似的可以知道，對(duì)于幾何隨機(jī)試驗(yàn)，例如 F(B)0 ，我們有這樣的式子 P(A|B)= ( ) ( )( ) ( )F AB FF B F ??= ? ?? ?LABLB 容易驗(yàn)證，條件概率具有概率定義中的三個(gè)基本性質(zhì)： 如果 P(B)0 ,那么 P（ A|B）作為 A 的集函數(shù)是 F 上的概率；即 （ 1） 對(duì)每個(gè) A?F，有 1? P（ A|B） ? 0 ； （ 2） P（ ? |B） =1 ； （ 3）如 mA ?F， m=1， 2， … . ，兩兩互不相容，則有 mmm = 1m = 1( | ) ( | )P A B P A B? ?? ? 現(xiàn)在對(duì)上面的三個(gè)性質(zhì)進(jìn)行證明： 證 （ 1）因 ?P（ B) P(AB) ， P（ B) 0 ，故由（ 3）知 1? P（ A|B） ? 0 （ 2） ( | )PB? = ()()PBPB?= ()()PBPB=1 （ 3） mm=1( | )P A B? = mm=1()()P A BPB?= mm=1()()P A BPB?? = mm=1 ( | )P A B?? 第二章．條件概率的三定理 現(xiàn)在對(duì)條件概率來證明三條重要的定理，這就是：概率的乘法定理，全概率公式與貝葉斯（ Bayes）公式。這些定理在概率的計(jì)算中起著重要的作為。 概率的乘法定理
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