本科論文：圓周率額數(shù)值計算(編輯修改稿)
2025-07-09 17:34 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 爭 ?曾有數(shù)學(xué)家說過：“歷史上一個國家所算得的圓周率的準(zhǔn)確程度 ,可作為衡量這個國家當(dāng)時數(shù)學(xué)發(fā)展的一個標(biāo)志?！甭犞膊粺o道理。就說如今，人們也以計算機技術(shù)是否高明來判斷國家的科技水平，而計算 ? 的近似值只是一個托而已，這場競爭將一直持續(xù)下去，不是說有人的地方就有競爭嗎？ 3 用計算機求圓周率數(shù)值的方法 十九世紀(jì)時，圓周率的計算已經(jīng)處于炙熱狀態(tài)，而且圓周率小數(shù)點后的位數(shù)也越來越多，到了二十世紀(jì)，隨著計算機的發(fā)明和科技的發(fā)展，圓周率的計算已經(jīng)不是什么難題，這時候圓周率小數(shù)點后的位數(shù)更是快速增加，而且近似值也比較準(zhǔn)確。下面主要介紹兩種用計算機計算圓周率的方法：數(shù)值積分法和蒙特卡羅法。 數(shù)值積分法 樂山師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計） 7 算法原理 如果一個圓的半徑為 1，那么我們知道這個圓的面積為 ? ，只要知道圓的面積為多少，就可以知道圓周率為多少。問題就在于要怎樣算出或者估算出圓的面積，我 們學(xué)習(xí)了積分，知道積分可以估算出一些不規(guī)則的形狀的面積。 我們假如以這個單位圓的圓心為原點，建立直角坐標(biāo)系。則單位圓在第一象限內(nèi)的部分 G 是一個扇形，由曲線 ? ?? ?21 0 ,1y x x? ? ?及兩條坐標(biāo)軸圍成，它的面積4S ?? 。算出了 S 的近似值，它的 4 倍便是 ? 的近似值。 如圖 ，作平行于 y 軸且將 x 軸上的區(qū)間[0,1]分成 n 等份（ 21?n ）的直線，將扇形 G分成 n 個寬度為 n1 的部分 kG （ nk??1 ）。 kG 為曲邊梯形：左右的邊界是相互平行的直線段，類似梯形的兩底，上邊界為 弧 線，稱為曲邊梯形。若 n 無限大，曲邊梯形 kG 的上邊界就近似成直線段， kG 的面積 kS 就近似成一個梯形的面積。高為 nh 1? ，兩條底邊的長分別是21 11 ?????? ???? nkyk和 21 ???????? nkyk，于是曲邊梯形面積 kS 的近似值為 ? ?nyyTkkk 121 1 ?? ?。扇形面積 S 的近似值可以看作所有梯形面積之和 T： 1101 2 1412k n k nnnS S S S T T Tyyy y yn??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ????? n 越大， T 就越接近 S， 4T 就越接近 ? 值。定積分 4110 2 ???? dxx，就是圖中扇形的面積。 41 110 2 ???? dxx是211x?的定積分，比 4110 2 ???? dxx便于計算，計算 ? 也更合適。 圖 扇形 G 樂山師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計） 8 一般地，要計算定積分 ? ?dxxfS ba??，也就是計算曲線 ? ?xfy? 和直線bxaxy ??? ,0 所圍成的面積 S。用分點 11, ?nxx ? 將扇形的半徑分成 n 等份，若 n 足夠大，這時可將曲邊梯形的上邊界看作直線段， ? ?n abiaxi ???， ni??0 ；曲邊梯形寬度都為nabh ??， ? ? .21 1 hyy ii ??記為 ? ?ii xfy ?是第 i 個曲邊梯形的面積，則有 01 2 1() 2 nn yybaS y y yn ? ??? ? ? ? ?， 當(dāng) 1n? 時，有 ( ) [ ( ) ( )]2ba baf x d x f a f b???? ，這就是梯形公式。 同理，把上邊界看作是拋物線 ， ( ) [ ( ) 4 ( ) ( )]62ba b a a bf x f a f f b??? ? ?? ，就是辛普森公式。 結(jié)果和誤差探討 由于用數(shù)值積分法本就是一種估算的方式，是將圖形分割成很多分，再用規(guī)則圖形的計算方式加以計算，所以只要分成的份數(shù)足夠多，就更接近正確答案。也就是它的誤差是取決于所取份數(shù)的多少。 我們用 Mathematica 軟件 ,用梯形公式和 Simpson 公式計算 120 41 dxx? ? ???？梢?完成相應(yīng)的程序編寫。詳細(xì)的計算程序如下： y[x_]:=4/(1+x^2)。(*定義積分函數(shù) *) trapezium[n_]:=((y[0]+y[1])/2+Sum[y[k/n],{k,1,n1,1}])/n。 (*梯形公式計算 *) Simpson[n_]:=(y[0]+y[1]+2Sum[y[k/n],{k,1,n1,1}]+4Sum[y[()/n],{k,1,n,1} ])/(6n) (*Simpson 公式計算 *) N[trapezium[1000]] N[Simpson[1000]] wctrapezium = N[trapezium[1000]]N[Pi] （ *計算誤差 *） wcsimpson = N[Simpson[1000]] N[Pi] 計算結(jié)果見表 為方便觀察，利用 Matlab 軟件根據(jù)表 中的數(shù)據(jù)進行繪圖，程序： d = 0:6。 h1 = line([0 6],[ ]) get(h1) set(h1, 39。LineWidth39。, ) hold on tx = [0 樂山師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計） 9 ]。 plot(d,tx,39。d39。,d,tx) title(39。圖 39。) xlabel(39。迭代次數(shù) 39。) ylabel(39。模擬值 39。) legend(39。圓周率值 39。,39。實驗?zāi)M值 39。) set(gca,39。XTicklabel39。,[39。000039。39。100039。 39。202139。39。300039。39。400039。39。500039。39。600039。]) axis([0 6
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