[工學(xué)]數(shù)值計(jì)算pptcxj(編輯修改稿)
2025-02-15 07:25 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 [a， b]上帶權(quán) r (x)的 n+1次正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)就是求積公式 ()的高斯點(diǎn)，有了求積節(jié)點(diǎn) xk (k＝ 0， l， ? ， n)，再利用 ()對(duì) m＝ 0， l， … ， n 成立，則得到一組關(guān)于求積系數(shù) A0，A1， … ， An 的線性方程．解此方程則得 Ak(k＝ 0， 1， … ， n) . 也 可直接由 x0， x1， ? ， xn 的插值多項(xiàng)式求出求積系數(shù) Ak(k = 0, 1, ?, n) . 上頁 下頁 返回 二、高斯求積公式的余項(xiàng) 利用 f (x)在節(jié)點(diǎn) xk(k = 0， 1， … ， n)的 埃爾米特插值 H2n+1 (x)，即 于是 ，兩端乘 r (x)，并由 a到 b積分，則得 其中右端第一項(xiàng)積分對(duì) 2n+1次多項(xiàng)式精確成立，故 由于 ≥ 0，故由積分中值定理得 ()的余項(xiàng)為 .,1,0,)()(,)()( 1212 nkxfxHxfxH kknkkn ?????? ??)()!22( )()()( 2 1)22(12 xnfxHxfnnn ??? ??? ???? ??? ???? ba nnnkkkn xxxnfxfAIfR .d)()()!22()()(][ 21)22(0r??)()(2 1 xxn r? ?)(.d)()()!22( )(][ 2 1)22( ?????ba nnn xxxnffR r???? ??? ?ba nnba fRxxxHxxxfI ][d)()(d)()( 12 rr上頁 下頁 返回 三、高斯求積公式的穩(wěn)定性與收斂性 定理 6 高斯求積公式 ()的求積系數(shù) Ak (k＝ 0， 1， … ， n) 全是正的． 由本定理及定理 2，則得 推論 高斯求積公式 ()是穩(wěn)定的 . 定理 7 設(shè) f (x)∈ C [a， b]，則高斯求積公式 ()是收斂 的，即 ? ?????nkbakkn xxxfxfA0 .d)()()(l i m r上頁 下頁 返回 四、常用的高斯型求積公式 高斯 —勒讓德求積公式 勒讓德多項(xiàng)式 是區(qū)間 [1， 1]上權(quán)函數(shù) r (x) = 1的正交多項(xiàng)式，若以勒讓德多項(xiàng)式的零點(diǎn)為高斯點(diǎn)，則求積公式 稱為 高斯 —勒讓德求積公式 . ? ?nnnnn xxnxP )1(dd!2 1)( 2 ??)()(d)(011 ?? ?? ?nkkk xfAxxf上頁 下頁 返回 上頁 下頁 返回 高斯 —勒讓德求積公式 ()的余項(xiàng)由 ()得 .])11[()(901][,)(1351][1)(]1,1[)(])!22)[(32(])!1[(2][1)(~]1,1[d)(~)!22()(][)4(1)4(1)22(343211121)22(少算一個(gè)函數(shù)值還小，且比辛普森公式，區(qū)間為它比辛普森公式余項(xiàng)時(shí)，有當(dāng)三章知識(shí)的勒讓德多項(xiàng)式，有第是最高項(xiàng)系數(shù)為這里????????????????????????????ffRffRnfnnnfRxPxxPnffRnnnnnnn上頁 下頁 返回 高斯 —切比雪夫求積公式 切比雪夫正交多項(xiàng)式 是區(qū)間 [1， 1]上權(quán)函數(shù) 的正交多項(xiàng)式，若選取 n+1 次多項(xiàng)式的零點(diǎn) )a r c c o sc o s ()( xnxT n ?211)(xx ??r時(shí)，只要做變換，而是一般的區(qū)間，當(dāng)積分區(qū)間不是 ],[]11[ ba?22batabx ????)(d222d)(]1,1[],[11?? ??????? ??????tbatabfabxxfbaba，這時(shí)化為可將nknkx k ,2,1,022 12c os ??????????? ，?上頁 下頁 返回 為高斯點(diǎn)，則求積公式 稱為 高斯 —切比雪夫求積公式 .相應(yīng)的求積系數(shù) )()(d1 )(011 2 ?? ?? ??nkkk xfAxxxf.,2,1,0,1d)(1 11 1 2 nknxxlxA kk ?????? ?? ?其中， lk(x)是關(guān)于所
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