章抽樣分布與參數(shù)估計(編輯修改稿)
2025-06-18 14:44 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 . 9 6 5 . 0 2 5 . 0 5 . 0 2P ( 4 . 9 6 X 5 . 0 ) P Z0 . 3 0 . 3??? ? ? ? ????? = 0 . 0 2 7 9 + 0 . 0 7 9 3 = 0 . 1 0 7 2 532 二、樣本比例的抽樣分布 ? (一 )樣本比例的期望值與方差 設(shè)隨機變量 X 服從二點分布， 其總體平均數(shù)為? ， ? 又稱為總體比例，總體方差 )()( ???? ?? 12?，F(xiàn)對其進行 n 次獨立重復(fù)觀測，得到下列樣本： (X1，X 2，?， X n) ，其中，觀測結(jié)果為“成功”的次數(shù)是N1。 我們把樣本中“成功”的次數(shù)所占比例定義作樣本比例 P 。 1NPn? （ 1 ） 533 根據(jù)上一章的介紹，我們知道， N1服從二項分布，它的數(shù)學(xué)期望是 n ? ，方差是 ( 1 )n ?? ? 。利用這一結(jié)果與期望值的計算規(guī)則，可得： ? ?1N nE P Enn????? ? ????? （ ） ? ?? ?22( 1 ) ( 1 )11VNN nV P Vn n n n? ? ? ?????? ? ? ????? （ ） 534 在不放回抽樣條件下，有關(guān)結(jié)論與樣本平均數(shù)相類似，即 ()EP ?? ( 5 . 1 4 ) ( 1 )1pNnnN????? ???????? ( 5 . 1 5 ) 當 N 很大，而抽樣比 %5/ ?Nn 時，其修正系數(shù) ????????1NnN趨于1 ，這時樣本比例的方差也可不必修正，可直接用（ ）式來計算。 535 【例 5 5 】 從某地區(qū) 6000 名適齡兒童中用不放回抽樣方法抽取 400 名兒童，其中有 320 名兒童入學(xué)，求樣本入學(xué)率的標準差。 解： %P 80400320?? ( 1 )1pNnnN????? ????????( 1 )1P P nNN? ???????? 8 0 % 2 0 % 4 0 01 1 . 9 3 24 0 0 6 0 0 0? ??? ? ????? 536 中心極限定理表明，當 n 充分大時，樣本比例近似服從正態(tài)分布( 1 ),Nn??????????。 這里大樣本的條件是：n ? 和 n ( 1 ? ) 都要大于等于 5 。 實際工作中，當 0 . 1 0 . 9??? ， n 符合表 5 5 要求的大小時，就可以認為 P 近似服從正態(tài)分布。 由于總體參數(shù)通常并不知道，所以，實際總體是否符合表中所列情況，可以用樣本比例來近似判斷。 （二）樣本比例的分布規(guī)律 537 表 55 用正態(tài)分布來近似時對樣本量的要求 ?? 總 體 參 數(shù) 1－ 樣本量 至少為 n 36 37 38 40 43 48 57 71 100 538 ? （三）樣本方差的抽樣分布 對于來自正態(tài)總體的樣本容量為 n 的簡單隨機樣本，統(tǒng)計量 22( 1 )nS?? 服從自由度為 )1( ?n 的2? 分布，即 ?2?22)1(?sn ?~ )1(2?n? （ ） 539 【例 5 6 】 某企業(yè)生產(chǎn)一種零件， 已知其直徑服從正態(tài)分布，總體的標準差為 0. 0 1 毫米?，F(xiàn)隨機抽查 36 個零件，試求其樣本標準差大于 0. 01 2 的概率。 解： ?2?22)1(?sn ?=223 5 ( 0 .0 1 2 )5 0 .40 .0 1? 利用 E xc e l C H I D I S T 函數(shù)，可方便地求得這一概率。 C H I D I S T （ 50. 4 ， 35 ） = P ( x X ? ) （右單尾概率） = 0. 044448 540 第三節(jié) 參數(shù)估計 ? 一 、 參數(shù)估計概述 ? 二 、 總體均值的估計 ? 三 、 總體比例的估計 ? 四 、 總體方差的估計 541 一、參數(shù)估計概述 （一）參數(shù)估計的定義與種類 所謂參數(shù)估計，就是用樣本統(tǒng)計量去估計總體的未知參數(shù)（或參數(shù)的函數(shù)）。 例如，估計總體均值，估計總體比例和總體方差。 參數(shù)估計有兩種基本形式： 點估計 是用一個數(shù)值作為未知參數(shù) θ的估計。 區(qū)間估 計是給出具體的上限和下限，把 θ包括在這個區(qū)間內(nèi)。 542 點估計，主要有矩估計法和最大似然估計法。 矩估計法 是用樣本矩去估計總體矩（或是用樣本矩的函數(shù)去估計總體矩的相應(yīng)函數(shù)）的一種估計方法，由此獲得的估計量稱作矩估計量。 最大似然估計法 是把待估計的總體參數(shù)看作一個可以取不同數(shù)值的變量，計算當總體參數(shù)取上述不同數(shù)值的時候，發(fā)生我們當前所得到的樣本觀測值的不同概率，總體參數(shù)取哪一個數(shù)值的時候這種概率最大，便把這個數(shù)值作為對總體參數(shù)的估計結(jié)果。 （二）點估計 543 ? （三）估計量的優(yōu)良標準 1 ．無偏性。 ?? 的數(shù)學(xué)期望值等于 θ 。即有： ?? ????????E (5 . 17 ) 2. 有效性。又稱最小方差性。 544 3. 一致性 ， 一致性是指隨著樣本容量不斷增大，樣本統(tǒng)計量接近總體參數(shù)的可能性就越來越大，或者，對于任意給定的偏差控制水平，兩者間偏差高于此控制水平的可能性越來越小，接近于 0 。用公式表示就是： 1lim ???????????????pn (5 .18 ) 4. 充分性。估計量包含了樣本中關(guān)于 θ的全部信息。 545 ? （四）區(qū)間估計與估計的精度和可靠性 所謂區(qū)間估計，實質(zhì)上就是用兩個互相聯(lián)系的樣本統(tǒng)計量給出 θ 的區(qū)間。 即以?1? 和?2? 分別作為總體參數(shù) ?區(qū)間估計的下限與上限，同時要求該區(qū)間將 θ 包含在內(nèi)的 概率應(yīng)達到一定的程度。即： P (????21??? ) =1 α (5 .19 ) 式中被?1? 和?2? 框定的 區(qū)間叫做 置信區(qū)間 。i?? ? = ?叫做抽樣極限誤差，它可以反映抽樣估計誤差的最大范圍。 546 作為參數(shù)的區(qū)間估計，應(yīng)滿足以下兩個要求：一是估計的精度要求，二是可靠性要求。 所謂精度要求就是估計誤差必須控制在一定的范圍內(nèi)。允許誤差的最大值，可通過極限誤差來反映。 顯然， Δ 越小，估計的精度要求越高， Δ 越大，估計的精度要求越低。極限誤差的大小 要 根據(jù)研究對象的變異程度和分析任務(wù)的性質(zhì)來確定。 547 所謂可靠性是指估計結(jié)果正確的概率保證，可用 置信度來反映。在區(qū)間估計中，置信度十分重要。只有精度而沒有置信度的估計是毫無意義的。 能夠給出置信度的前提條件是，能夠證實估計量 ??服從（精確地或是近似地）某種已知的常見分布。 548 ? 二 、 總體均值的估計 設(shè)隨機變量 ? ?2,~ ??NX ， ( X1， X 2，?， X n)是取自
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