計算方法第一章誤差(編輯修改稿)
2025-06-18 04:12 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 9 0. 00 5 102??? ? ? ? ? ， 1m ? ， 2 , 3m n n? ? ? ? 。 有 3 位有效數(shù)字。 例：以722作為圓周率 ? 的近似值有幾位有效數(shù)字。 解 :722＝ 3 . 1 4 2 8 5 7 ??， π ＝ 3 . 1 4 1 5 9 2 ??。 210210 0 1 2 722?????? ? 。因為 m =1 ，m n = 2 ，所以 n =3 ，有 3 位有效數(shù)字。 有效數(shù)字與相對誤差 絕對誤差 限 、相對誤差 限 、有效數(shù)字三者關(guān)系。 ? 和 n 的 關(guān)系 1102mn???? ? 和r? 的 關(guān)系 rx?? ? n 和r? 的 關(guān)系 有 兩個定理。 定理 1 ： 若 近似數(shù)120. 10mnx x x x? ? ? 具有 n 位有效數(shù)字，則其相對誤差 限 ( 1 )11102nrx????? 證 因120. 10mnx x x x? ? ? ，有1110mxx??? ， 又， x 有 n 位有效數(shù)字，即1* 102mnxx?? ? ? ，因此 ( 1 )111110* 1210* 1 0 2mnnr mxxex x x??????? ? ? ??，即( 1 )11102nrx????? 此定理說明，相對誤差限是由有效數(shù)字決定。 例：用 3 .14 作為 ? 的近似值，求其相對誤差。 解：四舍五入的近似值各位都是有效數(shù)字，即 n= 3 , 由定理 ( 3 1 )110 %23r???? ? ?? 和前例比較， 思考 結(jié)果不同的原因。 已知近似數(shù) x 有兩位有效數(shù)字，求其相對誤差 限 。 解 因 n=2 , ( 1 )11102nrx????? 第 1 位1x 未給出， 11?x ( 1 ) ( 1 )1111 0 1 0 5 %2 2 1nnrx?? ? ? ?? ? ? ? ?? 91?x ( 1 ) ( 1 )1111 0 1 0 0 .5 6 %2 2 9nnrx?? ? ? ?? ? ? ? ??， 取 5%r? ? 。 定理 2 若近似數(shù)12x 0. 10mnx x x? ? ? ，的相對誤差限 ( 1 )11102 ( 1 )nrx?????? 則它至少具有 n 位有效數(shù)字。 證 12x 0. 10mnx x x? ? ? 有11( 1 ) 10mxx?? ? ? 則 xxx x xx???????( 1 ) 1111110 ( 1 ) 10 102( 1 ) 2n m m nxx? ? ? ?? ? ? ? ??，即它至少具有 n 位有效數(shù)字。 例 已知近
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