【文章內容簡介】 概念 2. 絕對誤差與絕對誤差限 首先來看如何描述誤差 。 定義 設 x為精確值 ， x*為 x的近似值 ， 稱 E(x*) = x* x為近似值 x*的絕對誤差 ， 簡稱誤差 ，簡記為 E。 注： E可正可負 ， 很難求出 。 若 |E| = | x* x | ? ?(x*)， 則稱 ?(x*)為 x*的絕對誤差限 ， 簡稱誤差限 ， 簡記為 ?。 往往知道 |E|的范圍：|E| ? ? 167。 3 誤 差 31 誤差的基本概念 2. 絕對誤差與絕對誤差限 定義 設 x為精確值 ， x*為 x的近似值 ， 稱 E(x*) = x* x為近似值 x*的絕對誤差 ， 簡稱誤差 ，簡記為 E。 注： E可正可負 ， 很難求出 。 若 |E| = | x* x | ? ?(x*)， 則稱 ?(x*)為 x*的絕對誤差限 ， 簡稱誤差限 ， 簡記為 ?。 注： (1) ? 0 167。 3 誤 差 31 誤差的基本概念 2. 絕對誤差與絕對誤差限 例 33 ―四舍五入 ” 的絕對誤差限 設 x = ?? anan+1??10k 四舍五入： 此時 ， 總有 即 ? = 十 進 制 標 準 表 示 式（ a1? 0） 。 ???????????????5 10)1(.04 121121*nknnknaaaaaaaax若若??nkknxxE ??????? |||| * ??? ?nk ?? 1021167。 3 誤 差 31 誤差的基本概念 2. 絕對誤差與絕對誤差限 (2) x的范圍： x* ? ? x ? x* + ?， 工程上常記為： x = x* ? ?。 （ 知道誤差限就可知道精確值的范圍 ） 例 34 v = 100 ? 2(V)表示 v* = 100(V)是電壓的一個近似值 ， 而 2(V)為其誤差限： | v* v| ? 2(V) (3) 絕對誤差限不能完全表示近似程度的好壞 ， 如 x = 100 ? 2， y = 10 ? 1 167。 3 誤 差 31 誤差的基本概念 3. 相對誤差與相對誤差限 定義 稱 為近似值 x*的相對誤差 。 若 ， 則稱 ?r(x*)為近似值 x*的相對誤差限 。 注： (1) 由于 與 相差很少 ， 而 不易知道 故將 代替 xxxxxEEr??? ** )(*)(*|*)(| xx xxxE rr ????xxE *)(**)(xxExxE *)(*** )(xxEEr ? xxE )( *167。 3 誤 差 31 誤差的基本概念 3. 相對誤差與相對誤差限 定義 稱 為近似值 x*的相對誤差 。 若 ， 則稱 ?r(x*)為近似值 x*的相對誤差限 。 注： (2) 絕對誤差和絕對誤差限有量綱 ， 而相對誤差和相對誤差限無量綱 ， 常用百分數(shù)表示 。 xxxxxEEr??? ** )(*)(*|*)(| xx xxxE rr ????167。 3 誤 差 31 誤差的基本概念 3. 相對誤差與相對誤差限 若 ， 則稱 ?r(x*)為近似值 x*的相對誤差限 。 仍然考慮： x = 100 ? 2， y = 10 ? 1： 即 x*= 100， y*= 10的相對誤差限分別是 2%與 10%，故 x*近似 x的程度比 y*近似 y的程度好 。 *)(*|*)(| xx xxxE rr ????%1010 1)(|)(| %2100 2)(|)(| ********** ??????yyEyExxExErr ，167。 3 誤 差 31 誤差的基本概念 3. 相對誤差與相對誤差限 (3) 絕對誤差限與相對誤差限均不唯一 （ 上限不唯一 ，越小越好 ） 。 167。 3 誤 差 31 誤差的基本概念 3. 相對誤差與相對誤差限 例 35 已知 e = … ， 其近似值為 e* = ， 求 e*的絕對誤差限和相對誤差限 。 解：因為 E = e – e* = – … ， 所以 |E| = … = 2 106， |E| = … = 106。 2 106和 106都是 |E(e*)|的上界 ， 都可以作為近似值 e*的絕對誤差限： ? = 2 106， ? = 106。 167。 3 誤 差 31 誤差的基本概念 3. 相對誤差與相對誤差限 例 35 已知 e = … ， 其近似值為 e* = ， 求 e*的絕對誤差限和相對誤差限 。 解：因為 E = e – e* = – … ， 所以 e*的絕對誤差限： ? = 2 106， ? = 106。 又因為 所以 106和 106都可以作 e*的相對誤差限 。 610... ???167。 3 誤 差 31 誤差的基本概念 4. 有效數(shù)字和有效數(shù)字位數(shù) 定義 若 x*的誤差絕對值不超過某一位數(shù)的半個單位 ， 而該位數(shù)字到 x*的第 1位 （ 最左邊 ） 非零數(shù)字共有 n位 ， 則稱 x*有 n位有效數(shù)字 ， 這 n個數(shù)字都稱為有效數(shù)字 。 如設 x = ? = ? 取 x*= ， 則 |x* x| = … ? = （ 絕對誤差限 ） ——有效位 3 ?167。 3 誤 差 31 誤差的基本概念 4. 有效數(shù)字和有效數(shù)字位數(shù) 定義 若 x*的誤差絕對值不超過某一位數(shù)的半個單位 ， 而該位數(shù)字到 x*的第 1位 （ 最左邊 ） 非零數(shù)字共有 n位 ， 則稱 x*有 n位有效數(shù)字 ， 這 n個數(shù)字都稱為有效數(shù)字 。 如設 x = ? = ? 取 x*= ， 則 |x* x|=… ? = ——有效位 3 ?167。 3 誤 差 31 誤差的基本概念 4. 有效數(shù)字和有效數(shù)字位數(shù) 定義 若 x*的誤差絕對值不超過某一位數(shù)的半個單位 ， 而該位數(shù)字到 x*的第 1位 （ 最左邊 ） 非零數(shù)字共有 n位 ， 則稱 x*有 n位有效數(shù)字 ， 這 n個數(shù)字都稱為有效數(shù)字 。 如設 x = ? = ? 取 x*=， 則 |x* x| = … ? = ——有效位 4 ?上述做法其實就是通常的四舍五入法。 167。 3 誤 差 31 誤差的基本概念 4. 有效數(shù)字和有效數(shù)字位數(shù) 定義 若 x* = ? 10k ? … an（ a1? 0） 是對 x的第 n + 1位數(shù)字進行四舍五入后得到的近似值 ， 即 | x* x| ? ， 則 x*具有 n位有效數(shù)字 。 注： (1) 稱 x*具有 n位有效數(shù)字 ， 即 | x* x| ? (2) 有效數(shù)字位數(shù)與小數(shù)點的位置無關 （ 即上式中的k不起作用 ） 。 只有寫成規(guī)格化數(shù)后 ， 小數(shù)點后的數(shù)字位數(shù)才有用 。 如何描述有效數(shù)字？一般情況下在計算機中數(shù)往往規(guī)格化，故有必要考察規(guī)格化數(shù)。 nk ?? 1021nk ?? 1021167。 3 誤 差 31 誤差的基本概念 4. 有效數(shù)字和有效數(shù)字位數(shù) (3) 4與 。 167。 3 誤 差 31 誤差的基本概念 4. 有效數(shù)字和有效數(shù)字位數(shù) 例 36 設準確值為 x = ， 分析近似值 = ， = 。 解： | x| = = （ 小數(shù)點后第 4位 ） ， 有效位 5。 | x| = = （ 小數(shù)點后第 4位 ） ， 有效位 5。 *1x *2x*2x*1x 000 21 ?000 ?167。 3 誤 差 31 誤差的基本概念 4. 有效數(shù)字和有效數(shù)字位數(shù) (4) 一般來說 ， 有效位數(shù)越多 ， 其誤差值越小 ， 但也有例外 。 （ 誤差相同 ， 有效位不同 ， 如下例 ） 例 37 設 x=1000， 它的兩個近似值 和 分別有 3， 4位有效數(shù)字 。 9 9*1 ?x 0 0 0*2 ?x167。 3 誤 差 31 誤差的基本概念 5. 有效數(shù)字與相對誤差間的關系 定理 設 x* = ? 10k ? … an（ a1? 0） 是 x的近似值 (1) 若 x*具有 n位有效數(shù)字 ， 則其相對誤差滿足： (2) 若 x*的相對誤差滿足： ， 則 x*至少具有 n位有效數(shù)字 。 上面用絕對誤差來描述了有效數(shù)位 ， 下面考慮相對誤差與有效數(shù)位的關系 。 1* 1021 ???? nrEnrE??? 1021*167。 3 誤 差 定理 設 x* = ? 10k ? … an（ a1? 0） 是 x的近似值 (1) 若 x*具有 n位有效數(shù)字 ， 則其相對誤差滿足： (2) 若 x*的相對誤差滿足： ， 則 x*至少具有 n位有效數(shù)字 。 證明：因為 10k1 = ? 10 k ? | x*| ? 10k， 所以 (1) | x*|? ?10 k= 10k1 ? 1* 1021 ???? nrEnrE??? 1021*11*** 1021101021|||| ?????????? nknkr xxxE167。 3 誤 差 定理 設 x*