簡(jiǎn)單相關(guān)與簡(jiǎn)單回歸(編輯修改稿)
2025-06-15 08:29 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 9 50. 96 15 , 2. 92 15? ? 0 .9 90. 65 15 , 3. 23 15zz⑤ 將 的置信區(qū)間轉(zhuǎn)換為 的置信區(qū)間： 本例中： ? ?? ?11111ln 2 1ln 2 1zrzLLL?????? ?? ?22211ln 2 1ln 2 1zrzLLL?????? ?? ?111l n 2 0 . 9 6 1 5 1 0 . 7 4 4 9l n 2 0 . 9 6 1 5 1rL????????? ?? ?211l n 2 2 . 9 2 1 5 1 0 . 9 7 1 7l n 2 2 . 9 2 1 5 1rL????????z r⑥ 的置信區(qū)間： 本例中： 顯然，相關(guān)系數(shù)的置信區(qū)間是偏態(tài)的 12 1,rrLL ??????? ? 95%0. 74 49 , 0. 97 17? ? 99%0. 57 27 , 0. 96 97r 第三節(jié) 直線回歸 簡(jiǎn)單相關(guān)說(shuō)明兩變量或兩性狀間是否存在相關(guān)關(guān)系及這種關(guān)系的密切程度和性質(zhì) 當(dāng)一個(gè)變量（或性狀）是 因 ，而另一變量（或性狀）是 果 ；或兩變量間雖無(wú)因果關(guān)系，但一個(gè)變量 易測(cè) ，而另一變量 難測(cè) （或雖易測(cè)，但必須經(jīng)過(guò)破壞，或測(cè)定成本太高），而兩變量間有較好的相關(guān)性，我們希望通過(guò)對(duì)一個(gè)變量的測(cè)定來(lái)預(yù)測(cè)另一變量，或通過(guò)因預(yù)測(cè)果 這種因果之間依存關(guān)系的研究就稱(chēng)為 回歸分析 例如，前一例中消毒藥物的使用量與消毒效果之間 顯然，消毒藥物的使用量（因， x）直接影響了消毒效果（果， y） 第二例中雞年產(chǎn)蛋量（因， x）直接影響了養(yǎng)雞戶(hù)的純利收入（果， y） 諸如此類(lèi)的變量間的關(guān)系研究在科研工作中是很多的 回歸分析表現(xiàn)了兩變量間一種比較嚴(yán)格的從屬關(guān)系，是用嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系將一種非確定性的關(guān)系確定下來(lái)的過(guò)程 如果兩變量間的變化規(guī)律呈大致的直線關(guān)系，就應(yīng)當(dāng)將這條最佳直線找出來(lái)，并用一個(gè)回歸方程來(lái)描述這條直線，從而可以從一個(gè)變量 x 的變化來(lái)預(yù)測(cè)另一個(gè)變量 y 的變化 一、直線回歸方程的配合 X 與 y 的直線回歸方程的一般形式為： 是 y 的估計(jì)值， 與實(shí)際的 y間會(huì)有一定的差異，當(dāng) 完全等于 y 時(shí)，就是普通數(shù)學(xué)中的函數(shù)關(guān)系 每一個(gè) x 都會(huì)有一個(gè)相應(yīng)的 x 為自變量，該直線回歸方程的讀法是： y 依 x 的直線回歸 方程中， a 是直線在 y 軸上的截距， b 是回歸系數(shù) 在數(shù)學(xué)中， b 即為斜率 ?y a bx???y ?y?y?y即當(dāng) x 每變化一個(gè)單位時(shí)，依變量 y 的平均變化量 因此， b 是有單位的，其單位是： 我們可以將（ x， y）在坐標(biāo)系內(nèi)作散點(diǎn)圖，這些散點(diǎn)越趨向一條直線，回歸方程就越理想 但根據(jù)這些散點(diǎn)我們可以作出無(wú)數(shù)條直線，到底哪一條直線是最好的？我們?nèi)绾闻袛啵? 判斷直線好壞的標(biāo)準(zhǔn)是：這條直線與所有散點(diǎn)的距離最近 即通過(guò) x 所預(yù)測(cè)的 與實(shí)際的 y 的誤差應(yīng)比任何其他直線的都來(lái)得小 因此，配合直線所使用的原則和方法是 最小二乘法 yxUU?y用最小二乘法所得到的回歸直線滿(mǎn)足如下兩個(gè)條件： 稱(chēng)之為離差平方和 即用 估計(jì) y 時(shí)的誤差最小 對(duì) Q 求 a、 b 的偏微分，并令之為 0： ? ?? ? ? ?22? 0? m i nyyQ y y y a bx??? ? ? ? ? ????? ?2?yy???y? ?? ?2020Qy a bxaQy a bx xb?? ? ? ? ???? ? ? ? ????整理之： 解之： 將所得 a、 b 兩值代入方程 ，即得一個(gè)能滿(mǎn)足上述兩條件的回歸方程 2{an b x ya x b x x y??????? ? ?? ?? ? ? ?? ?22211xyxxa y b x y b xnnxyxy CoVx x y y SPnbS S Vxxxxn? ? ? ?? ??? ? ? ???????? ?????y a bx??B 的符號(hào)取決于分子，因此 b 的符號(hào)與 r 的符號(hào)相同 b0 時(shí)， x 增大， y 也增大，即兩變量為正相關(guān) b0 時(shí)， x 增大， y 就減小，即兩變量為負(fù)相關(guān) 當(dāng) x 取 時(shí)，有 即回歸直線必通過(guò) x ?yy?? ?,xy二、回歸直線方程的計(jì)算及作圖 上例中，我們已有： 因此， 即該藥物消毒劑量與消毒效果的回歸方程為： 2731514875nxx?????26095342727940yyxy??????231 5 60 9279407 315148757b?????45x ?87y ?87 45 ? ? ? ?? 52 .6 06 5 0. 76 43yx??即每增加一個(gè)單位的消毒藥物，可增加 個(gè)百分點(diǎn)的消毒效果 直線的作圖 取最小和最大的 x 代入方程，得到相應(yīng)的 y 估計(jì)值： 這是作圖時(shí)的兩個(gè)端點(diǎn)，將這兩個(gè)端點(diǎn)用直線連接起來(lái) ? ? ? ?3 0 , 7 5 .5 4 , 6 0 , 9 8 .4 6需要注意的是，回歸直線僅局限在這兩個(gè)端點(diǎn)之間（根據(jù)具體情況允許稍微外拋一點(diǎn)），需要延長(zhǎng)的話必須十分謹(jǐn)慎 因?yàn)樵谏飳W(xué)科中，能無(wú)限延
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