【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ［答案］ D ［解析］原數(shù)列： 2， 8， 0， 64，（ 250） 提取子數(shù)列： 2， 1， 0， 1，（ 2）（常用子數(shù)列 1） 剩余子數(shù)列： 1， 8， 27， 64，（ 125）（立方數(shù)列） 【例 7】 （國(guó)家 202141） 2， 12， 36， 80，（）。 A. 100 B. 125 C. 150 D. 175 ［答案］ C ［解析］原數(shù)列： 2， 12， 36， 80，（ 150） 提取子數(shù)列： 2， 3， 4， 5，（ 6）（常用子數(shù)列 4） 剩余子數(shù)列： 1， 4， 9， 16，（ 25）（平方數(shù)列） 【例 8】 2， 30， 130， 350，（）。 A. 729 B. 738 C. 1029 D. 1225 ［答案］ B 19 ［解析］原數(shù)列： 2， 30， 130， 350，（ 738） 提取子數(shù)列： 1， 3， 5， 7，（ 9）（常用子數(shù)列 5） 剩余子數(shù)列： 2， 10， 26， 50， （ 82）（二級(jí)等差數(shù)列） *【例 9】 （江蘇 2021B 類 63） 8， 12， 16， 16，（）， 64。 A. 0 B. 4 C. 8 D. 12 ［答案］ A ［解析］原數(shù)列： 8， 12， 16， 16，（ 0）， 64 提取子數(shù)列： 4， 3， 2， 1，（ 0）， 1（常用子數(shù)列 1） 剩余子數(shù)列： 2， 4， 8， 16，（ 32）， 64（等比數(shù)列） 【例 10】（江蘇 2021A 類） 2， 8， 24， 64，（）。 A. 160 B. 512 C. 124 D. 164 ［答案］ A ［解析］原數(shù)列： 2， 8， 24， 64，（ 160） 提取子數(shù)列： 1， 2， 3， 4，（ 5）（常用子數(shù)列 4） 剩余子數(shù)列： 2， 4， 8， 16，（ 32）（等比數(shù)列） 【例 11】 6， 15，（）， 63， 121。 A. 21 B. 35 C. 48 D. 58 ［答案］ B ［解析 ］原數(shù)列： 6,15,（ 35） ,63,121 提取子數(shù)列： 3, 5,（ 7） , 9, 11（常用子數(shù)列 5） 剩余子數(shù)列： 2, 3,（ 5） , 7, 11（質(zhì)數(shù)數(shù)列） 【例 12】（江蘇 2021C 類 10） 2,6,15,28,（） ,78。 A. 45 B. 48 C. 55 D. 56 20 ［答案］ C ［解析］原數(shù)列： 2， 6， 15， 28，（ 55）， 78 提取子數(shù)列： 2， 3， 5， 7，（ 11）， 13（常用子數(shù)列 3） 剩余子數(shù)列： 1， 2， 3， 4，（ 5）， 6（等差數(shù)列） 【例 13】 （江西 202131） 0， 8， 54， 192， 500，（）。 A. 820 B. 960 C. 1080 D. 1280 ［答案］ C ［解析］原數(shù)列： 0， 8， 54， 192， 500，（ 1080） 提取子數(shù)列： 0， 1， 2， 3， 4，（ 5）（常用子數(shù)列 2） 剩余子數(shù)列： 1， 8， 27， 64， 125，（ 216）（立方數(shù)列） 【例 14】（四川 20215） 6,21,52,105,（）。 A. 172 B. 186 C. 210 D. 224 ［答案］ B ［解析］原數(shù)列： 6， 21， 52， 105，（ 186） 提取子數(shù)列： 2， 3， 4， 5，（ 6）（常用子數(shù)列 4） 剩余子數(shù)列： 3， 7， 13， 21，（ 31）（二級(jí)等差數(shù)列） 第六解答一道數(shù)字推理題，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)分成兩步：（ 1）判斷類型；（ 2）按類型使用具體方法。 后者很重要：掌握具體題型的具體解法是數(shù)字推理解題的基本能力。本書第二至七章將分門別類地介紹六大類數(shù)字推理題各自的典型解題方法和經(jīng)典例題。 前者更重要：這是解題的前提和關(guān)鍵。拿到一道數(shù)字推理題，我們?nèi)绾窝杆俣鴾?zhǔn)確地判定應(yīng)該選用什么樣的題型方法來(lái)解答這道題，或者說(shuō)我們應(yīng)該用什么樣的思維步驟來(lái)處理一個(gè)尚未確定類型的普通題目，這就是本節(jié)將要為大家解 21 決的問(wèn)題。 數(shù)字推理六大題型 ：數(shù)列中相鄰項(xiàng)通過(guò)四則運(yùn)算，得到的結(jié)果形成某種特定的規(guī)律。 ：數(shù)列中數(shù)字通過(guò)交叉或者分組，從而形成某種特定的規(guī)律。 ：數(shù)列中的數(shù)通過(guò)自然分隔，形成某種特定的規(guī)律。 ：數(shù)列中有基于平方、立方或其他乘方的規(guī)律。 ：數(shù)列中前面的項(xiàng)通過(guò)某種特定的運(yùn)算，得出后一項(xiàng)從而形成規(guī)律。 ：借助幾何圖形，構(gòu)建數(shù)字之間平面二維關(guān)系的數(shù)字推理類型。 在考場(chǎng)上，除了極其偶然地遇到本章第一節(jié)當(dāng)中闡述的 “基礎(chǔ)數(shù)列 ”之外，我們遇到的所有題型都 可以完全歸入上面定義的 “六大題型 ”。 我們把數(shù)字推理的原題數(shù)列定義為 “原生數(shù)列 ”，而原題數(shù)列經(jīng)過(guò)一定處理后得到的新的數(shù)列我們稱之為 “次生數(shù)列 ”。得到 “次生數(shù)列 ”的處理方式包括但不僅限于： （ 1) 原題數(shù)列 相鄰項(xiàng)做差 /商 /和 /積 得到的新數(shù)列； （ 2) 原題數(shù)列 通過(guò)交叉思維 得到的兩個(gè)新數(shù)列； （ 3) 原題數(shù)列 通過(guò)分組運(yùn)算 后得到的新數(shù)列； （ 4) 原題數(shù)列 分子 /分母 單獨(dú)構(gòu)成的數(shù)列； （ 5) 原題數(shù)列寫成 冪次 形式后，其 底數(shù) /指數(shù) 單獨(dú)構(gòu)成的數(shù)列； （ 6) 原題數(shù)列解題過(guò)程當(dāng)中 遇到的 “修正數(shù)列 ”； （ 7) 原題 數(shù)列 拆成的兩個(gè)乘積子數(shù)列或者加和子數(shù) 列。 很明顯， “次生數(shù)列 ”要比 “原生數(shù)列 ”簡(jiǎn)單，求解次生數(shù)列，我們只需要簡(jiǎn)單地應(yīng)用以下口訣即可： 特征 → 做差 → 遞推 。 22 而求解原生數(shù)列，我們的基本思想也是 “特征 → 做差 → 遞推 ”，只是這個(gè)過(guò)程相對(duì)次生數(shù)列更加細(xì)致、全面。我們用一個(gè)邏輯思路圖來(lái)總結(jié)做題的思維步驟： 特別說(shuō)明： “思維過(guò)程 ”，大家如果覺(jué)得過(guò)于抽象，務(wù)必在看完本書后面六章之后，再重新回頭好好體會(huì)。事實(shí)上，對(duì)于整個(gè)思維步驟圖，即使看完本書之后，還需要大家多加練習(xí)熟練 掌握后才能真正應(yīng)用自如。 ，但真正掌握之后，平均一分鐘之內(nèi)完成一道題是完全沒(méi)有問(wèn)題的，這就好比某武林秘笈的招數(shù)寫出來(lái)也許有幾十頁(yè)，但打出來(lái)肯定不超過(guò)一兩分鐘。 ，絕對(duì)不是一道一道的去驗(yàn)證上圖，而是數(shù)字推理五道題（有些考試是十道題）一起驗(yàn)證，一起尋找特征，這樣才能有效節(jié)省時(shí)間。 ，上圖最后一步，在 “遞推數(shù)列 ”再失敗之后，我們到底如何 “看情況 ”？其實(shí)，能夠走到這一步的數(shù)字推理題平均下來(lái)大致也就是10%~30%，直接蒙一個(gè)，跳過(guò)這些特別難的數(shù)字推理 題，節(jié)省下時(shí)間去完成其他題目未嘗不是一個(gè)最佳選擇；但如果時(shí)間夠用，并且是對(duì)于基礎(chǔ)相對(duì)較好的考生來(lái)說(shuō)，那么就應(yīng)該從這兩個(gè)方面去驗(yàn)證所謂 “特殊數(shù)列 ”：一是本書每章最后一節(jié)的 “題型拓展 ”；二是關(guān)注當(dāng)時(shí)各地考試剛出現(xiàn)的最新題型。 第二章多級(jí)數(shù)列 23 多級(jí)數(shù)列結(jié)構(gòu)示意圖 基本知識(shí)點(diǎn)： （ 1）多級(jí)數(shù)列是指對(duì)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)進(jìn)行 “－ 247。＋ ”四則運(yùn)算從而形成規(guī)律的數(shù)列； （ 2） “做差數(shù)列 ”是多級(jí)數(shù)列的主體內(nèi)容，做和數(shù)列和做積數(shù)列一般很少考到； （ 3）以做差數(shù)列為主體內(nèi)容的多級(jí)數(shù)列是五大題型中最基礎(chǔ)、最重要、最常見(jiàn)的數(shù)列； （ 4）運(yùn) 算后得到的 “次生數(shù)列 ”可能是等差數(shù)列、等比數(shù)列，也可以是其他 “特殊數(shù)列 ”，包括質(zhì)數(shù)數(shù)列、周期數(shù)列、冪次數(shù)列、基礎(chǔ)遞推數(shù)列等。 第一節(jié)二級(jí)等差數(shù)列 二級(jí)等差數(shù)列：一個(gè)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)兩兩做差，得到一個(gè)等差數(shù)列。 【例 1】（黑龍江 20218） 11， 12， 15， 20， 27，（） A. 32B. 34C. 36D. 38 ［答案］ C ［解析］ 【例 2】（國(guó)家 2021B 類 3） 32， 27， 23， 20， 18，（） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 ［答案］ D ［解析］ 【例 3】（江蘇 2021C 類 8） 0， 8， 24， 48， 80，（） A. 120B. 116C. 108D. 100 ［答案］ A ［解析］ 24 ？ 【例 4】 （浙江 2021A 類 1） ， 2， 92， 8，（）。 A. B. 272 C. 1412 D. 16 ［答案］ A ［解析］ ［注釋］本題如果全部化成分母為 2 的分?jǐn)?shù)，則分子呈 “平方數(shù)列 ”。 【例 5】（江蘇 2021A 類 6） 1， 8， 21， 40，（）， 96 A. 55 B. 60 C. 65 D. 70 ［答案］ C ［解析］ 猜測(cè)：一個(gè)公差為 6 的等差數(shù)列。 嘗試： x = 19+6=25,（） =40+25=65。 檢驗(yàn)： y = 25+6=31，（） =9631=65。猜測(cè)合理，選擇 C。 核心提示 對(duì)于未知項(xiàng)在中間的多級(jí)數(shù)列，需要我們采取先 “猜 ”后 “驗(yàn) ”的方式。 【例 6】（廣東 202187） 6， 9，（）， 24， 36。 A. 10 B. 11 C. 13 D. 15 ［答案］ D ［解析］ 猜測(cè)：一個(gè)公差為 3 的等差數(shù)列。 嘗試： x=3+3=6，（） =9+6=15。 檢驗(yàn)： y=6+3=9，（） =249=15。猜測(cè)合理，選擇 D。 【例 7】（國(guó)家 2021B 類 5） 2， 1， 7， 16，（）， 43 A. 25 B. 28 C. 31 D. 35 25 ［答案］ B ［解析］ 猜測(cè)：一個(gè)公差為 3 的等差數(shù)列。 嘗試： x =9+3=12,（） =16+12=28。 檢驗(yàn)： y = 12+3=15，（） =43 15=28。 猜測(cè)合理，選擇 B。 第二節(jié)二級(jí)等比數(shù)列 二級(jí)等比數(shù)列：一個(gè)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)兩兩做差，得到一個(gè)等比數(shù)列。 *【例 1】 （上海 20211） 8， 6， 2， 6，（）。 A. 8B. 10C. 20 D. 22 ［答案］ D ［解析］ ［注釋］本題前一項(xiàng)的 2 倍減去 10 等于后一項(xiàng)。 【例 2】 （四川 20214） 3， 8， 33， 158，（）。 A. 219 B. 378 C. 512 D. 783 ［答案］ D ［解析］ ［注釋］本題前一項(xiàng)的 5 倍減去 7 等于后一項(xiàng)。 核心提示 “二級(jí)等比數(shù)列 ”全部可以看成 “遞推倍數(shù)數(shù)列 ”，其修正項(xiàng)為一常數(shù)數(shù)列。 【例 3】 (安徽 20212)12， 14， 20， 38， ()。 A. 46 B. 38 C. 64 D. 92 ［答案］ D ［解析］ 26 *【例 4】（四川 20212） 2， 2， 6， 10， 22，（）。 A. 36 B. 40 C. 42 D. 48 ［答案］ C ［解析］ ［注釋］每個(gè)數(shù)字是其后面兩個(gè)數(shù)字的平均數(shù)。 【例 5】（山東 20211） 3， 4， 6， 10， 18，（）。 A. 34 B. 36 C. 38 D. 40 ［答案］ A ［解析］ 【例 6】（廣東 2021 下 4） 118， 199， 226， 235，（）。 A. 255 B. 253 C. 246 D. 238 ［答案］ D ［解析］ 【例 7】（國(guó)家 2021 一類 3國(guó)家 2021 二類 26） 102， 96， 108， 84，132，（）。 A. 36 B. 64 C. 70 D. 72 ［答案］ A ［解析］ ［注釋］每個(gè)數(shù)字是其后面兩個(gè)數(shù)字的平均數(shù)。 【例 8】（北京應(yīng)屆 20214） 32， 48， 40， 44， 42，（）。 A. 43 B. 45 C. 47 D. 49 ［答案］ A ［解析］ 27 ［注釋］每個(gè)數(shù)字是其前面兩個(gè)數(shù)字的平均數(shù)。 核心提示 “二級(jí)等比數(shù)列 ”中，如果做一次差后生成的次生數(shù)列 公比為 2，那么原生數(shù)列中每個(gè)數(shù)字是 其后面兩個(gè)數(shù)字的平均數(shù) ；如果做一次差后生成的次生數(shù)列 公比為 1/2，那么原生數(shù)列中每個(gè)數(shù)字是 其前面兩個(gè)數(shù)字的平均數(shù) 。 ？ 【例 9】 （浙江 20214） 34， 6， 14， 4， 9， 132，（）。 A. 223 B. 253 C. 274 D. 314 ［答案］ D ［解析］ ［注釋］每個(gè)數(shù)字是其前面兩個(gè)數(shù)字的平均數(shù)。 【例 10】（浙江 2021 31） 0， 16， 8， 12， 10，（）。 A. 11 B. 13 C. 14 D. 18 ［答案］ A ［解析］ ［注釋］每個(gè)數(shù)字是其前面兩個(gè)數(shù)字的平均數(shù)。 二級(jí)等差與等比數(shù)列重要提示 1.“二級(jí)等差 ”與 “二級(jí)等比 ”數(shù)列雖然非常簡(jiǎn)單，但它們是之后許多數(shù)列的 “基礎(chǔ)數(shù)列 ”，需要引起大家高度重視！ “兩兩做差 ”或者 “兩兩做商 ”的時(shí)候，切記一定要 “保持相減 /相除順序不要改變 ”，如果習(xí)慣性的認(rèn)為應(yīng)該用大數(shù)減去 /除以小數(shù)，那么在 “大小振蕩 ”型的多級(jí)數(shù)列中就很容易犯錯(cuò)誤！ 第三節(jié) 二級(jí)特殊數(shù)列 基本類型： 28 ； ； ； ； 。