【文章內(nèi)容簡介】 我們要知道這個物件有多重，實際上可以分來算，比如，我們知道每一個小塊的重量，然后計算總和就等于這個物件的重量了，這就是我們要談的分類原則。排列組合當中，當我們要求某一個事件發(fā)成的可能性種類，我們可以將這個事件分成若干個小事件來看待?；麨榱?，例如：7個人排座位，其中甲乙都只能坐在邊上。問有幾種方法。根據(jù)分類的方法。我們可以看，第一類情況：甲坐在左邊，乙坐在右邊，其他人隨便坐，A（5，5）第二類情況：甲坐在右邊，乙坐在左邊，其他人隨便坐，A（5，5）我們分別計算出2種情況進而求和即得到答案。這就是分類原則。這樣就是A（5，5）＋A（5，5）＝240(2)、乘法原理（實質(zhì)上就是一種分步原則）：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，??，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1m2m3?mn種不同的方法．例如： 7個人排座位，其中甲乙都只能坐在邊上。問有幾種方法，按照分步原則，第一步：我們先對甲乙之外的5個人先排序座位，把兩端的座位空下來，A（5，5）第二步：我們再排甲乙，A（2，2）這樣就是 A（5，5）A（2，2）＝240如何區(qū)分兩個原理：我們知道分類原則也就是加法原則，每一個分類之間沒有聯(lián)系，都是可以單獨運算，單獨成題的，也就是說，這一類情況的方法是獨立的，所以我們采用了加法原理。要做一件事，完成它若是有n類辦法，是分類問題，第一類中的方法都是獨立的，因此用加法原理；我們知道分步原則也就是乘法原則。做一件事，需要分n個步驟，步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的若干個互相聯(lián)系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理．說明其每一個步驟之間都是有必然聯(lián)系的。是相互依靠的關(guān)系。所以采用了乘法原則。這樣完成一件事的分“類”和“步”是有本質(zhì)區(qū)別的，因此也將兩個原理區(qū)分開來（3）特殊優(yōu)先，一般次要的原則例題：（1）從……、20這二十個數(shù)中任取三個不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有___個。第一步構(gòu)建排列組合的定義模式，如果把數(shù)學邏輯轉(zhuǎn)換的問題。（2）在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長，要求A，B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有______種。第一類：A在第一壟，B有3種選擇；第二類：A在第二壟，B有2種選擇；第三類：A在第三壟，B有一種選擇，同理A、B位置互換，共12種。（3）從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有________。(A)240(B)180(C)120(D)60 分析：顯然本題應分步解決。（一）從6雙中選出一雙同色的手套，有C（6，1）種方法；（二）從剩下的5雙手套中任選2雙，有C（5，2）種方法。（三）這2雙可以任意取出其中每雙中的1只，保證各不成雙； 即 C（6，1）*C（5，2）*2^2=240（4）身高互不相同的6個人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個人都比他同列的身后的人個子矮，則所有不同的排法種數(shù)為_______。分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊方法只與人的選法有關(guān)系，共有三縱列，從而有C（6，2）C（4，2）C（2，2）=90種。四、解決排列組合問題的策略逆向思維法：我們知道排列組合都是對一個元素集合進行篩選排序。我們可以把這個集合看成數(shù)學上的單位1，那么1＝a＋b 就是我們構(gòu)建逆向思維的數(shù)學模型了，當a不利于我們運算求解的時候，我們不妨從b的角度出發(fā)思考，這樣同樣可以求出a＝1－b。例題：7個人排座，甲坐在乙的左邊（不一定相鄰）的情況有多少種？例題：一個正方體有8個頂點 我們?nèi)我膺x出4個，有多少種情況是這4個點可以構(gòu)成四面體的。例題：用0，2，3，4，5這五個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）A．24個B．30個C．40個D．60個解含有特殊元素、特殊位置的題——采用特殊優(yōu)先安排的策略：（1）無關(guān)型：兩個特殊位置上分別可取的元素所組成的集合的交是空集例題：用0，1，2，3，4，5六個數(shù)字可組成多少個被10整除且數(shù)字不同的六位數(shù)?（2）包含型：兩個特殊位置上分別可取的元素所組成集合具有包合關(guān)系例題：用0，1，2，3，4，5六個數(shù)字可組成多少個被5整除且數(shù)字不同的六位奇數(shù)? P55－P44＝120－24＝96用0，1，2，3，4，5六個數(shù)字可組成多少個被25整除且數(shù)字不同的六位數(shù)? 25，75（3321）2＋P44＝36＋24＝60（3）影響型：兩個特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的。例題：用1，2，3，4，5這五個數(shù)字，可以組成比20000大并且百位數(shù)字不是3的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)有多少個?解含有約束條件的排列組合問題一――采用合理分類與準確分步的策略 例題：平面上4條平行直線與另外5條平行直線互相垂直，則它們構(gòu)成的矩形共有________個。簡析：按構(gòu)成矩形的過程可分為如下兩步：第一步．先在4條平行線中任取兩條，有C4取2種取法；第二步再在5條平行線中任取兩條，有C5取2種取法。這樣取出的四條直線構(gòu)成一個矩形，據(jù)乘法原理，構(gòu)成的矩形共有610=60個解排列組臺混合問題——采用先選后排策略對于排列與組合的混合問題，可采取先選出元素，后進行排列的策略。例：4個不同小球放入編號為4的四個盒子，則恰有一個空盒的放法有___種。144插板法插板法的條件構(gòu)成： 1元素相同，2分組不同，3必須至少分得1個 插板法的類型：（1）、10塊奶糖分給4個小朋友，每個小朋友至少1塊，則有多少種分法？（典型插板法 點評略）（2）、10塊奶糖分給4個小朋友有多少種方法？（湊數(shù)插板法： 這個題目對照插板法的3個條件我們發(fā)現(xiàn) 至少滿足1個這個條件沒有，所以我們必須使其滿足，最好的方法 就是用14塊奶糖來分，至少每人1塊，當每個人都分得1塊之后，剩下的10塊就可以隨便分了，就回歸到了原題）（3）、10塊奶糖放到編號為1，2，3的3個盒子里，每個盒子的糖數(shù)量不少于其編號數(shù)，則有幾種方法？（定制插板法： 已然是最后一個條件不滿足，我們該怎么處理呢，應該學會先去安排 使得每個盒子都差1個，這樣就保證每個盒子必須分得1個，從這個思路出發(fā)，跟第二個例題是姊妹題思路是一樣的 對照條件 想辦法使其和條件吻合?。?）、8塊奶糖和另外3個不同品牌的水果糖要放到編號為1～11的盒子里面，每個盒子至少放1個，有多少種方法？（多次插空法 這里不多講，見我排列組合基礎講義）遞歸法（枚舉法）公考也有這樣的類型，排錯信封問題，還有一些郵票問題歸納法：例如：5封信一一對應5個信封，其中有3個封信裝錯信封的情況有多少種？枚舉法：例如：10張相同的郵票 分別裝到4個相同的信封里面，每個信封至少1張郵票，有多少種方法？ 枚舉： 1，1，1，7 1，1，2，6 1，1，3，5 1，1，4，4 1，2，2，5 1，2，3，4 1，3，3，3 2，2，2，4 2，2，3，3 9種方法！五、疑難問題如何驗證重復問題關(guān)于位置與元素的相同問題，例如： 6個人平均分配給3個不同的班級，跟 6個學生平分成3組的區(qū)別關(guān)于排列組合里面，充分運用對稱原理。例題： 1，2，3，4，5 五個數(shù)字可以組成多少個十位數(shù)小于個位數(shù)的四位數(shù)？例題：7個人排成一排，其中甲在乙右邊（可以不相鄰）的情況有多少種？注解：分析2種對立情況的概率，即可很容易求解。當對立情況的概率相等，即對稱原理。環(huán)形排列和線性排列問題。（見我的基礎排列組合講義二習題講解）例如：3個女生和4個男生圍坐在一個圓桌旁。問有多少種方法？例如：3對夫婦圍坐在圓桌旁，男女間隔的坐法有多少種？注解：排列組合中，特殊的地方在于，第一個坐下來的人是作為參照物，所以不納入排列的范疇，我們知道，環(huán)形排列中 每個位置都是相對的位置，沒有絕對位置，所以需要有一個人坐下來作為參照位置。幾何問題：見下面部分的內(nèi)容。例析立體幾何中的排列組合問題在數(shù)學中，排列、組合無論從內(nèi)容上還是從思想方法上，都體現(xiàn)了實際應用的觀點。1 點1．1 共面的點例題： 四面體的一個頂點為A，從其它頂點與棱的中點中取3個點，使它們和點A在同一平面上，不同的取法有（）A．30種B．33種C．36種D．39種答案：B 點評：此題主要考查組合的知識和空間相像能力；屬難度中等的選擇題，失誤的主要原因是沒有把每條棱上的3點與它對棱上的中點共面的情況計算在內(nèi)。1．2 不共面的點例2： 四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有（）A．150種B．147種C．144種D．141種解析：從10 個點中任取4個點有C（10，4）＝210 種取法，其中4點共面的情況有三類：第一類，取出的4個點位于四面體的同一個面內(nèi)，有C（6，2）＝15種；第二類，取任一條棱上的3個點及對棱的中點，這4點共面有6種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形，它的4個頂點共面，有3種。以上三類情況不合要求應減掉，所以不同取法共有210－415－6－3＝141 種。答案：D。點評：此題難度很大，對空間想像能力要求高，很好的考察了立體幾何中點共面的幾種情況；排列、組合中正難則反易的解題技巧及分類討論的數(shù)學思想。幾何型排列組合問題的求解策略有關(guān)幾何型組合題經(jīng)常出現(xiàn)在各類試題中，它的求解不僅要具備排列組合的有關(guān)知識，、靈活、能力要求高，分步求解例1 圓周上有2n個等分點（n＞1），以其中三個點為頂點的直角三角形的個數(shù)為______． 解：本題所求的三角形，即為圓的內(nèi)接直角三角形，由平面幾何知識，應分兩步進行：先從2n個點中構(gòu)成直徑（即斜邊）共有n種取法；再從余下的(2n－2)個點中取一點作為直角頂點，有(2n－2)種不同取法．故總共有n(2n－2)＝2n(n－1)個直角三角形．故填2n(n－1)．例2： 從集合{0、11}中任取3個元素分別作為直線方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標原點原直線共有____條（結(jié)果用數(shù)值來表示）.解：因為直線過原點，所以C＝、11這6個數(shù)中任取2個作為A、B，兩數(shù)的順序不同，表示的直線也不同，所以直線的條數(shù)為 P（6，2）＝30． 二分類求解例3 四邊體的一個頂點為A，從其它頂點與各棱的中點中取3點，使它們和A在同一平面上，不同取法有（）(A)30種(B)33種(C)36種(D)39種解：符合條件的取法可分三類：① 4個點（含A）在同一側(cè)面上，有3 ＝30種；②4個點（含A）在側(cè)棱與對棱中點的截面上，有3種；由加法原理知不同取法有33種，排除法求解例4 從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有（）(A)8種(B)12種(C)16種(D)20種解：由六個任取3個面共有 C（6，3）＝20種，排除掉3個面都相鄰的種數(shù)，即8個角上3個平面相鄰的特殊情形共8種，故符合條件共有 20－8＝12種，故選(B)．例5 正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中3個點為頂點的三角形共有（）個？解：從7個點中任取3個點，共有C（7，3）＝35 個，排除掉不能構(gòu)成三角形的情形．點在同一直線上有3個，故符合條件的三角形共有 35－3＝32個．四轉(zhuǎn)化法求解例6 空間六個點，它們?nèi)魏稳c不共線，任何四點不共面，則過每兩點的直線中有多少對異面直線？解：考慮到每一個三棱錐對應著3 對異面直線，（6，4）＝15 個三棱錐，故共有315 ＝ 一個圓的圓周上有10個點，每兩個點連接一條弦，求這些弦在圓內(nèi)的交點個數(shù)最多有幾個？解：考慮到每個凸四邊形的兩條對角線對應一個交點，則問題可轉(zhuǎn)化為構(gòu)成凸四邊形的個數(shù)．顯然可構(gòu)成 C（10，4）＝210個圓內(nèi)接四邊形，、染色問題：不涉及環(huán)形染色 可以采用特殊區(qū)域優(yōu)先處理的方法來分步解決。環(huán)形染色可采用如下公式解決：An＝（a－1）^n+(a1)(1)^n n表示被劃分的個數(shù)，a表示顏色種類原則：被染色部分編號，并按編號順序進行染色，根據(jù)情況分類 在所有被染色的區(qū)域，區(qū)分特殊和一般，特殊區(qū)域優(yōu)先處理例題1：將3種作物種植在如圖4所示的5塊試驗田里，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗田不能種同一種作物。則有多少種種植方法？圖1例題2：用5種不同顏色為圖中ABCDE五個部分染色，相鄰部分不能同色，但同一種顏色可以反復使用，也可以不使用，則符合要求的不同染色方法有多少種？圖2例題3：將一個四棱錐的五個頂點染色，使同一條棱的2個端點不同色，且只由五個顏色可以使用，有多少種染色方法？圖3例題4：一個地區(qū)分為如圖4所示的五個行政區(qū)域，現(xiàn)在有4種顏色可供選擇，給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不同色，那么則有多少種染色方法？圖4例題5：某城市中心廣場建造了一個花圃，分6個部分（如圖5）現(xiàn)在要栽種4種不同的顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能種同樣顏色的花，則有多少種不同栽種方式？圖5：5.【分享】無私奉獻萬華的排列組合題（系列之二）上次發(fā)了萬華的數(shù)字推理５０道，大家反映良好，現(xiàn)在我把萬華原創(chuàng)的幾道排列組合奉獻給大家．還是那句老話，如果覺得可以的話，看后要回帖！以表示對別人的尊重！一）1, 2, 3, 4作成數(shù)字不同的三位數(shù)，試求其總和？但數(shù)字不重復。[解析]組成3位數(shù) 我們以其中一個位置(百位,十位,個位)為研究對象就會發(fā)現(xiàn) 當某個位置固定 比如是1,那么其他的2個位置上有多少種組合? 這個大家都知道 是剩下的3個數(shù)字的全排列 P32 我們研究的位置上每個數(shù)字都會出現(xiàn)P32次所以每個位置上的數(shù)字之和就可以求出來了個位是:P32*(1+2+3+4)=60 十位是:P32*(1+2+3+4)*10=600 百位是:P32*(1+2+3+4)*100=6000 所以總和是6660（二）將“PROBABILITY ”11個字母排成一列，排列數(shù)有______種，若保