【文章內(nèi)容簡介】 ① 計算β，采用一次二階矩法； ② 計算各變量的偏導(dǎo)； ③ 確定 Hesse 矩陣，采用正交規(guī)范化處理技術(shù)； ④ 計算β，及失效概率； Breitung 法具有比一次二階距方法更高的精度， 在掌握了一次二階距的編程方法之后，Breitung 法先將一次二階距方法程序?qū)懗鰜碛嬎阋淮味A距方法的可靠指標(biāo)，再對Breitung 方法的二次二階倒數(shù)部分進行計算，從而獲得二次二階距方法的可靠指標(biāo)。 4 可靠度計算在 Matlab 環(huán)境下的實現(xiàn)與比較 算例 【 16】 一承載力 為 R 的軸壓短柱，承受荷載 S 作用。已知 R 服從正態(tài)分布 ,； S服從對數(shù)正態(tài)分布 ,。 R,S 相互獨立。試確定柱的受壓承載能力的可靠指標(biāo)。柱的功能函數(shù)為 Z=RS。利用 MATLAB 軟件編寫了 JC 法，一次漸進法，二次二階矩法（ Breitung），蒙特卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計算結(jié)果如 表 1。 表 1 項目 直接蒙特卡洛法 Breitung法 一次漸進法 JC 法 重要抽樣蒙特卡洛法 N=1e4 N=1e5 N=1e6 結(jié)構(gòu)可靠度基于 Matlab 算 法性能比較 10 算例1.1 可靠指標(biāo)（ ? ） 失效概率 fp 可靠指標(biāo)相對于直接蒙特卡羅法誤差 % % % % % 0 算例 【 16】 一承載力為 R 的軸壓短柱，承受荷載 S 作用。已 知 R 服從正態(tài)分布 ,； S服從對數(shù)正態(tài)分布 ,。 R,S 相互獨立。試確定柱的受壓承載能力的可靠指標(biāo)。柱的功能函數(shù)為 Z=RS。利用 MATLAB 軟件編寫了 JC 法，一次漸進法，二次二階矩法（ Breitung），蒙特卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計算結(jié)果如表 2。 表 2 項目 直接蒙特卡洛法 Breitung法 一次漸進法 JC 法 重要抽樣蒙特卡洛法 N=1e4 N=1e5 N=1e6 算例 可靠指標(biāo)（ ? ） 失效概率 fp () .3900 可靠指標(biāo)相對于直接蒙特卡羅法誤差 0 % % % % % 算例 【 16】 一承載力為 R 的軸壓短柱，承受荷載 S 作用。已知 R 服從正態(tài)分布 ,； S服從對數(shù) 正態(tài)分布 ,。 R,S 相互獨立。試確定柱的受壓承載能力的可靠指標(biāo)。柱的功能函數(shù)為 Z=RS。利用 MATLAB 軟件編寫了 JC 法，一次漸進法，二次二階矩法（ Breitung），蒙特卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計算結(jié)果如 表 3。 表 3 項目 直接蒙特卡洛法 Breitung法 一次漸進法 JC 法 重要抽樣蒙特卡洛法 N=1e4 N=1e5 N=1e6 算例 可靠指標(biāo)（ ? ） 失效概率 fp 可靠指標(biāo)相對于直接蒙特卡羅法誤差 % % 4,.70% % % % 結(jié)構(gòu)可靠度基于 Matlab 算 法性能比較 11 算例 【 15】 一承載力為 R 的軸壓短柱，承受荷載 S 作用。已知 R 服從正態(tài)分布 ,； S服從對數(shù)正態(tài)分布 ,。 R,S 相互 獨立。試確定柱的受壓承載能力的可靠指標(biāo)。柱的功能函數(shù)為 Z=RS。利用 MATLAB 軟件編寫了 JC 法，一次漸進法，二次二階矩法（ Breitung），蒙特卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計算結(jié)果如 表 4： 表 4 項目 直接蒙特卡洛法 Breitung法 一次漸進法 JC 法 重要抽樣蒙特卡洛法 N=1e4 N=1e5 N=1e6 算例 可靠指標(biāo)（ ? ） 失效概率 fp () 可靠指標(biāo)相對于直接蒙特卡羅法誤差 % % % % % % 例題 1 設(shè)計為線性功能函數(shù)，設(shè)計方法采用功能函數(shù)和分布情況不發(fā)生變化，而參數(shù)發(fā)生變化。分別通過均值不變標(biāo)準(zhǔn)差減小例 ，均值增大標(biāo) 準(zhǔn)差不變例 ，均值增大標(biāo)準(zhǔn)差減小例 。對四個例題分別進行對比討論參數(shù)變化對于可靠指標(biāo)精度的影響。從四道例題總的來看 JC 法計算誤差最大且結(jié)果偏大，重要抽樣蒙特卡洛法相對誤差最小同時重要抽樣法抽樣次數(shù)越多結(jié)果越精確，一次漸進法計算誤差也較大， breitung 法計算誤差較小。將例 同例 對比發(fā)現(xiàn)當(dāng)均值不變標(biāo)準(zhǔn)差減小時 breitung 法和一次漸進法趨于精確，而重要抽樣蒙特卡洛法精確度降低。例 對比發(fā)現(xiàn)均值不變標(biāo)準(zhǔn)差減小與均值增大標(biāo)準(zhǔn)差不變所得結(jié)論相同。將例 同例 對比發(fā)現(xiàn)當(dāng)均值增 大標(biāo)準(zhǔn)差減小時 breitung法和一次漸進法精度較例 高。由此可以得出結(jié)論，當(dāng)功能函數(shù)和分布情況相同時，均值較大標(biāo)準(zhǔn)差較小的情況下采用 breitung 法和一次漸進法可以采用，重要抽樣蒙特卡洛法可以采用抽樣次數(shù)需大于 1e6。同時可以得到，重要抽樣法所得結(jié)果隨著抽樣次數(shù)增加而精確。 算例 【 16】 已知結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)為，其中 X1服從對數(shù)正態(tài)分布， X2服從極值 1 型分布，X3服從 Weibull 分布；其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為 。試計算結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)和失效概率。 利用MATLAB 軟件編寫了 JC 法，一次漸進法， 二次二階矩法（ Breitung），蒙特 卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計算結(jié)果如 表 5： 結(jié)構(gòu)可靠度基于 Matlab 算 法性能比較 12 表 5 項目 直接蒙特卡洛法 Breitung法 一次漸進法 JC 法 重要抽樣蒙特卡洛法 N=1e4 N=1e5 N=1e6 算例 可靠指標(biāo)（ ? ） 失效概率 fp 可靠指標(biāo)相對于直接蒙特卡羅法誤差 % % % % % % 從例 屬于線性情況下極限狀態(tài)方程，例 屬于非線性程度較高的極限狀態(tài)方程。從例 與例 計算結(jié)果相對比可以看出非線性程度較高的情況下 breitung 法計算誤差增大且計算結(jié)果偏小，一次漸進法精度提高，同樣 JC 法對于線性極限狀態(tài) 方程和非線性極限狀態(tài)方程誤差都較大。同時相同抽樣次數(shù)情況下線性極限狀態(tài)方程采用重要抽樣蒙特卡洛法精度比非線性極限狀態(tài)方程采用重要抽樣蒙特卡洛法精度要高。 算例 已知非線性極限狀態(tài)方程， f、 r 服從正態(tài)分布， H 服從對數(shù)正態(tài)分布，他們的參數(shù)分別為 =， 。=， 。=。 試求可靠指標(biāo)及失效概率。 利用 MATLAB 軟件編寫了 JC 法，一次漸進法，二次二階矩法（ Breitung），蒙特卡洛直接抽樣法 和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計算結(jié)果如表 6。 表 6 項目 直接蒙特卡洛法 Breitung法 一次漸進法 JC 法 重要抽樣蒙特卡洛法 N=1e4 N=1e5 N=1e6 算例1 可靠指標(biāo)（ ? ） 失效概率 fp 可靠指標(biāo)相對于 直接蒙特卡羅法誤差 % % % % % % 算例 【 18】 已知非線性極限狀態(tài)方程， f、 r 服從正態(tài)分布， H 服從極值 1 型分布，他們的參數(shù)分別為 =， 。=， 。=。試求可靠指標(biāo)及失效概率。 利用 MATLAB 軟件編寫了 JC 法，一次漸進法，二次二階矩法（ Breitung），蒙特卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛結(jié)構(gòu)可靠度基于 Matlab 算 法性能比較 13 重要法，具體程序在程序包中，計算結(jié)果 如 表 7。 表 7 項目 直接蒙特卡洛法 Breitung法 一次漸進法 JC 法 重要抽樣蒙特卡洛法 N=1e4 N=1e5 N=1e6 算例 可靠指標(biāo)（ ? ） 失效概率 fp 可靠指標(biāo)相對于直接蒙特卡羅法誤差 % % % % % % 例 與例 采用功能函數(shù)相同參數(shù)相同但函數(shù)分布情況不同。例 同例 均屬于非線性極限狀態(tài)方程，例 較例 非線性程度高一些。從兩個例子對比可以得出例 法計算精度較高，例 一次漸進法計算精度較高，例 法計算精度較高，重要抽樣蒙特卡羅法所得結(jié)果精度趨平。 算例 已知結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為 ,其中 X1 服從正太分布 ,X2 服從對數(shù)正態(tài)分布。他們的參數(shù)分別為 。試求可靠指標(biāo)和失效概率。 利用 MATLAB 軟件編寫了 JC 法，一次漸進法，二次二階矩法（ Breitung），蒙特 卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計算結(jié)果如表 8。 表 8 項目 直接蒙特卡洛法 Breitung法 一次漸進法 JC 法 重要抽樣蒙特卡洛法 N=1e4 N=1e5 N=1e6 算例 可靠指標(biāo)（ ? ） 失效概率 fp （ 可靠指標(biāo)相對于直接蒙特卡羅法誤差 % % % % % % 算例 【 17】 已知結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為 ,其中 X1 服從正態(tài)分布 ,X2 服從極值 1 型分布。他們的參數(shù)分別為 。試求可靠指標(biāo)和失效概率。 利用 MATLAB 軟件編寫了 JC 法，一次漸進法，二次二階矩法（ Breitung） ，蒙特卡洛 直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計算結(jié)果如表 9。 結(jié)構(gòu)可靠度基于 Matlab 算 法性能比較 14 表 9 項目 直接蒙特卡洛法 Breitung法 一次漸進法 JC 法 重要抽樣蒙特卡洛法 N=1e4 N=1e5 N=1e6 算例 可靠指標(biāo)（ ? ） 失效概率 fp （ 可靠指標(biāo)相對于直接蒙特卡羅法誤差 % % % % % % 算例 【 18】 已知結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為 ,其中 X1 服從對數(shù)分布 ,X2 服從極值 1 型分布。他們的參數(shù)分別為 。試求可靠指標(biāo)和失效概率。 利用 MATLAB 軟件編寫了 JC 法，一次漸進法，二次二階矩法（ Breitung），蒙特卡洛 直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計 算結(jié)果如表 10。 表 10 項目 直接蒙特卡洛法 Breitung法 一次漸進法 JC 法 重要抽樣蒙特卡洛法 N=1e4 N=1e5 N=1e6 算例 可靠指標(biāo)（ ? ） 失效概率 fp （ 10． 000 可靠指標(biāo)相對于直接蒙特卡羅法誤差 % % % % % % 例 , 采用非線性極限狀態(tài)方程，功能函數(shù)相同參數(shù)相同但分布情況不同進行對比。從三個例題所得結(jié)論來看對于一個正態(tài)一個對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)的情況比一個正態(tài)一個極值 1 型分布函數(shù)情況下， breitung 法和一次漸進法 JC 法及重要抽樣蒙特卡羅法精確度要高一些。 例 同例 相比較計算記過精度大致平行。例 同例 相比， 例 ，所得結(jié)果精度要高一些，可以得出例 一個正態(tài)分布一個極值 1 型分布相乘的情況下所得結(jié)果計算精度較低，建議采用 breitung 法。 結(jié)構(gòu)可靠度基于 Matlab 算 法性能比較 15 從上面這些例題可以看出重要抽樣蒙特卡洛法哪種情況下計算精度都較高但運行時間也較長，直接抽樣蒙特卡洛法運行時間最長，計算效率較低但精度很高，但是不能求出驗算點的位置，這是蒙特卡洛法的缺點。 5 結(jié)論 1．從上述例題可以看出 JC 法誤差較大，對于線性方程 JC 法計算結(jié)果通常偏大，對于非線性方程 JC 法所得結(jié)果通常偏小，在可靠度要求較高的工程中不適合采用，但其程序相對簡單明了易于初 學(xué)者學(xué)習(xí)，可以將 JC 法作為快速演算別的復(fù)雜算法所得結(jié)果是否正確的的一種方法。 蒙特卡羅 (MonteCarlo)法是結(jié)構(gòu)可度析的基本方法之一 , 它具有模擬的收斂速度與基本隨機向量的維數(shù)無關(guān)、極限狀態(tài)函數(shù)的復(fù)雜程度與模擬過程無關(guān)、無需將狀態(tài)函數(shù)線性化和隨機變量當(dāng)量正態(tài)化數(shù)值模擬的誤差可由模擬次數(shù)和精度較容易地加以確定的特點。但是 ,當(dāng)實際工程的結(jié)構(gòu)破壞概率在 310? 以下時 ,該法的模擬數(shù)目就會相當(dāng)大 , 進而占用大量時間 .。該法 既可用來分析確定性問題 ,也可用來分析不確定問題 .由于具有相對精確的特點 , 除用于一些復(fù)雜情況的可靠度分析外 , 也常用于各種近似分析方法的計算結(jié)果校核。 ，重要抽樣的蒙特卡洛法用很少的仿真次數(shù)就可以得到較為精確的結(jié)果，上述算例都有體現(xiàn)，在資源消耗上，重要抽樣法有著明顯的優(yōu)勢。 法作為二次二階距法比一次一階距（ JC）法相比有明顯的優(yōu)勢， breitung 方法對于線性方程和非線性程度不高的方程計算精度較高，對于非線性程度比較高的方 程計算精度較低，在上述算例又算體現(xiàn)。因此可以考慮在線性方程情況下采用該方法。 高，因此可以再非線性方程計算中采用一次漸進方程。 ， 當(dāng)均值不變標(biāo)準(zhǔn)差減小時 breitung 法和一次漸進法趨于精確，而重要抽樣蒙特卡洛法精確度降低。均值不變標(biāo)準(zhǔn)差減小與均值增大標(biāo)準(zhǔn)差不變所得結(jié)論相同。 ，