【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ① 計(jì)算β，采用一次二階矩法； ② 計(jì)算各變量的偏導(dǎo)； ③ 確定 Hesse 矩陣，采用正交規(guī)范化處理技術(shù)； ④ 計(jì)算β，及失效概率； Breitung 法具有比一次二階距方法更高的精度， 在掌握了一次二階距的編程方法之后，Breitung 法先將一次二階距方法程序?qū)懗鰜?lái)計(jì)算一次二階距方法的可靠指標(biāo)，再對(duì)Breitung 方法的二次二階倒數(shù)部分進(jìn)行計(jì)算，從而獲得二次二階距方法的可靠指標(biāo)。 4 可靠度計(jì)算在 Matlab 環(huán)境下的實(shí)現(xiàn)與比較 算例 【 16】 一承載力 為 R 的軸壓短柱，承受荷載 S 作用。已知 R 服從正態(tài)分布 ,； S服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布 ,。 R,S 相互獨(dú)立。試確定柱的受壓承載能力的可靠指標(biāo)。柱的功能函數(shù)為 Z=RS。利用 MATLAB 軟件編寫(xiě)了 JC 法，一次漸進(jìn)法，二次二階矩法（ Breitung），蒙特卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計(jì)算結(jié)果如 表 1。 表 1 項(xiàng)目 直接蒙特卡洛法 Breitung法 一次漸進(jìn)法 JC 法 重要抽樣蒙特卡洛法 N=1e4 N=1e5 N=1e6 結(jié)構(gòu)可靠度基于 Matlab 算 法性能比較 10 算例1.1 可靠指標(biāo)（ ? ） 失效概率 fp 可靠指標(biāo)相對(duì)于直接蒙特卡羅法誤差 % % % % % 0 算例 【 16】 一承載力為 R 的軸壓短柱，承受荷載 S 作用。已 知 R 服從正態(tài)分布 ,； S服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布 ,。 R,S 相互獨(dú)立。試確定柱的受壓承載能力的可靠指標(biāo)。柱的功能函數(shù)為 Z=RS。利用 MATLAB 軟件編寫(xiě)了 JC 法，一次漸進(jìn)法，二次二階矩法（ Breitung），蒙特卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計(jì)算結(jié)果如表 2。 表 2 項(xiàng)目 直接蒙特卡洛法 Breitung法 一次漸進(jìn)法 JC 法 重要抽樣蒙特卡洛法 N=1e4 N=1e5 N=1e6 算例 可靠指標(biāo)（ ? ） 失效概率 fp () .3900 可靠指標(biāo)相對(duì)于直接蒙特卡羅法誤差 0 % % % % % 算例 【 16】 一承載力為 R 的軸壓短柱，承受荷載 S 作用。已知 R 服從正態(tài)分布 ,； S服從對(duì)數(shù) 正態(tài)分布 ,。 R,S 相互獨(dú)立。試確定柱的受壓承載能力的可靠指標(biāo)。柱的功能函數(shù)為 Z=RS。利用 MATLAB 軟件編寫(xiě)了 JC 法，一次漸進(jìn)法，二次二階矩法（ Breitung），蒙特卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計(jì)算結(jié)果如 表 3。 表 3 項(xiàng)目 直接蒙特卡洛法 Breitung法 一次漸進(jìn)法 JC 法 重要抽樣蒙特卡洛法 N=1e4 N=1e5 N=1e6 算例 可靠指標(biāo)（ ? ） 失效概率 fp 可靠指標(biāo)相對(duì)于直接蒙特卡羅法誤差 % % 4,.70% % % % 結(jié)構(gòu)可靠度基于 Matlab 算 法性能比較 11 算例 【 15】 一承載力為 R 的軸壓短柱，承受荷載 S 作用。已知 R 服從正態(tài)分布 ,； S服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布 ,。 R,S 相互 獨(dú)立。試確定柱的受壓承載能力的可靠指標(biāo)。柱的功能函數(shù)為 Z=RS。利用 MATLAB 軟件編寫(xiě)了 JC 法，一次漸進(jìn)法，二次二階矩法（ Breitung），蒙特卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計(jì)算結(jié)果如 表 4： 表 4 項(xiàng)目 直接蒙特卡洛法 Breitung法 一次漸進(jìn)法 JC 法 重要抽樣蒙特卡洛法 N=1e4 N=1e5 N=1e6 算例 可靠指標(biāo)（ ? ） 失效概率 fp () 可靠指標(biāo)相對(duì)于直接蒙特卡羅法誤差 % % % % % % 例題 1 設(shè)計(jì)為線性功能函數(shù)，設(shè)計(jì)方法采用功能函數(shù)和分布情況不發(fā)生變化，而參數(shù)發(fā)生變化。分別通過(guò)均值不變標(biāo)準(zhǔn)差減小例 ，均值增大標(biāo) 準(zhǔn)差不變例 ，均值增大標(biāo)準(zhǔn)差減小例 。對(duì)四個(gè)例題分別進(jìn)行對(duì)比討論參數(shù)變化對(duì)于可靠指標(biāo)精度的影響。從四道例題總的來(lái)看 JC 法計(jì)算誤差最大且結(jié)果偏大，重要抽樣蒙特卡洛法相對(duì)誤差最小同時(shí)重要抽樣法抽樣次數(shù)越多結(jié)果越精確，一次漸進(jìn)法計(jì)算誤差也較大， breitung 法計(jì)算誤差較小。將例 同例 對(duì)比發(fā)現(xiàn)當(dāng)均值不變標(biāo)準(zhǔn)差減小時(shí) breitung 法和一次漸進(jìn)法趨于精確，而重要抽樣蒙特卡洛法精確度降低。例 對(duì)比發(fā)現(xiàn)均值不變標(biāo)準(zhǔn)差減小與均值增大標(biāo)準(zhǔn)差不變所得結(jié)論相同。將例 同例 對(duì)比發(fā)現(xiàn)當(dāng)均值增 大標(biāo)準(zhǔn)差減小時(shí) breitung法和一次漸進(jìn)法精度較例 高。由此可以得出結(jié)論，當(dāng)功能函數(shù)和分布情況相同時(shí)，均值較大標(biāo)準(zhǔn)差較小的情況下采用 breitung 法和一次漸進(jìn)法可以采用，重要抽樣蒙特卡洛法可以采用抽樣次數(shù)需大于 1e6。同時(shí)可以得到，重要抽樣法所得結(jié)果隨著抽樣次數(shù)增加而精確。 算例 【 16】 已知結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)為，其中 X1服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布， X2服從極值 1 型分布，X3服從 Weibull 分布；其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為 。試計(jì)算結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)和失效概率。 利用MATLAB 軟件編寫(xiě)了 JC 法，一次漸進(jìn)法， 二次二階矩法（ Breitung），蒙特 卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計(jì)算結(jié)果如 表 5： 結(jié)構(gòu)可靠度基于 Matlab 算 法性能比較 12 表 5 項(xiàng)目 直接蒙特卡洛法 Breitung法 一次漸進(jìn)法 JC 法 重要抽樣蒙特卡洛法 N=1e4 N=1e5 N=1e6 算例 可靠指標(biāo)（ ? ） 失效概率 fp 可靠指標(biāo)相對(duì)于直接蒙特卡羅法誤差 % % % % % % 從例 屬于線性情況下極限狀態(tài)方程，例 屬于非線性程度較高的極限狀態(tài)方程。從例 與例 計(jì)算結(jié)果相對(duì)比可以看出非線性程度較高的情況下 breitung 法計(jì)算誤差增大且計(jì)算結(jié)果偏小，一次漸進(jìn)法精度提高，同樣 JC 法對(duì)于線性極限狀態(tài) 方程和非線性極限狀態(tài)方程誤差都較大。同時(shí)相同抽樣次數(shù)情況下線性極限狀態(tài)方程采用重要抽樣蒙特卡洛法精度比非線性極限狀態(tài)方程采用重要抽樣蒙特卡洛法精度要高。 算例 已知非線性極限狀態(tài)方程， f、 r 服從正態(tài)分布， H 服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，他們的參數(shù)分別為 =， 。=， 。=。 試求可靠指標(biāo)及失效概率。 利用 MATLAB 軟件編寫(xiě)了 JC 法，一次漸進(jìn)法，二次二階矩法（ Breitung），蒙特卡洛直接抽樣法 和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計(jì)算結(jié)果如表 6。 表 6 項(xiàng)目 直接蒙特卡洛法 Breitung法 一次漸進(jìn)法 JC 法 重要抽樣蒙特卡洛法 N=1e4 N=1e5 N=1e6 算例1 可靠指標(biāo)（ ? ） 失效概率 fp 可靠指標(biāo)相對(duì)于 直接蒙特卡羅法誤差 % % % % % % 算例 【 18】 已知非線性極限狀態(tài)方程， f、 r 服從正態(tài)分布， H 服從極值 1 型分布，他們的參數(shù)分別為 =， 。=， 。=。試求可靠指標(biāo)及失效概率。 利用 MATLAB 軟件編寫(xiě)了 JC 法，一次漸進(jìn)法，二次二階矩法（ Breitung），蒙特卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛結(jié)構(gòu)可靠度基于 Matlab 算 法性能比較 13 重要法，具體程序在程序包中，計(jì)算結(jié)果 如 表 7。 表 7 項(xiàng)目 直接蒙特卡洛法 Breitung法 一次漸進(jìn)法 JC 法 重要抽樣蒙特卡洛法 N=1e4 N=1e5 N=1e6 算例 可靠指標(biāo)（ ? ） 失效概率 fp 可靠指標(biāo)相對(duì)于直接蒙特卡羅法誤差 % % % % % % 例 與例 采用功能函數(shù)相同參數(shù)相同但函數(shù)分布情況不同。例 同例 均屬于非線性極限狀態(tài)方程，例 較例 非線性程度高一些。從兩個(gè)例子對(duì)比可以得出例 法計(jì)算精度較高，例 一次漸進(jìn)法計(jì)算精度較高，例 法計(jì)算精度較高，重要抽樣蒙特卡羅法所得結(jié)果精度趨平。 算例 已知結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為 ,其中 X1 服從正太分布 ,X2 服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。他們的參數(shù)分別為 。試求可靠指標(biāo)和失效概率。 利用 MATLAB 軟件編寫(xiě)了 JC 法，一次漸進(jìn)法，二次二階矩法（ Breitung），蒙特 卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計(jì)算結(jié)果如表 8。 表 8 項(xiàng)目 直接蒙特卡洛法 Breitung法 一次漸進(jìn)法 JC 法 重要抽樣蒙特卡洛法 N=1e4 N=1e5 N=1e6 算例 可靠指標(biāo)（ ? ） 失效概率 fp （ 可靠指標(biāo)相對(duì)于直接蒙特卡羅法誤差 % % % % % % 算例 【 17】 已知結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為 ,其中 X1 服從正態(tài)分布 ,X2 服從極值 1 型分布。他們的參數(shù)分別為 。試求可靠指標(biāo)和失效概率。 利用 MATLAB 軟件編寫(xiě)了 JC 法，一次漸進(jìn)法，二次二階矩法（ Breitung） ，蒙特卡洛 直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計(jì)算結(jié)果如表 9。 結(jié)構(gòu)可靠度基于 Matlab 算 法性能比較 14 表 9 項(xiàng)目 直接蒙特卡洛法 Breitung法 一次漸進(jìn)法 JC 法 重要抽樣蒙特卡洛法 N=1e4 N=1e5 N=1e6 算例 可靠指標(biāo)（ ? ） 失效概率 fp （ 可靠指標(biāo)相對(duì)于直接蒙特卡羅法誤差 % % % % % % 算例 【 18】 已知結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為 ,其中 X1 服從對(duì)數(shù)分布 ,X2 服從極值 1 型分布。他們的參數(shù)分別為 。試求可靠指標(biāo)和失效概率。 利用 MATLAB 軟件編寫(xiě)了 JC 法，一次漸進(jìn)法，二次二階矩法（ Breitung），蒙特卡洛 直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計(jì) 算結(jié)果如表 10。 表 10 項(xiàng)目 直接蒙特卡洛法 Breitung法 一次漸進(jìn)法 JC 法 重要抽樣蒙特卡洛法 N=1e4 N=1e5 N=1e6 算例 可靠指標(biāo)（ ? ） 失效概率 fp （ 10． 000 可靠指標(biāo)相對(duì)于直接蒙特卡羅法誤差 % % % % % % 例 , 采用非線性極限狀態(tài)方程，功能函數(shù)相同參數(shù)相同但分布情況不同進(jìn)行對(duì)比。從三個(gè)例題所得結(jié)論來(lái)看對(duì)于一個(gè)正態(tài)一個(gè)對(duì)數(shù)正態(tài)分布函數(shù)的情況比一個(gè)正態(tài)一個(gè)極值 1 型分布函數(shù)情況下， breitung 法和一次漸進(jìn)法 JC 法及重要抽樣蒙特卡羅法精確度要高一些。 例 同例 相比較計(jì)算記過(guò)精度大致平行。例 同例 相比， 例 ，所得結(jié)果精度要高一些，可以得出例 一個(gè)正態(tài)分布一個(gè)極值 1 型分布相乘的情況下所得結(jié)果計(jì)算精度較低，建議采用 breitung 法。 結(jié)構(gòu)可靠度基于 Matlab 算 法性能比較 15 從上面這些例題可以看出重要抽樣蒙特卡洛法哪種情況下計(jì)算精度都較高但運(yùn)行時(shí)間也較長(zhǎng)，直接抽樣蒙特卡洛法運(yùn)行時(shí)間最長(zhǎng)，計(jì)算效率較低但精度很高，但是不能求出驗(yàn)算點(diǎn)的位置，這是蒙特卡洛法的缺點(diǎn)。 5 結(jié)論 1．從上述例題可以看出 JC 法誤差較大，對(duì)于線性方程 JC 法計(jì)算結(jié)果通常偏大，對(duì)于非線性方程 JC 法所得結(jié)果通常偏小，在可靠度要求較高的工程中不適合采用，但其程序相對(duì)簡(jiǎn)單明了易于初 學(xué)者學(xué)習(xí)，可以將 JC 法作為快速演算別的復(fù)雜算法所得結(jié)果是否正確的的一種方法。 蒙特卡羅 (MonteCarlo)法是結(jié)構(gòu)可度析的基本方法之一 , 它具有模擬的收斂速度與基本隨機(jī)向量的維數(shù)無(wú)關(guān)、極限狀態(tài)函數(shù)的復(fù)雜程度與模擬過(guò)程無(wú)關(guān)、無(wú)需將狀態(tài)函數(shù)線性化和隨機(jī)變量當(dāng)量正態(tài)化數(shù)值模擬的誤差可由模擬次數(shù)和精度較容易地加以確定的特點(diǎn)。但是 ,當(dāng)實(shí)際工程的結(jié)構(gòu)破壞概率在 310? 以下時(shí) ,該法的模擬數(shù)目就會(huì)相當(dāng)大 , 進(jìn)而占用大量時(shí)間 .。該法 既可用來(lái)分析確定性問(wèn)題 ,也可用來(lái)分析不確定問(wèn)題 .由于具有相對(duì)精確的特點(diǎn) , 除用于一些復(fù)雜情況的可靠度分析外 , 也常用于各種近似分析方法的計(jì)算結(jié)果校核。 ，重要抽樣的蒙特卡洛法用很少的仿真次數(shù)就可以得到較為精確的結(jié)果，上述算例都有體現(xiàn)，在資源消耗上，重要抽樣法有著明顯的優(yōu)勢(shì)。 法作為二次二階距法比一次一階距（ JC）法相比有明顯的優(yōu)勢(shì)， breitung 方法對(duì)于線性方程和非線性程度不高的方程計(jì)算精度較高，對(duì)于非線性程度比較高的方 程計(jì)算精度較低，在上述算例又算體現(xiàn)。因此可以考慮在線性方程情況下采用該方法。 高，因此可以再非線性方程計(jì)算中采用一次漸進(jìn)方程。 ， 當(dāng)均值不變標(biāo)準(zhǔn)差減小時(shí) breitung 法和一次漸進(jìn)法趨于精確，而重要抽樣蒙特卡洛法精確度降低。均值不變標(biāo)準(zhǔn)差減小與均值增大標(biāo)準(zhǔn)差不變所得結(jié)論相同。 ，