【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 其中為振幅，為相位差。由式（226）、223）及（224）得出穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)有如下的基本特點(diǎn)：1) 線性系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是頻率等同于激勵(lì)頻率而相位滯后與激振力的簡(jiǎn)諧振動(dòng)；2) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅及相位差只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)和激振的頻率及力幅，而與系統(tǒng)本身進(jìn)入運(yùn)動(dòng)的方式無(wú)關(guān)。無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以從式（226）得出。當(dāng)時(shí)，得到，這時(shí) （229）當(dāng)時(shí)，得到，這時(shí) （223）式（221）也可以寫(xiě)成（222）的形式，這時(shí)相位差反映在振幅的符號(hào)中。上述結(jié)果也可以由直接設(shè)并代入下列方程而得到： （224）為了具體討論影響穩(wěn)定響應(yīng)的振幅和相位差的各種因素，記 （225）實(shí)際是質(zhì)量塊在激振力幅靜作用下的最大位移。再引入無(wú)量綱的振幅放大因子，它定義為 （226）由式（226）和（219）可以分別畫(huà)出以相對(duì)阻尼系數(shù)為參數(shù)的曲線——曲線與曲線，前者稱為幅頻響應(yīng)曲線，后者稱為相頻響應(yīng)曲線如圖所示程序如下for kesai=[,,] lamda=0::。 beta=1./(sqrt((1lamda.^2).^2+(2*kesai*lamda).^2))。 plot(lamda,beta) hold on end axis([0 5 0 3])。偏心質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)振幅放大因子 (227)程序如下：for kesai=[,,] lamda=0::。 beta=lamda./(sqrt((1lamda.^2).^2+(2*kesai*lamda).^2))。 plot(lamda,beta) hold on end axis([0 5 0 3])。支撐運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)振幅放大因子 (228)程序如下： for kesai=[,,] lamda=0::。 beta=sqrt((1+(2*kesai*lamda).^2)./((1lamda.^2).^2+(2*kesai*lamda).^2))。 plot(lamda,beta) hold on end axis([0 5 0 3])。算例利用MATLAB，繪制彈簧質(zhì)量系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧力作用下的響應(yīng)曲線。已知數(shù)據(jù)如下：。系統(tǒng)全解形式如下：式中，利用MATLAB繪制解曲線上式的程序如下：%F0=100。wn=20。m=5。w=30。x0=。x0_dot=。f_0=F0/m。for i=1:101 t(i)=2*(i1)/100。 x(i)=x0_dot*sin(wn*t(i))/wn+(x0f_0/(wn^2w^2))*cos(wn*t(i))+f_0/(wn^2w^2)*cos(w*t(i))。endplot(t,x)。xlabel(39。t39。)。ylabel(39。x(t)39。)。title(39。39。)基于MATLAB對(duì)單自由度自由振動(dòng)繪制振動(dòng)圖像，進(jìn)行粘性阻尼，強(qiáng)迫振動(dòng)振幅放大因子繪圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，使振動(dòng)數(shù)據(jù)更加明顯。3 基于MATLAB的多自由度系統(tǒng)編程分析 多自由度系統(tǒng)[16]多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型： （31）其中、和分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、力向量和響應(yīng)向量。把這個(gè)時(shí)域矩陣方程變換到拉氏域（變數(shù)為），并假定初始位移和初始速度為零，則得： （32）或 （33）式中 ：動(dòng)剛度矩陣。由式32）或（33）可以得出傳遞函數(shù)矩陣： （34）借助矩陣相關(guān)理論計(jì)算出來(lái)： （35）式中 ：為伴隨矩陣； ：為的行列式。 式（35）的分母，叫做系統(tǒng)的特征方程。類似單自由度系統(tǒng)，特征方程的根，即系統(tǒng)極點(diǎn)，決定系統(tǒng)的共振頻率。應(yīng)為一般粘性阻尼矩陣，不一定滿足矩陣可對(duì)角化條件，為了把系統(tǒng)方程（32）轉(zhuǎn)化為一般特征值問(wèn)題公式，需引入恒等式： （36）將此式與（32）合并： （37）其中 , , 令=, 則（37）的特征值滿足下列方程： （38）對(duì)于自由度系統(tǒng)，此方程有個(gè)復(fù)共軛對(duì)出現(xiàn)的特征根： 其中阻尼因子；為阻尼固有頻率。 第一階固有頻率及主振型[17,18]在求解系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)較低的前幾階固有頻率及相應(yīng)的主振型占有重要的地位，為計(jì)算它們而采用下面的矩陣迭代法是比較簡(jiǎn)單的。將帶入公式中，得 （39）若將上式左端看作新列陣，上式表示：對(duì)于精確的主振型。新列陣() 與原來(lái)的列陣的各個(gè)對(duì)應(yīng)元素之間都相差同一常倍數(shù)，這個(gè)常倍數(shù)即特征值。記為初始迭代列陣，由展開(kāi)定理，可以表示為 （310）對(duì)上式左乘矩陣A，由式（39）得知第一次迭代后所得的列陣為=（311）如果特征值不是特征方程的重根，那么上式中的都小于1，因此比起其他主振型在內(nèi)占的比重相對(duì)地比在中占的比重大，換句話說(shuō)，用矩陣A迭代計(jì)算一次后，擴(kuò)大了迭代列陣中第一階主振型的優(yōu)勢(shì)。經(jīng)第二次迭代后，得同理第（r1）次迭代后的結(jié)果為 （312）可見(jiàn)隨著次數(shù)的增加，第一階主振型的優(yōu)勢(shì)越來(lái)越擴(kuò)大，當(dāng)?shù)螖?shù)充分大時(shí)，由上式近似地得 （313）這時(shí)再迭代一次，得出 （314）由此看到迭代后的新列陣與原來(lái)列陣的各個(gè)對(duì)應(yīng)元素之間都僅相差一倍數(shù)，所以或就是對(duì)應(yīng)于的第一階主振型，而特征值可由下式算出 （315）其中列陣的第個(gè)元素。為防止迭代過(guò)程中迭代列陣的元素變得過(guò)大或過(guò)小，每次迭代后需要使列陣歸一化，例如使它最后一個(gè)元素成為1。下面是實(shí)用的矩陣迭代法的計(jì)算步驟：1) 選取初始迭代列陣使其最后一個(gè)元素為1；2) 對(duì)作矩陣迭代，并使新列陣歸一化，即 ， （316）3)重復(fù)步驟（2），第r次的迭代結(jié)果為， （317）4)若在允許的誤差范圍內(nèi)有=，則將或取作第一階主振型，由式（315）得知 （318）因而第一階固有頻率為 （319）由式（312）看出，矩陣迭代法計(jì)算及收斂速度取決于比值，越小，收斂的越快，上述的矩陣迭代法又稱為逆迭代法。kk2km2mm 圖42 分析圖 analysis chart用矩陣迭代法求解過(guò)程如下：解 用影響系數(shù)法求得系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為，算出K的逆陣及系統(tǒng)的動(dòng)力矩陣為，若，第一次迭代后得到， 重復(fù)上述步驟，各次的迭代結(jié)果列于表41。由表可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)6次迭代后已有，所以第一階主振型及基頻取為，表41 第一階主振型的迭代 The first order iteration of principal moder 12345671118算例分析clc。clear。%建立質(zhì)量矩陣M，剛度矩陣K\syms k m。M=[m 0 0 0 m 0 0 0 2*m]。K=[2*k k 0 k 3*k 2*k 0 2*k 2*k]。%*********迭代第n階主陣型********************%n為計(jì)數(shù)器%n=1。while n=3 %計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)力矩陣A if n==1 A(:,:,n)=K\M。 elseif n~=1 A(:,:,n)=A(:,:,n1)(MP(:,n1)\t(:,n1))*f(:,n1)*f(:,n1)39。*M。 end %定義初始迭代向量X(1) if n==1 X(:,1,n)=[1 1 1]39。 elseif n==2 X(:,1,n)=[1 1 1]39。 elseif n==3 X(:,1,n)=[1 1 1]39。 end %迭代過(guò)程，Y為中間矩陣,i為迭代次數(shù) i=1。 Y(:,1,n)=A(:,:,n)*X(:,1,n)。 X(:,2,n)=Y(3,1,n).\Y(:,1,n)。 while abs(X(1,i,n)X(1,i+1,n))=amp。amp。abs(X(2,i,n)X(2,i+1,n)) Y(:,i+1,n)=A(:,:,n)*X(:,i+1,n)。 X(:,i+2,n)=Y(3,i+1,n).\Y(:,i+1,n)。 X(:,2)。 i=i+1。 end % X(:,:,n) f(:,n)=X(:,i,n)。 t(n)=Y(3,i,n)。 MP(:,n)=f(:,n)39。*M*f(:,n)。 n=n+1。end%輸出數(shù)據(jù)過(guò)程disp(39。第一階主陣型的迭代結(jié)果39。)。X(:,:,1)disp(39。第二階主陣型的迭代結(jié)果39。)。X(:,:,2)disp(39。第三階主陣型的迭代結(jié)果39。)。X(:,:,3)disp(39。φi的計(jì)算結(jié)果，矩陣的每列分別是1,2 ，3階的39。)。fdisp(39。******注意***********主陣型的迭代結(jié)果后面的0是系統(tǒng)的占位符號(hào)，不算計(jì)算結(jié)果39。)。 本章小結(jié)在工程振動(dòng)中，確定系統(tǒng)固有頻率與主振型時(shí)是非常重要的。我們?cè)谟?jì)算系統(tǒng)固有頻率與主振型可以采用矩陣迭代的方法求解，相對(duì)于以前所采用的算法語(yǔ)言（Fo