【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 圖44 求解算法的流程圖 ANSYS有限元軟件的接觸分析 ANSYS的接觸類(lèi)型與接觸方式ANSYS軟件提供了兩種接觸類(lèi)型[13]:剛體一柔體接觸與柔體一柔體接觸。剛體一柔體接觸，適用于兩接觸面的剛度相差較大的物體間接觸，假定剛度較大的面是剛體。一般情況下，一種軟材料和一種硬材料的接觸可被假定為此類(lèi)接觸。柔體一柔體接觸是一種更普遍的類(lèi)型，它假定兩接觸體均為變形體，適用于兩個(gè)彈性模量和結(jié)構(gòu)剛性比較接近的物體間接觸。本文中分析的一對(duì)嚙合齒輪材料相同，有近似的剛度，故采用柔體一柔體接觸。ANSYS軟件支持三種接觸方式[13]：點(diǎn)一點(diǎn)接觸、點(diǎn)一面接觸與面一面接觸。點(diǎn)一點(diǎn)接觸主要用于模擬點(diǎn)一點(diǎn)的接觸行為，用戶需預(yù)先知道確切的接觸位置，只適于模擬接觸面間有較小相對(duì)滑動(dòng)的情況。點(diǎn)一面接觸允許接觸面上某一節(jié)點(diǎn)和被接觸體上的某一單元相接觸，不需預(yù)先知道確切的接觸位置，接觸面之間也不需要保持一致的網(wǎng)格，并且允許有熱傳導(dǎo)、有大的變形和大的相對(duì)滑動(dòng)等非線性行為。面一面接觸方式，計(jì)算量相對(duì)較少，適合于復(fù)雜表面、大變形、含摩擦力的接觸問(wèn)題求解。圓柱齒輪傳動(dòng)過(guò)程中，由于接觸部剛度的變化，導(dǎo)致齒面的接觸實(shí)際上是發(fā)生在接觸線附近有限的面上。接觸面上的節(jié)置在發(fā)生相互作用時(shí)并不固定，且存在齒面的相對(duì)滑動(dòng)，顯然點(diǎn)一點(diǎn)型不適合用于輪的接觸分析。點(diǎn)一面型可以指定接觸面為一組節(jié)點(diǎn)，從而代替面一面型接觸。但是面面單元與點(diǎn)一面單元相比有許多優(yōu)點(diǎn)，例如:沒(méi)有剛體表面形狀限制，允許有自或網(wǎng)格離散引起的表面不連續(xù)。支持有大滑動(dòng)和摩擦的大變形，協(xié)調(diào)剛度陣計(jì)算，提供不對(duì)稱剛度選項(xiàng)。提供為工程目的所采用的更好的接觸結(jié)果，如法向應(yīng)力和摩擦應(yīng)力。綜合以上，選用面一面單元進(jìn)行齒輪的接觸分析比較合理。 ANSYS的接觸算法ANSYS在對(duì)接觸問(wèn)題的求解上提供三類(lèi)算法[14]:拉格朗日乘子(Lagrangemethod)，罰函數(shù)法 (penaltymethod)和增廣拉格朗日乘子法(AugmentedLagrangemethod)，下面對(duì)這三種算法作簡(jiǎn)單的介紹。(l)拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法通過(guò)增加一個(gè)獨(dú)立自由度，即接觸壓力，來(lái)滿足無(wú)穿透條件，不需要定義人為的接觸剛度去滿足接觸面間不可穿透的條件，可以直接實(shí)現(xiàn)穿透為零的真實(shí)接觸條件，計(jì)算結(jié)果較精確。但是該方法增加了系統(tǒng)變量數(shù)目，并使剛度陣中出現(xiàn)了對(duì)角線元素為零的子矩陣，需要實(shí)施額外的操作才能保證計(jì)算精度，給計(jì)算帶來(lái)麻煩，這對(duì)圓柱齒輪這類(lèi)三維接觸問(wèn)題尤為不利。還有一個(gè)可能發(fā)生的嚴(yán)重問(wèn)題，就是在接觸狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)，接觸力有個(gè)突變，接觸狀態(tài)的振動(dòng)式交替改變，如何控制這種改變是純粹的拉格朗日算法所難以解決的。這種算法主要用于采用特殊的界面單元描述接觸的問(wèn)題分析。該方法限制了接觸物體之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)量，并需要預(yù)先知道接觸發(fā)生的確切位置，以便施加界面單元。(2)罰函數(shù)法罰函數(shù)法是一種近似方法，它允許相互接觸的邊界產(chǎn)生穿透并通過(guò)罰因子將接觸力和邊界穿透量聯(lián)系起來(lái)。罰因子出現(xiàn)在剛度矩陣中與接觸面上的節(jié)點(diǎn)有關(guān)的那部分子矩陣的對(duì)角線元素上，克服了拉格朗日乘子法中出現(xiàn)零對(duì)角線矩陣的缺點(diǎn)。但是若罰因子太大，在計(jì)算接觸應(yīng)力時(shí)會(huì)產(chǎn)生高頻震蕩，容易出現(xiàn)計(jì)算不收斂的情況。并且在罰函數(shù)法中，罰因子趨向無(wú)窮時(shí)，接觸條件方能精確滿足，而實(shí)際計(jì)算時(shí)只能取有限值，因此接觸條件只能近似滿足。（3）增廣拉格朗日乘子法將罰函數(shù)和拉格朗日乘子法結(jié)合起來(lái)施加接觸協(xié)調(diào)條件稱為增強(qiáng)的拉格朗日法。在迭代的開(kāi)始，接觸協(xié)調(diào)條件由罰剛度決定。一旦達(dá)到平衡，就檢查穿透量。如果迭代中發(fā)現(xiàn)穿透量大于最大允許穿透值(使用FTOLN值控制)，則將各個(gè)接觸單元的接觸剛度加上接觸力乘以拉格朗日乘子的數(shù)值，繼續(xù)進(jìn)行迭代。增強(qiáng)的拉格朗日算法是為了找到精確的拉格朗日乘子而對(duì)罰函數(shù)的接觸剛度反復(fù)修改并迭代求解，直到計(jì)算的穿透值小于允許值為止。盡管與拉格朗日法相比，擴(kuò)展拉格朗日法的穿透并不為零，與罰函數(shù)法相比，可能迭帶次數(shù)會(huì)更多。但是，與前兩種算法相比，擴(kuò)展拉格朗日法有下列優(yōu)點(diǎn):l)不易引起病態(tài)條件，對(duì)接觸剛度的敏感性小。2)與罰函數(shù)法相比較少病態(tài)，與單純的拉格朗日法相比，沒(méi)有剛度陣零對(duì)角元。因此在選擇求解器上沒(méi)有限制。3)用戶可以自由控制允許的穿透值。通過(guò)上述的分析可以看出，對(duì)于三維斜齒輪接觸問(wèn)題的求解算法，最適合的應(yīng)該是增廣拉格朗日乘子法。此算法通過(guò)拉格朗日乘子迭代，最終求得滿足精度要求的接觸力，而在整個(gè)過(guò)程中不增加總體方程的未知數(shù)個(gè)數(shù)，而且通過(guò)迭代求解大大降低了對(duì)罰剛度值選取的要求，同時(shí)數(shù)值實(shí)施較方便，接觸條件能精確滿足。 齒輪有限元接觸分析 齒輪接觸應(yīng)力的限元分析的步驟為：1將Pro/E 模型導(dǎo)入ANSYS 軟件中 2定義單元屬性和網(wǎng)格劃分 3定義接觸對(duì) 4 約束條件和施加載荷 5 定義求解和載荷步選項(xiàng) 5 計(jì)算求解及后處理[15]。啟動(dòng)PRO/E，.將文件保存IGES格式文件副本。 定義單元屬性和網(wǎng)格劃分選用六面體八節(jié)點(diǎn)單元solid45 進(jìn)行網(wǎng)格劃分。其力學(xué)特性為彈性模量E=206GPa ，泊松比υ= ，密度ρ=kg/，摩擦系數(shù)為f=。利用Meshtool 自由劃分，并利用網(wǎng)格劃分控制對(duì)局部網(wǎng)格尺寸進(jìn)行控制。對(duì)總體單元大小和面單元大小的長(zhǎng)度設(shè)置為3。網(wǎng)格劃分結(jié)果見(jiàn)圖45所示。圖45 列表顯示節(jié)點(diǎn)數(shù)和單元數(shù) 定義接觸對(duì)計(jì)算該對(duì)齒輪的重合系數(shù)ε,重合度公式[16]為： （45）式中：、分別為齒輪1和齒輪2的齒數(shù)； 和分別為齒輪1和齒輪2的齒頂圓壓力角；為該對(duì)齒輪的嚙合角。將數(shù)據(jù)代入式（45）得到重合系數(shù)ε=。因此設(shè)置2對(duì)齒輪接觸對(duì)（2個(gè)面為目標(biāo)單元面，另2個(gè)面為接觸單元面）。首先，選擇其中一個(gè)齒廓面，并選擇該面上的所有節(jié)點(diǎn)并創(chuàng)建組為NODE11；接著，分別對(duì)另外3個(gè)齒廓面做相同處理，分別命名為NODE12，NODE21，NODE22。利用接觸對(duì)導(dǎo)向來(lái)創(chuàng)建接觸對(duì)，如圖46所示。選擇目標(biāo)節(jié)點(diǎn)組為NODE11，接觸節(jié)點(diǎn)組為NODE12，，由于考慮摩擦對(duì)輪齒接觸的影響，從而創(chuàng)建了一對(duì)接觸對(duì)。接著，采用相同的方向來(lái)創(chuàng)建另一對(duì)接觸對(duì)，選擇目標(biāo)節(jié)點(diǎn)組為NODE12，接觸節(jié)點(diǎn)組為NODE22。定義后的接觸對(duì)見(jiàn)圖47所示。. 圖46 接觸對(duì)導(dǎo)向 圖47 接觸對(duì) 約束條件和施加載荷因?yàn)閮蓚€(gè)齒輪是相互作用的，根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系，作用在主動(dòng)輪和從動(dòng)輪上各對(duì)應(yīng)力大小相等，方向相反，故將哪個(gè)齒輪設(shè)為從動(dòng)輪都是一樣的，設(shè)大齒輪為從動(dòng)輪，小齒輪為主動(dòng)輪。根據(jù)齒輪運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在從動(dòng)輪中心孔處的所有節(jié)點(diǎn)施加全約束，在主動(dòng)輪中心孔處的所有節(jié)點(diǎn)施加約束和切向力，施加約束和載荷結(jié)果如圖48所示。力[17]的大小根據(jù)所傳遞的扭矩計(jì)算： （46）式中：—主動(dòng)輪傳遞的轉(zhuǎn)矩（Nmm）；d—齒輪內(nèi)圈直徑（mm）；n—內(nèi)圈節(jié)點(diǎn)總數(shù)。其中= ，d=14，n=240。利用式（46）可求得F=。圖48 施加約束和載荷 定義求解和載荷步選項(xiàng)打開(kāi)求解控制器，定義Analysis Options為L(zhǎng)arge Displacement Static,并將Time Control中的Time at end loadstep設(shè)置為1，將Number of substeps設(shè)置為20。 計(jì)算求解及后處理點(diǎn)擊Solve中的Current LS，確認(rèn)計(jì)算后開(kāi)始進(jìn)行非線性求解，求解過(guò)程如圖49所示。待求解結(jié)束后，可用通用后處理器采用圖和列表的形式查看求解結(jié)果。圖49 非線性求解 （1）瀏覽節(jié)點(diǎn)上的等效應(yīng)變和應(yīng)力值。依次選擇Main MenuGeneral PostprocPlot ResultsContour PlotNodal Solu，彈出【Contour Nodal Solution Data】對(duì)話框。在【Item to be contoured】列表框中分別選擇“DOF Solution”和“stress”選項(xiàng)”，接著分別選擇“Displacement vector sum”和“von Mises stress”選項(xiàng)，單擊OK按鈕，生成結(jié)果如圖410和圖411所示。圖410 Displacement vector sum(位移矢量圖) 圖411 von Mises 等效應(yīng)力圖由圖410可得，該對(duì)齒輪在扭矩和接觸力作用下齒輪的最大主彈性應(yīng)變發(fā)生在兩個(gè)齒輪嚙合的地方，總體變形量不大；由圖411可得，該對(duì)齒輪最大等效應(yīng)力發(fā)生在兩個(gè)齒輪嚙合的地方， N/。齒輪的許用接觸應(yīng)力為1260MP，因此符合強(qiáng)度要求。（2）列出節(jié)點(diǎn)的列表結(jié)果。依次選擇Main Menu General Postproc List Result Nodal Solution，彈出【List Nodal Solution】對(duì)話框。在【Item to be listed】列表中選擇“Stress”選項(xiàng)和“von Mises stress”選項(xiàng)，單擊【OK】按鈕。每個(gè)單元角節(jié)點(diǎn)的6個(gè)應(yīng)力分量將以列表的形式顯示，如圖312所示。圖312 接觸應(yīng)力列表顯示計(jì)算結(jié)果 根據(jù)齒面接觸計(jì)算公式赫茲公式[1]（47）計(jì)算。 （47） 將ANSYS分析結(jié)果與傳統(tǒng)方法分析結(jié)果作對(duì)比，數(shù)據(jù)見(jiàn)表43所示。表43 接觸應(yīng)力比較求解方法ANSYS分析赫茲公式最大應(yīng)力 N/由表43可知ANSYS分析的結(jié)果明顯小于赫茲公式求得的結(jié)果。這可能是由以下原因造成的：ANSYS分析的是接觸應(yīng)力分布情況，而赫茲公式求得的是齒面接觸疲勞強(qiáng)度，還考慮了疲勞破壞的因素。ANSYS分析方法與赫茲公式求得的結(jié)果都在許用應(yīng)力范圍之內(nèi)，但是赫茲公式求得齒輪模態(tài)的有限元分析的結(jié)果具有較大的裕度。第五章 齒輪模態(tài)的有限元分析 模態(tài)分析的必要性一般來(lái)說(shuō)靜力分析也許能夠確保一個(gè)結(jié)構(gòu)可以承受穩(wěn)定載荷的條件，但是這些遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。模態(tài)分析用于確定設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的固有特性，即結(jié)構(gòu)的固有頻率和主振型，它們是動(dòng)態(tài)載荷結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的重要參數(shù)。同時(shí)，也可以作為其它動(dòng)力學(xué)分析的起點(diǎn)，例如動(dòng)力學(xué)分析、諧響應(yīng)分析和譜分析，其中模態(tài)分析也是進(jìn)行譜分析或模態(tài)疊加法諧分析或瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析所必需的前期分析過(guò)程[18]。齒輪傳動(dòng)是最重要的機(jī)械傳動(dòng)形式，在內(nèi)部激勵(lì)和外部激勵(lì)作用下有可能發(fā)生機(jī)械振動(dòng)，使整個(gè)系統(tǒng)發(fā)生嚴(yán)重破壞，無(wú)法估量的經(jīng)濟(jì)損失。為了避免這種情況發(fā)生，有必要對(duì)整個(gè)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析，求出固有頻率和主振型。在進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，使激振力的頻率與系統(tǒng)的固有頻率錯(cuò)開(kāi)，可以有效的避免共振的發(fā)生。目前，進(jìn)行模態(tài)分析最行之有效方法是有限元法，就是利用有限元法在有限元分析軟件ANSYS中對(duì)齒輪副進(jìn)行了模態(tài)分析。在變速箱齒輪傳動(dòng)中有時(shí)齒輪的轉(zhuǎn)速很高，這時(shí)就有必要對(duì)變速箱齒輪傳動(dòng)進(jìn)行模態(tài)分析了。由于我們關(guān)心的是齒輪的固有振動(dòng)頻率，盡量防止出現(xiàn)齒輪的轉(zhuǎn)速與其固有頻率相同的狀況。因?yàn)橐坏┩廨d荷與結(jié)構(gòu)固有頻率相同，必然發(fā)生共振，造成結(jié)構(gòu)屈服。 齒輪的固有振動(dòng)分析 齒輪副在嚙合過(guò)程中，因?yàn)槭艿街芷谛詻_擊載荷的作用，產(chǎn)生振動(dòng)的高頻分量就是齒輪的固有振動(dòng)頻率。齒輪傳動(dòng)副的固有振動(dòng)頻率一般是指齒輪系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的固有頻率，齒輪系統(tǒng)的扭振主要是由軸的扭振和輪齒的彈性扭振組成。影響齒輪副固有頻率的因素很多，如輪齒的剛度大小、齒輪副的大小、軸的剛度大小、潤(rùn)滑油膜厚度及各種阻尼等等[19]。近似可由下式計(jì)算： （51）式中，m 和k分別為齒輪的等效質(zhì)量和剛度系數(shù)，其大小可以查閱相關(guān)手冊(cè)或者根據(jù)經(jīng)驗(yàn)而定。齒輪振動(dòng)固有頻率范圍一般為1KHZ~10 KHZ[20]，為了避免齒輪嚙合時(shí)發(fā)生共振現(xiàn)象，必須精確地測(cè)出齒輪的固有振動(dòng)頻率，同時(shí)也為齒輪系統(tǒng)的故障診斷提供了一個(gè)重要參數(shù)。 模態(tài)分析理論基礎(chǔ)由彈性力學(xué)有限元法，可得齒輪系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程【21】為： （52）式中，，分別為為齒輪質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣； ，分別為齒輪振動(dòng)加速度向量、速度向量和位移向量，； 為結(jié)構(gòu)所受的激振力向量。將分析對(duì)象離散為有限個(gè)三維實(shí)體單元,分別求出每個(gè)單元的剛度矩陣[22]為： （53）式中：——彈性矩陣，——應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系矩陣每個(gè)單元的質(zhì)量矩陣為： （54）式中：， ——形函數(shù)矩陣——單元質(zhì)量密度形成單元的單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧|(zhì)量矩陣后,按照單元節(jié)點(diǎn)自由度與總體節(jié)點(diǎn)自由度的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,將單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧|(zhì)量矩組集成結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣[K]和總質(zhì)量矩陣[M],如果節(jié)點(diǎn)上有附加質(zhì)量塊,則將它疊加到總體質(zhì)量矩陣[M]所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)自由度位置上,根據(jù)邊界條件對(duì)總體剛度矩陣[K]和總質(zhì)量矩陣[M]進(jìn)行降階,即得到給定邊界條件下的總體剛度矩陣[K]和總質(zhì)量矩陣[M]。在模態(tài)分析過(guò)程中,沒(méi)有激振力的作用,取{F(t)=0},得到系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程。在求齒輪自由振動(dòng)的頻率和振型即求齒輪的固有頻率和固有振型時(shí)，阻尼對(duì)它們影響不大，因此，阻尼項(xiàng)也可以略去，得到無(wú)阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為：