【文章內容簡介】 定義:設來自總體X的一個樣本，是總體參數 的一個估計量，若 ,則稱是 的無偏估計量(Unbiased Estimator)。一個估計量如果不是無偏的就稱它是有偏估計量。稱為估計量的偏差。無偏估計的實際意義就是無系統(tǒng)偏差，估計量是否無偏是評價估計量好壞的一個重要標準，若 ，但有，則稱是的漸近無偏估計。 比較兩個無偏估計量優(yōu)劣的一個重要標準就是觀察它們哪一個取值更集中于待估參數的真值附近，即哪一個估計量的方差更小，這就是下面給出的有效性(Effectiveness)概念。 定義: 設與都是總體參數的無偏估計，若 ,則稱比 更有效。在的所有無偏估計量中，如果存在一個估計量，它的方差最小，則此估計量應當最好，并稱此估計量為 的最小方差無偏估計，也稱其為最有效的． 估計量的無偏性和有效性都是在樣本容量n固定的情況下討論的。由于估計量和樣本容量n有關，我們自然希望當n很大時，一次抽樣得出的的值能以很大的概率充分接近被估參數，這就提出了相合性(Consistency)（一致性）的要求。定義： 設 是總體參數的估計量，如果對任意都有, 則稱是的相合估計量（或一致估計量）。，無論總體X服從什么分布，只要其k階原點矩 存在，則對任意 都有所以樣本的k階原點矩始終是總體k階原點矩的相合估計。 進一步地, 可以證明：只要相應的總體矩存在，矩估計必定是相合估計。特別地， 總是 的相合估計, 樣本方差 和樣本的二階中心矩都是總體方差 的相合估計S和s又都是的相合估計。由相合性定義可以看出，若是的相合估計，當樣本容量很大時，一次抽樣得到的值便可作為的較好近似值。第三章 經典功率譜估計 經典譜估計方法是以傅里葉變換為基礎的方法，主要有兩類：周期圖法和自相關法（布萊克曼—圖基法，簡稱BT法）。這兩類方法都與相關函數有著密切的聯系，由維納——辛欽定理可知，功率譜和相關函數之間的關系是一對傅里葉變換，因而可以從觀測數據直接估計相關函數，根據估計出來的相關函數，求它的傅立葉變換，就可以得到功率譜的估計值。 相關函數和功率譜 若 常數，即，則稱為廣義平穩(wěn)序列。 若和均為廣義平穩(wěn)序列，且即：，則稱和為廣義聯合平穩(wěn)序列。廣義平穩(wěn)隨機序列的相關函數和它的功率譜密度之間是傅立葉變換對的關系，即 這一關系式常稱為維納——辛欽定理。 由自相關函數和功率譜密度的定義，不難得出它們的一些基本性質，主要有：當為復序列時，；若為實序列，則相關函數為偶函數，即。相關函數的極大值出現在處，即。若含有周期性分量，則也含有同一周期的周期性分量，否則，當時。當為實序列時，為非負實對稱函數，即和。平穩(wěn)隨機序列的自相關函數是實的且為正，而且對任一序列和任一，自相關函數（ACF）滿足：，這個函數稱為半正定的。 自相關函數（ACF）和互相關函數（CCF）的z變換定義為：；， 若令為歸一化頻率，頻率區(qū)間為基本周期。則上述兩式功率譜密度又可分別表示為： 其中，是實的，且非負。 當一平穩(wěn)隨機序列通過一個脈沖響應為的線性非時變系統(tǒng)時，其輸出序列也是一平穩(wěn)隨機序列。它的自相關函數為： 若為實系統(tǒng)，則。令，得到相應的功率譜表達：或，上述關系對以后討論譜估計問題是很有用的。為輸出過程的平均功率。 我們經常會遇到的一種過程是離散白噪聲，它的自相關函數（ACF）定義為： ，其中是離散沖激函數。這就是說，各樣本之間彼此是不相關的。所以 ， 這表明它在各頻率上是完全平坦的。換句話說，白噪聲的所有頻率分量均具有相同的功率。 相關函數的估計 自相關函數的各態(tài)歷經性 一般說來，嚴格各態(tài)歷經過程允許我們用時間平均來代替系綜平均（集合平均或統(tǒng)計平均），用時間平均作為廣義平穩(wěn)隨機過程均值的估計。 我們實際所能得到的隨機序列的樣本數總是有限的，由有限個樣本通過某種運算求出的序列的均值和自相關函數統(tǒng)計特征值叫做它們的估計值。下面討論隨機序列有限個樣本的相關函數的估計問題。 設為實隨機序列的一批樣本，共有N個值。有時簡稱之為長度為N的隨機序列。方法一：根據假定的自相關函數的各態(tài)歷經性（或遍歷性），可用下式估計它的自相關函數，即 當時，因此是相關函數的無偏估計且是漸近一致的，即當為有限值時，是的一致估計。方法二：有限長度序列的相關函數的另一種估計方法可表示為 （31） 可見，它是相關函數的有偏估計。但是，當，估計值是漸近無偏的。當時，即（31）式的也是的一致估計。（31）式所定義的相關函數取傅立葉變換求功率譜估計時，在計算上有某些方便之處，以后的討論中，如不作特別申明，將采用這種有偏估計表示式求相關函數的估計式。 功率譜密度的另一個定義: 可以證明，功率譜密度（PSD）的一個近似等效的定義是 （32）上式定義的PSD與維納一辛欽定理 （33）是等效的。 由（32）式和由（33）式維納一辛欽定理給出的PSD的等效定義將作為經典譜估計方法的基礎。 周期圖法 周期圖法，它是把隨機序列x(n)的N個觀測數據視為一能量有限的序列，直接計算x(n)的離散傅立葉變換，得X(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作為序列x(n)真實功率譜的估計。 周期圖譜估計定義為： 可以證明，周期圖等于估計出的自相關序列的傅里葉變換，或其中是有偏自相關函數的估計值，定義為: 周期圖的性能 周期圖的期望值是:? （34） 式中是Bartlett窗（三角形窗）的傅里葉變換。 由式（34）可知周期圖的均值是真實PSD和Bartlett窗傅里葉變換的卷積，在平均意義上得到真實功率譜密度（PSD）的平滑形式。因此對有限記錄數據，周期圖一般有偏的，但是當時，它是無偏的。 這是由于收斂到狄拉克函數。 對于高斯白噪聲的特殊情況，結果為: 對于白噪聲情況，即使有限記錄數據，周期圖也是無偏的。對于白高斯過程，方差 對任何非白過程，只要記錄數據足夠長, 對于不靠近0或的頻率，且時，上式近似地退化為： （35） 可以看出，方差與數據長度N無關，即方差不隨N的增大而減小至零。由此可得出一個重要的看法：周期圖估計器是不可靠的，因為標準差和均值一樣大，因而周期圖不是一致估計而其均值近似地等于要估計的量值。 上述論證表明，我們不能寄希望于直接用周期圖方法獲得良好的譜估計，必須采用適當的修正措施減小估計方差，才能使之成為一種實用的方法。 周期圖法改進措施 加窗周期圖 周期圖法只用了N個樣本，這可以看作是用一長度為N的矩形窗函數與原來無限長的序列相乘的結果，我們知道，時域中兩函數相乘對應于頻域中它們的傅立葉變換的卷積。由此可以想到，當用周期圖方法作譜估計時，它的譜分辨率約與N成反比，且和信號本身的特征，例如信噪比等無關。此外，如果序列是由多個正弦波信號組成的，而各分量強度不等，則弱信號分量可能淹沒在強信號譜的旁瓣中而無法發(fā)現。這種所謂信號能量（向旁瓣）泄漏現象如果不設法消除，也將妨礙周期圖譜估計法的應用。因此提出了周期圖的改進方法： 周期圖改進的方法之一是將長度為N的序列乘以同一長度的數據窗。數據加窗后的周期圖譜估計值的數學期望值等于譜的真實值與窗譜函數的平方的卷積。顯然它不等于功率譜的真實值，因而是有偏估計。 若序列為單頻信號，則為函數，這樣，數據加窗后的譜估計值的均值與窗譜函數的平方形狀相同，因此選用低旁瓣的數據窗可使得雜散響應減少。但旁瓣的降低必然使主瓣加寬，而且降低了分辨率。 數據加窗后，周期圖譜估計值的方差大于或近似等于譜估計值的平方，且不隨數據長度的增大而減小到0。 從以上的分析可知，數據加窗用于周期圖譜估計可以降低譜估計值的旁瓣，但要降低譜估計的分辯率，而用數據加窗的辦法不能減小估計方差，因而無法降低分辨率。 平均周期圖 平均周期圖的思想：對一個隨機變量進行觀測，得到L組獨立記錄數據，用每一組數據求其均值，然后將L個均值加起來求平均。這樣得到的均值，其方差將是用一組數據得到的均值的方差的1/L。 為了改進周期圖的統(tǒng)計特性，可以近似地用對一組周期圖進行平均的方法完成期望運算。假定在區(qū)間上有組獨立記錄數據，并且都是同一隨機過程的現實。平均周期圖估計器定義為： 其中是第個數據組的周期圖。 因為，所以方差將減少K倍。又因為 ，所以譜估計器具有樣本的分辨率。 顯然，為了獲得最大分辨率，L將盡可能選得大一些或就選，此時，平均周期圖就成為標準周期圖估計。但有時為了減小方差，應該把選得大一些，或等效地把L取得小一些。因為這兩個目的不可能同時實現，所以必須調整L在方差和偏差之間進行折衷。 自相關法是先估計自相關函數，再進行傅里葉變換得到功率譜。下面介紹自相關函數的估計。 利用觀測到的實隨機序列，估計自相關函數的兩種方法是：無偏自相關函數估計和有偏自相關函數估計。BT法功率譜估計采用有偏自相關函數估計法。自相關法的理論基礎是維納辛欽定理，即先由估計出自相關函數，然后對求傅里葉變換得到的功率譜，因為由這種方法求出的功率譜是通過自相關函數間接得到的，所以稱為間接法。 直接法和間接法的關系由以下式子可以得出： m=kn，則k=n+m，得 可見周期圖法就是BT法中M=N1時的功率譜估計。以下是利用matlab對周期圖法進行仿真，并得到仿真圖（31）。程序如下：clear。Fs=1000。%采樣頻率n=0:1/Fs:1。%產生含有噪聲的序列xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n))。nfft=1024。window=boxcar(length(n))。%加矩形窗[Pxx,f]=periodgram(xn,window,nfft,Fs)。%直接法 plot(f,10*log10(Pxx))。 圖31 周期圖法仿真圖以下是利用matlab對平均周期圖法進行仿真，并得到仿真圖（3