【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 定義:設(shè)來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，是總體參數(shù) 的一個(gè)估計(jì)量，若 ,則稱是 的無(wú)偏估計(jì)量(Unbiased Estimator)。一個(gè)估計(jì)量如果不是無(wú)偏的就稱它是有偏估計(jì)量。稱為估計(jì)量的偏差。無(wú)偏估計(jì)的實(shí)際意義就是無(wú)系統(tǒng)偏差，估計(jì)量是否無(wú)偏是評(píng)價(jià)估計(jì)量好壞的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)，若 ，但有，則稱是的漸近無(wú)偏估計(jì)。 比較兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量?jī)?yōu)劣的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)就是觀察它們哪一個(gè)取值更集中于待估參數(shù)的真值附近，即哪一個(gè)估計(jì)量的方差更小，這就是下面給出的有效性(Effectiveness)概念。 定義: 設(shè)與都是總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)，若 ,則稱比 更有效。在的所有無(wú)偏估計(jì)量中，如果存在一個(gè)估計(jì)量，它的方差最小，則此估計(jì)量應(yīng)當(dāng)最好，并稱此估計(jì)量為 的最小方差無(wú)偏估計(jì)，也稱其為最有效的． 估計(jì)量的無(wú)偏性和有效性都是在樣本容量n固定的情況下討論的。由于估計(jì)量和樣本容量n有關(guān)，我們自然希望當(dāng)n很大時(shí)，一次抽樣得出的的值能以很大的概率充分接近被估參數(shù)，這就提出了相合性(Consistency)（一致性）的要求。定義： 設(shè) 是總體參數(shù)的估計(jì)量，如果對(duì)任意都有, 則稱是的相合估計(jì)量（或一致估計(jì)量）。，無(wú)論總體X服從什么分布，只要其k階原點(diǎn)矩 存在，則對(duì)任意 都有所以樣本的k階原點(diǎn)矩始終是總體k階原點(diǎn)矩的相合估計(jì)。 進(jìn)一步地, 可以證明：只要相應(yīng)的總體矩存在，矩估計(jì)必定是相合估計(jì)。特別地， 總是 的相合估計(jì), 樣本方差 和樣本的二階中心矩都是總體方差 的相合估計(jì)S和s又都是的相合估計(jì)。由相合性定義可以看出，若是的相合估計(jì)，當(dāng)樣本容量很大時(shí)，一次抽樣得到的值便可作為的較好近似值。第三章 經(jīng)典功率譜估計(jì) 經(jīng)典譜估計(jì)方法是以傅里葉變換為基礎(chǔ)的方法，主要有兩類：周期圖法和自相關(guān)法（布萊克曼—圖基法，簡(jiǎn)稱BT法）。這兩類方法都與相關(guān)函數(shù)有著密切的聯(lián)系，由維納——辛欽定理可知，功率譜和相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系是一對(duì)傅里葉變換，因而可以從觀測(cè)數(shù)據(jù)直接估計(jì)相關(guān)函數(shù)，根據(jù)估計(jì)出來(lái)的相關(guān)函數(shù)，求它的傅立葉變換，就可以得到功率譜的估計(jì)值。 相關(guān)函數(shù)和功率譜 若 常數(shù)，即，則稱為廣義平穩(wěn)序列。 若和均為廣義平穩(wěn)序列，且即：，則稱和為廣義聯(lián)合平穩(wěn)序列。廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列的相關(guān)函數(shù)和它的功率譜密度之間是傅立葉變換對(duì)的關(guān)系，即 這一關(guān)系式常稱為維納——辛欽定理。 由自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度的定義，不難得出它們的一些基本性質(zhì)，主要有：當(dāng)為復(fù)序列時(shí)，；若為實(shí)序列，則相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)，即。相關(guān)函數(shù)的極大值出現(xiàn)在處，即。若含有周期性分量，則也含有同一周期的周期性分量，否則，當(dāng)時(shí)。當(dāng)為實(shí)序列時(shí)，為非負(fù)實(shí)對(duì)稱函數(shù)，即和。平穩(wěn)隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)是實(shí)的且為正，而且對(duì)任一序列和任一，自相關(guān)函數(shù)（ACF）滿足：，這個(gè)函數(shù)稱為半正定的。 自相關(guān)函數(shù)（ACF）和互相關(guān)函數(shù)（CCF）的z變換定義為：；， 若令為歸一化頻率，頻率區(qū)間為基本周期。則上述兩式功率譜密度又可分別表示為： 其中，是實(shí)的，且非負(fù)。 當(dāng)一平穩(wěn)隨機(jī)序列通過(guò)一個(gè)脈沖響應(yīng)為的線性非時(shí)變系統(tǒng)時(shí)，其輸出序列也是一平穩(wěn)隨機(jī)序列。它的自相關(guān)函數(shù)為： 若為實(shí)系統(tǒng)，則。令，得到相應(yīng)的功率譜表達(dá)：或，上述關(guān)系對(duì)以后討論譜估計(jì)問(wèn)題是很有用的。為輸出過(guò)程的平均功率。 我們經(jīng)常會(huì)遇到的一種過(guò)程是離散白噪聲，它的自相關(guān)函數(shù)（ACF）定義為： ，其中是離散沖激函數(shù)。這就是說(shuō)，各樣本之間彼此是不相關(guān)的。所以 ， 這表明它在各頻率上是完全平坦的。換句話說(shuō)，白噪聲的所有頻率分量均具有相同的功率。 相關(guān)函數(shù)的估計(jì) 自相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)性 一般說(shuō)來(lái)，嚴(yán)格各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程允許我們用時(shí)間平均來(lái)代替系綜平均（集合平均或統(tǒng)計(jì)平均），用時(shí)間平均作為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程均值的估計(jì)。 我們實(shí)際所能得到的隨機(jī)序列的樣本數(shù)總是有限的，由有限個(gè)樣本通過(guò)某種運(yùn)算求出的序列的均值和自相關(guān)函數(shù)統(tǒng)計(jì)特征值叫做它們的估計(jì)值。下面討論隨機(jī)序列有限個(gè)樣本的相關(guān)函數(shù)的估計(jì)問(wèn)題。 設(shè)為實(shí)隨機(jī)序列的一批樣本，共有N個(gè)值。有時(shí)簡(jiǎn)稱之為長(zhǎng)度為N的隨機(jī)序列。方法一：根據(jù)假定的自相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)性（或遍歷性），可用下式估計(jì)它的自相關(guān)函數(shù)，即 當(dāng)時(shí)，因此是相關(guān)函數(shù)的無(wú)偏估計(jì)且是漸近一致的，即當(dāng)為有限值時(shí)，是的一致估計(jì)。方法二：有限長(zhǎng)度序列的相關(guān)函數(shù)的另一種估計(jì)方法可表示為 （31） 可見(jiàn)，它是相關(guān)函數(shù)的有偏估計(jì)。但是，當(dāng)，估計(jì)值是漸近無(wú)偏的。當(dāng)時(shí)，即（31）式的也是的一致估計(jì)。（31）式所定義的相關(guān)函數(shù)取傅立葉變換求功率譜估計(jì)時(shí)，在計(jì)算上有某些方便之處，以后的討論中，如不作特別申明，將采用這種有偏估計(jì)表示式求相關(guān)函數(shù)的估計(jì)式。 功率譜密度的另一個(gè)定義: 可以證明，功率譜密度（PSD）的一個(gè)近似等效的定義是 （32）上式定義的PSD與維納一辛欽定理 （33）是等效的。 由（32）式和由（33）式維納一辛欽定理給出的PSD的等效定義將作為經(jīng)典譜估計(jì)方法的基礎(chǔ)。 周期圖法 周期圖法，它是把隨機(jī)序列x(n)的N個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)視為一能量有限的序列，直接計(jì)算x(n)的離散傅立葉變換，得X(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作為序列x(n)真實(shí)功率譜的估計(jì)。 周期圖譜估計(jì)定義為： 可以證明，周期圖等于估計(jì)出的自相關(guān)序列的傅里葉變換，或其中是有偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值，定義為: 周期圖的性能 周期圖的期望值是:? （34） 式中是Bartlett窗（三角形窗）的傅里葉變換。 由式（34）可知周期圖的均值是真實(shí)PSD和Bartlett窗傅里葉變換的卷積，在平均意義上得到真實(shí)功率譜密度（PSD）的平滑形式。因此對(duì)有限記錄數(shù)據(jù)，周期圖一般有偏的，但是當(dāng)時(shí)，它是無(wú)偏的。 這是由于收斂到狄拉克函數(shù)。 對(duì)于高斯白噪聲的特殊情況，結(jié)果為: 對(duì)于白噪聲情況，即使有限記錄數(shù)據(jù)，周期圖也是無(wú)偏的。對(duì)于白高斯過(guò)程，方差 對(duì)任何非白過(guò)程，只要記錄數(shù)據(jù)足夠長(zhǎng), 對(duì)于不靠近0或的頻率，且時(shí)，上式近似地退化為： （35） 可以看出，方差與數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N無(wú)關(guān)，即方差不隨N的增大而減小至零。由此可得出一個(gè)重要的看法：周期圖估計(jì)器是不可靠的，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差和均值一樣大，因而周期圖不是一致估計(jì)而其均值近似地等于要估計(jì)的量值。 上述論證表明，我們不能寄希望于直接用周期圖方法獲得良好的譜估計(jì)，必須采用適當(dāng)?shù)男拚胧p小估計(jì)方差，才能使之成為一種實(shí)用的方法。 周期圖法改進(jìn)措施 加窗周期圖 周期圖法只用了N個(gè)樣本，這可以看作是用一長(zhǎng)度為N的矩形窗函數(shù)與原來(lái)無(wú)限長(zhǎng)的序列相乘的結(jié)果，我們知道，時(shí)域中兩函數(shù)相乘對(duì)應(yīng)于頻域中它們的傅立葉變換的卷積。由此可以想到，當(dāng)用周期圖方法作譜估計(jì)時(shí)，它的譜分辨率約與N成反比，且和信號(hào)本身的特征，例如信噪比等無(wú)關(guān)。此外，如果序列是由多個(gè)正弦波信號(hào)組成的，而各分量強(qiáng)度不等，則弱信號(hào)分量可能淹沒(méi)在強(qiáng)信號(hào)譜的旁瓣中而無(wú)法發(fā)現(xiàn)。這種所謂信號(hào)能量（向旁瓣）泄漏現(xiàn)象如果不設(shè)法消除，也將妨礙周期圖譜估計(jì)法的應(yīng)用。因此提出了周期圖的改進(jìn)方法： 周期圖改進(jìn)的方法之一是將長(zhǎng)度為N的序列乘以同一長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)窗。數(shù)據(jù)加窗后的周期圖譜估計(jì)值的數(shù)學(xué)期望值等于譜的真實(shí)值與窗譜函數(shù)的平方的卷積。顯然它不等于功率譜的真實(shí)值，因而是有偏估計(jì)。 若序列為單頻信號(hào)，則為函數(shù)，這樣，數(shù)據(jù)加窗后的譜估計(jì)值的均值與窗譜函數(shù)的平方形狀相同，因此選用低旁瓣的數(shù)據(jù)窗可使得雜散響應(yīng)減少。但旁瓣的降低必然使主瓣加寬，而且降低了分辨率。 數(shù)據(jù)加窗后，周期圖譜估計(jì)值的方差大于或近似等于譜估計(jì)值的平方，且不隨數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的增大而減小到0。 從以上的分析可知，數(shù)據(jù)加窗用于周期圖譜估計(jì)可以降低譜估計(jì)值的旁瓣，但要降低譜估計(jì)的分辯率，而用數(shù)據(jù)加窗的辦法不能減小估計(jì)方差，因而無(wú)法降低分辨率。 平均周期圖 平均周期圖的思想：對(duì)一個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行觀測(cè)，得到L組獨(dú)立記錄數(shù)據(jù)，用每一組數(shù)據(jù)求其均值，然后將L個(gè)均值加起來(lái)求平均。這樣得到的均值，其方差將是用一組數(shù)據(jù)得到的均值的方差的1/L。 為了改進(jìn)周期圖的統(tǒng)計(jì)特性，可以近似地用對(duì)一組周期圖進(jìn)行平均的方法完成期望運(yùn)算。假定在區(qū)間上有組獨(dú)立記錄數(shù)據(jù)，并且都是同一隨機(jī)過(guò)程的現(xiàn)實(shí)。平均周期圖估計(jì)器定義為： 其中是第個(gè)數(shù)據(jù)組的周期圖。 因?yàn)?，所以方差將減少K倍。又因?yàn)?，所以譜估計(jì)器具有樣本的分辨率。 顯然，為了獲得最大分辨率，L將盡可能選得大一些或就選，此時(shí)，平均周期圖就成為標(biāo)準(zhǔn)周期圖估計(jì)。但有時(shí)為了減小方差，應(yīng)該把選得大一些，或等效地把L取得小一些。因?yàn)檫@兩個(gè)目的不可能同時(shí)實(shí)現(xiàn)，所以必須調(diào)整L在方差和偏差之間進(jìn)行折衷。 自相關(guān)法是先估計(jì)自相關(guān)函數(shù)，再進(jìn)行傅里葉變換得到功率譜。下面介紹自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)。 利用觀測(cè)到的實(shí)隨機(jī)序列，估計(jì)自相關(guān)函數(shù)的兩種方法是：無(wú)偏自相關(guān)函數(shù)估計(jì)和有偏自相關(guān)函數(shù)估計(jì)。BT法功率譜估計(jì)采用有偏自相關(guān)函數(shù)估計(jì)法。自相關(guān)法的理論基礎(chǔ)是維納辛欽定理，即先由估計(jì)出自相關(guān)函數(shù)，然后對(duì)求傅里葉變換得到的功率譜，因?yàn)橛蛇@種方法求出的功率譜是通過(guò)自相關(guān)函數(shù)間接得到的，所以稱為間接法。 直接法和間接法的關(guān)系由以下式子可以得出： m=kn，則k=n+m，得 可見(jiàn)周期圖法就是BT法中M=N1時(shí)的功率譜估計(jì)。以下是利用matlab對(duì)周期圖法進(jìn)行仿真，并得到仿真圖（31）。程序如下：clear。Fs=1000。%采樣頻率n=0:1/Fs:1。%產(chǎn)生含有噪聲的序列xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n))。nfft=1024。window=boxcar(length(n))。%加矩形窗[Pxx,f]=periodgram(xn,window,nfft,Fs)。%直接法 plot(f,10*log10(Pxx))。 圖31 周期圖法仿真圖以下是利用matlab對(duì)平均周期圖法進(jìn)行仿真，并得到仿真圖（3