【正文】 t,Fs)。nfft=1024。%采樣頻率n=0:1/Fs:1。程序如下：clear。 直接法和間接法的關(guān)系由以下式子可以得出： m=kn，則k=n+m，得 可見周期圖法就是BT法中M=N1時(shí)的功率譜估計(jì)。BT法功率譜估計(jì)采用有偏自相關(guān)函數(shù)估計(jì)法。下面介紹自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)。因?yàn)檫@兩個(gè)目的不可能同時(shí)實(shí)現(xiàn)，所以必須調(diào)整L在方差和偏差之間進(jìn)行折衷。 顯然，為了獲得最大分辨率，L將盡可能選得大一些或就選，此時(shí)，平均周期圖就成為標(biāo)準(zhǔn)周期圖估計(jì)。 因?yàn)椋苑讲顚p少K倍。假定在區(qū)間上有組獨(dú)立記錄數(shù)據(jù)，并且都是同一隨機(jī)過程的現(xiàn)實(shí)。這樣得到的均值，其方差將是用一組數(shù)據(jù)得到的均值的方差的1/L。 從以上的分析可知，數(shù)據(jù)加窗用于周期圖譜估計(jì)可以降低譜估計(jì)值的旁瓣，但要降低譜估計(jì)的分辯率，而用數(shù)據(jù)加窗的辦法不能減小估計(jì)方差，因而無法降低分辨率。但旁瓣的降低必然使主瓣加寬，而且降低了分辨率。顯然它不等于功率譜的真實(shí)值，因而是有偏估計(jì)。因此提出了周期圖的改進(jìn)方法： 周期圖改進(jìn)的方法之一是將長(zhǎng)度為N的序列乘以同一長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)窗。此外，如果序列是由多個(gè)正弦波信號(hào)組成的，而各分量強(qiáng)度不等，則弱信號(hào)分量可能淹沒在強(qiáng)信號(hào)譜的旁瓣中而無法發(fā)現(xiàn)。 周期圖法改進(jìn)措施 加窗周期圖 周期圖法只用了N個(gè)樣本，這可以看作是用一長(zhǎng)度為N的矩形窗函數(shù)與原來無限長(zhǎng)的序列相乘的結(jié)果，我們知道，時(shí)域中兩函數(shù)相乘對(duì)應(yīng)于頻域中它們的傅立葉變換的卷積。由此可得出一個(gè)重要的看法：周期圖估計(jì)器是不可靠的，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差和均值一樣大，因而周期圖不是一致估計(jì)而其均值近似地等于要估計(jì)的量值。 對(duì)于高斯白噪聲的特殊情況，結(jié)果為: 對(duì)于白噪聲情況，即使有限記錄數(shù)據(jù)，周期圖也是無偏的。因此對(duì)有限記錄數(shù)據(jù)，周期圖一般有偏的，但是當(dāng)時(shí)，它是無偏的。 周期圖譜估計(jì)定義為： 可以證明，周期圖等于估計(jì)出的自相關(guān)序列的傅里葉變換，或其中是有偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值，定義為: 周期圖的性能 周期圖的期望值是:? （34） 式中是Bartlett窗（三角形窗）的傅里葉變換。 由（32）式和由（33）式維納一辛欽定理給出的PSD的等效定義將作為經(jīng)典譜估計(jì)方法的基礎(chǔ)。（31）式所定義的相關(guān)函數(shù)取傅立葉變換求功率譜估計(jì)時(shí)，在計(jì)算上有某些方便之處，以后的討論中，如不作特別申明，將采用這種有偏估計(jì)表示式求相關(guān)函數(shù)的估計(jì)式。但是，當(dāng)，估計(jì)值是漸近無偏的。方法一：根據(jù)假定的自相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)性（或遍歷性），可用下式估計(jì)它的自相關(guān)函數(shù)，即 當(dāng)時(shí)，因此是相關(guān)函數(shù)的無偏估計(jì)且是漸近一致的，即當(dāng)為有限值時(shí)，是的一致估計(jì)。 設(shè)為實(shí)隨機(jī)序列的一批樣本，共有N個(gè)值。 我們實(shí)際所能得到的隨機(jī)序列的樣本數(shù)總是有限的，由有限個(gè)樣本通過某種運(yùn)算求出的序列的均值和自相關(guān)函數(shù)統(tǒng)計(jì)特征值叫做它們的估計(jì)值。 相關(guān)函數(shù)的估計(jì) 自相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)性 一般說來，嚴(yán)格各態(tài)歷經(jīng)過程允許我們用時(shí)間平均來代替系綜平均（集合平均或統(tǒng)計(jì)平均），用時(shí)間平均作為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程均值的估計(jì)。所以 ， 這表明它在各頻率上是完全平坦的。 我們經(jīng)常會(huì)遇到的一種過程是離散白噪聲，它的自相關(guān)函數(shù)（ACF）定義為： ，其中是離散沖激函數(shù)。令，得到相應(yīng)的功率譜表達(dá)：或，上述關(guān)系對(duì)以后討論譜估計(jì)問題是很有用的。 當(dāng)一平穩(wěn)隨機(jī)序列通過一個(gè)脈沖響應(yīng)為的線性非時(shí)變系統(tǒng)時(shí)，其輸出序列也是一平穩(wěn)隨機(jī)序列。 自相關(guān)函數(shù)（ACF）和互相關(guān)函數(shù)（CCF）的z變換定義為：；， 若令為歸一化頻率，頻率區(qū)間為基本周期。當(dāng)為實(shí)序列時(shí)，為非負(fù)實(shí)對(duì)稱函數(shù)，即和。相關(guān)函數(shù)的極大值出現(xiàn)在處，即。廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列的相關(guān)函數(shù)和它的功率譜密度之間是傅立葉變換對(duì)的關(guān)系，即 這一關(guān)系式常稱為維納——辛欽定理。 相關(guān)函數(shù)和功率譜 若 常數(shù)，即，則稱為廣義平穩(wěn)序列。第三章 經(jīng)典功率譜估計(jì) 經(jīng)典譜估計(jì)方法是以傅里葉變換為基礎(chǔ)的方法，主要有兩類：周期圖法和自相關(guān)法（布萊克曼—圖基法，簡(jiǎn)稱BT法）。特別地， 總是 的相合估計(jì), 樣本方差 和樣本的二階中心矩都是總體方差 的相合估計(jì)S和s又都是的相合估計(jì)。無論總體X服從什么分布，只要其k階原點(diǎn)矩 存在，則對(duì)任意 都有所以樣本的k階原點(diǎn)矩始終是總體k階原點(diǎn)矩的相合估計(jì)。由于估計(jì)量和樣本容量n有關(guān)，我們自然希望當(dāng)n很大時(shí)，一次抽樣得出的的值能以很大的概率充分接近被估參數(shù)，這就提出了相合性(Consistency)（一致性）的要求。 定義: 設(shè)與都是總體參數(shù)的無偏估計(jì)，若 ,則稱比 更有效。無偏估計(jì)的實(shí)際意義就是無系統(tǒng)偏差，估計(jì)量是否無偏是評(píng)價(jià)估計(jì)量好壞的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)，若 ，但有，則稱是的漸近無偏估計(jì)。一個(gè)估計(jì)量如果不是無偏的就稱它是有偏估計(jì)量。也就是說，盡管在一次抽樣中得到的估計(jì)值不一定恰好等于待估參數(shù)的真值，但在大量重復(fù)抽樣時(shí)，所得到的估計(jì)值平均起來應(yīng)與待估參數(shù)的真值相同．換句話說，我們希望估計(jì)量的均值（數(shù)學(xué)期望）應(yīng)等于未知參數(shù)的真值，這就是所謂無偏性(Unbiasedness)的要求。 隨機(jī)序列X(n)，它的相關(guān)函數(shù)滿足其功率譜密度 具有如下式子：。稱為X (t) 的功率譜密度，簡(jiǎn)稱譜密度。 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：設(shè)X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，其自相關(guān)函數(shù)為Rxx(τ)，自協(xié)方差函數(shù)Cxx(τ)，則它們有如下性質(zhì)： （1） τ=0時(shí)的自相關(guān)函數(shù)等于均方差，自協(xié)方差函數(shù)等于方差， 即 （2）當(dāng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)是實(shí)函數(shù)時(shí)，其相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即： （3）τ=0時(shí)的自相關(guān)函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)取最大值，即 （4） 若X(t)=X(t+T)，則其自相關(guān)函數(shù)也是周期為T的周期函數(shù)，即 （5） 若均值mx=0，當(dāng)τ→∞時(shí)，X(t)與X(t+τ)相互獨(dú)立，有 ，即對(duì)于零均值的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，當(dāng)時(shí)間間隔τ很大時(shí)，X(t)與X(t+τ)相互獨(dú)立，互不相關(guān)。τ)。 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù) 實(shí)隨機(jī)信號(hào)X(t)的自相關(guān)函數(shù)定義： ，由于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間的起點(diǎn)無關(guān)，設(shè)t2=t1+τ, 則有f2(x1, x2。但對(duì)于正態(tài)隨機(jī)過程兩者是等價(jià)的。（廣義平穩(wěn)）: 若的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，且自相關(guān)函數(shù)只與有關(guān)，則稱為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，或稱廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。 平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望及方差與無關(guān)，它的自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)；隨機(jī)過程的這種“平穩(wěn)”數(shù)字特征，有時(shí)就直接用來判斷隨機(jī)過程是否平穩(wěn)。 : 如果對(duì)于任意和以及有則稱為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程，或稱狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程。 (5) 對(duì)變化迅速的信號(hào)（寬帶隨機(jī)過程），相關(guān)的程度在很小時(shí)就完全喪失 。用t1和t1+兩時(shí)刻瞬時(shí)值乘積的總體平均值得到自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：(1) 自相關(guān)函數(shù)是 的偶函數(shù)　　　 Rx()= Rx()； (2) 當(dāng)=0 時(shí)，自相關(guān)函數(shù)具有最大值， Rx(0)=；(3) 周期信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)仍然是同頻率的周期信號(hào)，但不保留原信號(hào)的相位信息。統(tǒng)計(jì)學(xué)中用相關(guān)系數(shù)xy來描述變量x，y之間的相關(guān)性，函數(shù)的相關(guān)系數(shù)，簡(jiǎn)稱相關(guān)函數(shù)： 隨機(jī)信號(hào)具有不重復(fù)性、不確定性，通常用概率與統(tǒng)計(jì)方法研究其中是否存在某些重復(fù)、確定的成分。瞬時(shí)值x(t)小于或等于某值x的概率定義為概率分布函數(shù)或累計(jì)概率分布函數(shù) 表征了一個(gè)隨機(jī)過程自身在不同時(shí)刻的狀態(tài)間，或者兩個(gè)隨機(jī)過程在某個(gè)時(shí)刻狀態(tài)間線性依從關(guān)系的數(shù)字特征。） 概率密度函數(shù)是為了表示瞬時(shí)數(shù)據(jù)落在指定幅值范圍的概率。 設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn), 樣本空間是={e}，設(shè)X=X(e)和Y=Y(e)是定義在Ω上的隨機(jī)變量， 由它們構(gòu)成的一個(gè)向量(X, Y)叫做二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量。例如，式中的是X取值為時(shí)的概率。； 以上分別稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差和方差。記為F(x)，即F(x)＝P {Xx}，易知，對(duì)任意實(shí)數(shù)a, b (ab), P {aXb}＝P{X b}－P{Xa}＝ F(b)－F(a). 分布函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)不減性：若x1x2, 則F(x1)F(x2)。例如某地區(qū)男性健康成人的身長(zhǎng)值、體重值，一批傳染性肝炎患者的血清轉(zhuǎn)氨酶測(cè)定值等。例如某地區(qū)某年人口的出生數(shù)、死亡數(shù)，某藥治療某病病人的有效數(shù)、無效數(shù)等。隨機(jī)變量與模糊變量的不確定性的本質(zhì)差別在于，后者的測(cè)定結(jié)果仍具有不確定性，即模糊性。隨機(jī)變量可以是離散型的，也可以是連續(xù)型的。例如某一時(shí)間內(nèi)公共汽車站等車乘客人數(shù)，電話交換臺(tái)在一定時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)等等，都是隨機(jī)變量的實(shí)例。譜估計(jì)技術(shù)是現(xiàn)代信號(hào)處理的一個(gè)重要部分，還包括空間譜估計(jì)、高階譜估計(jì)等。所謂譜估計(jì)的分辨率可以粗略的定義為能夠分辨出的二個(gè)分立的譜分量間的最小頻率間隙，提高譜估計(jì)的分辨率已成為目前譜估計(jì)研究中的一個(gè)重要方向[1]。這是功率譜估計(jì)在信號(hào)處理中的一個(gè)重要用途。例如，當(dāng)我們要了解某一系統(tǒng)的幅頻特性H(w)時(shí)，可用一白色噪聲通過該系統(tǒng)，再從該系統(tǒng)的輸出樣本估計(jì)功率譜密度，故通過估計(jì)輸出信號(hào)的psd，可以估計(jì)出系統(tǒng)的頻率特性。在信號(hào)處理的許多場(chǎng)所，要求預(yù)先知道信號(hào)的功率譜密度。 功率譜估計(jì)有著極其廣泛的應(yīng)用，不僅在認(rèn)識(shí)一個(gè)隨機(jī)信號(hào)時(shí)，需要估計(jì)它的功率譜。由已知白噪聲和系統(tǒng)函數(shù)求得的輸出序列，實(shí)際上是對(duì)原始觀測(cè)到的輸出信號(hào)的兩端進(jìn)行了估計(jì)或延拓。另外，經(jīng)典譜估計(jì)的功率譜定義中既無求均值運(yùn)算又無求極限運(yùn)算，因而使得譜估計(jì)的方差性能較差，當(dāng)數(shù)據(jù)很短時(shí)，這個(gè)問題更為突出，如何選取最佳窗函數(shù)、提高頻率分辨率，如何在數(shù)據(jù)情況下提高信號(hào)譜估計(jì)質(zhì)量，還需要進(jìn)一步研究。不同窗函數(shù)的welch譜估計(jì)在選擇窗函數(shù)時(shí)，一般有如下要求：（1） 窗口寬度M要遠(yuǎn)小于樣本序列長(zhǎng)度N，以排除不可靠的自相關(guān)值；（2） 當(dāng)平穩(wěn)信號(hào)為實(shí)過程時(shí)，為保證平滑周期圖和真實(shí)功率譜也是實(shí)偶函數(shù)，平滑窗函必須是實(shí)偶對(duì)稱的；（3） 平滑窗函數(shù)應(yīng)當(dāng)在m=0是峰值，并且m隨絕對(duì)值增加而單調(diào)下降，使可靠的自相關(guān)值有較大的權(quán)值；（4） 功率譜是頻率的非負(fù)函數(shù)且周期圖是非負(fù)的，因而要求窗函數(shù)的fourier變換是非負(fù)的。2. Welch法 Welch法對(duì)Bartlett法進(jìn)行了兩方面的修正，一是選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)w(n)，并再周期圖計(jì)算前直接加進(jìn)去，加窗的優(yōu)點(diǎn)一是無論什么樣的窗函數(shù)均可使譜估計(jì)非負(fù)。 改進(jìn)的周期圖法：對(duì)于直接法的功率譜估計(jì)，當(dāng)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N太大時(shí)，譜曲線起伏加劇，若N太小，譜的分辨率又不好，因此需要改進(jìn)。 周期圖法與相關(guān)法相比，相關(guān)法在求相關(guān)函數(shù)時(shí)將有限長(zhǎng)序列以外的數(shù)據(jù)看做是零，因此相關(guān)法認(rèn)為