【正文】 n)中的一段來估計該隨機(jī)序列的功率譜,這當(dāng)然必帶來誤差。這種方法把隨機(jī)序列樣本x(n)看成是截得一段的有限序列的周期延拓，這也就是周期圖法這個名字的來歷。間接法先由序列x(n)估計出自相關(guān)函數(shù)R(n)，然后對R(n)進(jìn)行傅立葉變換，便得到x(n)的功率譜估計。但是，當(dāng)相關(guān)法被引入基于FFT的快速變換后，相關(guān)法和周期圖法開始融合。其又有以下幾種方法：1. Bartlett法 Bartlett平均周期圖的方法是將N點(diǎn)的有限長序列x(n)分段求周期圖再平均。二是在分段時，可使各段之間有重疊，這樣會使方差減小。 在經(jīng)典譜估計中，無論是周期圖法還是其改進(jìn)方法，都存在著頻率分辨率低、方差性能不好的問題，原因是譜估計時需要對數(shù)據(jù)加窗截斷，用有限個數(shù)據(jù)或其自相關(guān)函數(shù)來估計無限個數(shù)據(jù)的功率譜，這其實是假設(shè)了窗以外的數(shù)據(jù)或自相關(guān)函數(shù)全為零，這種假設(shè)是不符合實際的，正是由于這些不符合實際的假設(shè)造成了經(jīng)典譜估計分辨率較差。 現(xiàn)代譜估計與經(jīng)典譜估計的主要區(qū)別就在于，現(xiàn)代譜估計一般采用信號模型法，信號模型法將原始信號視為白噪聲通過一系統(tǒng)的輸出信號，通過對輸出信號的觀測，按照一定的準(zhǔn)則，求出相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)，這樣再由輸入白噪聲和以求得的系統(tǒng)函數(shù)就很容易得到輸出信號的功率譜。數(shù)據(jù)長度加寬以后，頻譜分辨率會得到改善！因此現(xiàn)代譜估計優(yōu)于經(jīng)典譜估計。它還被廣泛的應(yīng)用于各種信號處理中。例如，在最佳線性過濾問題中，要設(shè)計一個維納濾波器就首先要求知道信號與噪聲的功率譜密度，根據(jù)信號與噪聲的功率譜才能設(shè)計出能夠盡量不失真的重現(xiàn)信號，而把噪聲最大限度抑制的維納濾波器常常利用功率譜估計來得到線性系統(tǒng)的參數(shù)估計。從寬帶噪聲中檢測窄帶信號。但是這要求功率譜估計有足夠好的頻率的分辨率，否則就不一定能夠清楚地檢測出來。 功率譜估計就是通過信號的相關(guān)性估計出接受到信號的功率隨頻率的變化關(guān)系，實際用途有濾波、信號識別、信號分離、系統(tǒng)辨識等。第二章 譜估計中的變量 隨機(jī)變量 隨機(jī)變量（random variable）表示隨機(jī)現(xiàn)象（在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象）各種結(jié)果的變量（一切可能的樣本點(diǎn)）。 隨機(jī)變量在不同的條件下由于偶然因素影響，其可能取各種不同的值，具有不確定性和隨機(jī)性，但這些取值落在某個范圍的概率是一定的，此種變量稱為隨機(jī)變量。如分析測試中的測定值就是一個以概率取值的隨機(jī)變量，被測定量的取值可能在某一范圍內(nèi)隨機(jī)變化，具體取什么值在測定之前是無法確定的，但測定的結(jié)果是確定的，多次重復(fù)測定所得到的測定值具有統(tǒng)計規(guī)律性。 按照隨機(jī)變量可能取得的值，可以把它們分為兩種基本類型：①離散型隨機(jī)變量，即在一定區(qū)間內(nèi)變量取值為有限個，或數(shù)值可以一一列舉出來。②連續(xù)型隨機(jī)變量，即在一定區(qū)間內(nèi)變量取值有無限個,或數(shù)值無法一一列舉出來。 設(shè)X是隨機(jī)變量，對任意實數(shù)x，事件{Xx}的概率P{Xx}稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。歸一性：對任意實數(shù)x，0F(x)1，且 . 左連續(xù)性：對任意實數(shù)x， 2. 數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差 定義： ,為X的數(shù)學(xué)期望值，或簡稱為均值。若X為離散型隨機(jī)變量，則上述的求均值運(yùn)算將有積分改為求和。3. 隨機(jī)向量 在某些實際問題中，往往需要同時用兩個或兩個以上的隨機(jī)變量來描述試驗的結(jié)果。（注: 二維隨機(jī)向量 (X, Y)的性質(zhì)不僅與X和Y有關(guān),而且還依賴于這兩個隨機(jī)變量的相互關(guān)系。其定義為：。 相關(guān)函數(shù)是兩隨機(jī)變量之積的數(shù)學(xué)期望，稱為相關(guān)性。 隨機(jī)過程在某一時刻t1的均值（一階矩）可將總體中各樣本函數(shù)在t1的瞬時值相加，然后除以樣本函數(shù)的個數(shù)而得到 自相關(guān)函數(shù)即為隨機(jī)過程兩不同時刻之值的相關(guān)性，又稱二階矩。(4) 當(dāng)隨機(jī)信號中含有周期信號時，Rx()中也必定有周期性分量，且周期相同。 平穩(wěn)信號分嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)，嚴(yán)平穩(wěn)的條件在信號處理中太嚴(yán)格，不實用，一般所說的平穩(wěn)是指寬平穩(wěn)，滿足三個條件：1. 均值為與時間無關(guān)的常數(shù)；2. 均方有界；3. 自相關(guān)函數(shù)與信號時間的起始點(diǎn)無關(guān)，只和時間差有關(guān)（寬平穩(wěn)信號的方差和均方也是與時間無關(guān)的）。：1）,平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望與時間無關(guān)；2），平穩(wěn)隨機(jī)過程的方差與時間無關(guān)；3）其中：；4）。即若一個隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望及方差與時間無關(guān)，而其相關(guān)函數(shù)僅與有關(guān)，即我們就稱這個隨機(jī)過程是廣義平穩(wěn)的。不難看出，嚴(yán)平穩(wěn)過程一定是寬平穩(wěn)過程，反之不一定。本論文若不加特別說明，平穩(wěn)過程均指寬平穩(wěn)過程。 t1, t2)=f2(x1, x2。所以，平穩(wěn)隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)是時間間隔τ的函數(shù)，記為Rxx(τ)。 平穩(wěn)隨機(jī)信號的功率譜1. 功率譜密度定義： 設(shè) { X (t),t } 是均方連續(xù)的隨機(jī)過程，稱為 X (t) 的平均功率。2. 功率譜密度的性質(zhì)（1）若 ，則 SX() 是 RX()的傅里葉變換；(2) SX()是的非負(fù)實函數(shù)；(3) 實平穩(wěn)過程的譜密度是偶函數(shù)；當(dāng) SX()是的有理函數(shù)時，其形式必為，其中 ,為常數(shù)，且0, mn，分母無實根。1. 無偏性 對于待估參數(shù)，不同的樣本值就會得到不同的估計值，這樣，要確定一個估計量的好壞，就不能僅僅依據(jù)某次抽樣的結(jié)果來衡量，而必須由大量抽樣的結(jié)果來衡量．對此，一個自然而基本的衡量標(biāo)準(zhǔn)是要求估計量無系統(tǒng)偏差。 定義:設(shè)來自總體X的一個樣本，是總體參數(shù) 的一個估計量，若 ,則稱是 的無偏估計量(Unbiased Estimator)。稱為估計量的偏差。 比較兩個無偏估計量優(yōu)劣的一個重要標(biāo)準(zhǔn)就是觀察它們哪一個取值更集中于待估參數(shù)的真值附近，即哪一個估計量的方差更小，這就是下面給出的有效性(Effectiveness)概念。在的所有無偏估計量中，如果存在一個估計量，它的方差最小，則此估計量應(yīng)當(dāng)最好，并稱此估計量為 的最小方差無偏估計，也稱其為最有效的． 估計量的無偏性和有效性都是在樣本容量n固定的情況下討論的。定義： 設(shè) 是總體參數(shù)的估計量，如果對任意都有, 則稱是的相合估計量（或一致估計量）。 進(jìn)一步地, 可以證明：只要相應(yīng)的總體矩存在，矩估計必定是相合估計。由相合性定義可以看出，若是的相合估計，當(dāng)樣本容量很大時，一次抽樣得到的值便可作為的較好近似值。這兩類方法都與相關(guān)函數(shù)有著密切的聯(lián)系，由維納——辛欽定理可知，功率譜和相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系是一對傅里葉變換，因而可以從觀測數(shù)據(jù)直接估計相關(guān)函數(shù)，根據(jù)估計出來的相關(guān)函數(shù)，求它的傅立葉變換，就可以得到功率譜的估計值。 若和均為廣義平穩(wěn)序列，且即：，則稱和為廣義聯(lián)合平穩(wěn)序列。 由自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度的定義，不難得出它們的一些基本性質(zhì)，主要有：當(dāng)為復(fù)序列時，；若為實序列，則相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)，即。若含有周期性分量，則也含有同一周期的周期性分量，否則，當(dāng)時。平穩(wěn)隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)是實的且為正，而且對任一序列和任一，自相關(guān)函數(shù)（ACF）滿足：，這個函數(shù)稱為半正定的。則上述兩式功率譜密度又可分別表示為： 其中，是實的，且非負(fù)。它的自相關(guān)函數(shù)為： 若為實系統(tǒng)，則。為輸出過程的平均功率。這就是說，各樣本之間彼此是不相關(guān)的。換句話說，白噪聲的所有頻率分量均具有相同的功率。下面討論隨機(jī)序列有限個樣本的相關(guān)函數(shù)的估計問題。有時簡稱之為長度為N的隨機(jī)序列。方法二：有限長度序列的相關(guān)函數(shù)的另一種估計方法可表示為 （31） 可見，它是相關(guān)函數(shù)的有偏估計。當(dāng)時，即（31）式的也是的一致估計。 功率譜密度的另一個定義: 可以證明，功率譜密度（PSD）的一個近似等效的定義是 （32）上式定義的PSD與維納一辛欽定理 （33）是等效的。 周期圖法 周期圖法，它是把隨機(jī)序列x(n)的N個觀測數(shù)據(jù)視為一能量有限的序列，直接計算x(n)的離散傅立葉變換，得X(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作為序列x(n)真實功率譜的估計。 由式（34）可知周期圖的均值是真實PSD和Bartlett窗傅里葉變換的卷積，在平均意義上得到真實功率譜密度（PSD）的平滑形式。 這是由于收斂到狄拉克函數(shù)。對于白高斯過程，方差 對任何非白過程，只要記錄數(shù)據(jù)足夠長, 對于不靠近0或的頻率，且時，上式近似地退化為： （35） 可以看出，方差與數(shù)據(jù)長度N無關(guān)，即方差不隨N的增大而減小至零。 上述論證表明，我們不能寄希望于直接用周期圖方法獲得良好的譜估計，必須采用適當(dāng)?shù)男拚胧p小估計方差，才能使之成為一種實用的方法。由此可以想到，當(dāng)用周期圖方法作譜估計時，它的譜分辨率約與N成反比，且和信號本身的特征，例如信噪比等無關(guān)。這種所謂信號能量（向旁瓣）泄漏現(xiàn)象如果不設(shè)法消除，也將妨礙周期圖譜估計法的應(yīng)用。數(shù)據(jù)加窗后的周期圖譜估計值的數(shù)學(xué)期望值等于譜的真實值與窗譜函數(shù)的平方的卷積。 若序列為單頻信號，則為函數(shù)，這樣，數(shù)據(jù)加窗后的譜估計值的均值與窗譜函數(shù)的平方形狀相同，因此選用低旁瓣的數(shù)據(jù)窗可使得雜散響應(yīng)減少。 數(shù)據(jù)加窗后，周期圖譜估計值的方差大于或近似等于譜估計值的平方，且不隨數(shù)據(jù)長度的增大而減小到0。 平均周期圖 平均周期圖的思想：對一個隨機(jī)變量進(jìn)行觀測，得到L組獨(dú)立記錄數(shù)據(jù)，用每一組數(shù)據(jù)求其均值，然后將L個均值加起來求平均。 為了改進(jìn)周期圖的統(tǒng)計特性，可以近似地用對一組周期圖進(jìn)行平均的方法完成期望運(yùn)算。平均周期圖估計器定義為： 其中是第個數(shù)據(jù)組的周期圖。又因為 ，所以譜估計器具有樣本的分辨率。但有時為了減小方差，應(yīng)該把選得大一些，或等效地把L取得小一些。 自相關(guān)法是先估計自相關(guān)函數(shù)，再進(jìn)行傅里葉變換得到功率譜。 利用觀測到的實隨機(jī)序列，估計自相關(guān)函數(shù)的兩種方法是：無偏自相關(guān)函數(shù)估計和有偏自相關(guān)函數(shù)估計。自相關(guān)法的理論基礎(chǔ)是維納辛欽定理，即先由估計出自相關(guān)函數(shù)，然后對求傅里葉變換得到的功率譜，因為由這種方法求出的功率譜是通過自相關(guān)函數(shù)間接得到的，所以稱為間接法。以下是利用matlab對周期圖法進(jìn)行仿真，并得到仿真圖（31）。Fs=1000。%產(chǎn)生含有噪聲的序列xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n))。window=boxcar(length(n))。%直接法 plot(f,10*log10(Pxx))。程序如下：clear。n=0:1/Fs:1。nfft=1024。 %加矩形窗noverlap=0。 %置信概率[Pxx,Pxxc]=psd(xn,nfft,Fs,window,noverlap,p)。k=index*Fs/n