【文章內(nèi)容簡介】 ???? 時(shí) 時(shí) (519) ，此即對應(yīng)光強(qiáng)極 3 各光強(qiáng)次極大值的位置可由 0sin ??????? ???dd 從而需 解α =tgα這一超越方程。解之可得 ?? 1 ??b ?? 2 ??b ?? 3 ??b ? 經(jīng)分析得各光強(qiáng)次極大的位置可近似地由下式?jīng)Q定： 2)12(sin ?? ?? jb j=177。 1，177。 2，177。 3? (520) 它們的光強(qiáng)為 0sinsin ??????? ???b,sin ?? jb ? I1= 0， I2=， I3= 考慮傾斜因子的作用，次極 大光強(qiáng)會(huì)更小?？梢娧苌浜蟮哪芰恐饕性谥醒胙苌淞翖l紋內(nèi)。 圖 51 上面根據(jù)惠更斯 菲涅耳原理，導(dǎo)出了夫瑯和費(fèi)單狹縫衍射花樣的光強(qiáng)公 (1)各級亮條紋光強(qiáng)不相等，中央最大值的光強(qiáng)最大，次極大值都遠(yuǎn)小于中央最大值，并隨著級數(shù) j 的增大而很快地減小，即使第一級次極大值也不到中央最大值的 5% (2)亮條紋到透鏡中心所張的角度稱為角寬度，中央亮條紋和其它亮條紋的寬度不相等。中央亮條紋的寬 度等于 2λ /b，即等于其它亮條紋角寬度的二倍。這個(gè)結(jié)論可證明如下：屏上各級最小值到中心的角寬度滿足 (519)式。在θ很小時(shí)，它可近似地寫為 bj ?? ?? (521) 由于在最小值的位置公式 (519)中， j 可取所有不為零的正負(fù)整數(shù)，而中央亮條紋以 j=177。 1的最小值位置為界限，故中央亮條紋的半角寬度為 b?? ?? b?? 22 ?? (522) 若透鏡 L2 的焦距為 f′ 2 ? ? bff ?? 239。239。2 2 ???? (523) 任何兩相鄰暗紋之間為一亮紋，故兩側(cè)亮紋的角寬度為 bbjj b ??? ? ????? )1( (3)根據(jù) (519)式，最小值處形成的每一側(cè)的暗紋是等間距 的，而次極大值彼此則是不等間距的，不過隨著級數(shù) j的增大，次極大值也就愈 (4)以上僅對單色光進(jìn)行討論，如果用白光作為光源，由于衍射花樣中亮暗條/b 產(chǎn)生的衍射花樣除中央最大值外將彼此錯(cuò)開，于是觀察到的衍射花樣其中央亮紋的中心仍是白色的，但由于條紋的寬度是波長的函數(shù)，所以中央亮紋的邊緣伴有彩 (5)以下討論一下縫寬 b 對衍射花樣產(chǎn)生的影響。中央最大值的半角寬度與波長λ成正比，與縫寬 b 成反比，即 b?? ?? (524) 隨著縫的加寬，λ和 b的比值減小 (見圖 516)。在 bλ的極限情況下，Δθ 0? ，這里可認(rèn)為衍射花樣壓縮成為一條亮線， 這條 亮線正好是沒有障礙物時(shí)光源經(jīng)透鏡 L L2后所成的像，由此可見，障礙物使光強(qiáng)分布偏離幾何光學(xué)規(guī)律的程度，可以用中央最大值的半角寬度來衡量。上式表明，只有在λ b，即λ /b1 的條件下，衍射現(xiàn)象才可忽略不計(jì)；反之，λ愈大或 b愈小，衍射現(xiàn)象就愈顯著。由于光的波長很短，在通常情況下，當(dāng)狹縫的開口線度比波長大得多時(shí)，光可看作是直線傳播。 (6)關(guān)系式 (524)又稱為衍射反比律，它包含著深刻的物理意義。首先，它反映了障礙物與光波之間限制和擴(kuò)展的辨證關(guān)系，限制范圍越緊，擴(kuò)展現(xiàn)象愈顯著，在何方限制，就在該方向擴(kuò)展。 其次，它包含著放大，因?yàn)榭p寬減小，就增大，不過這不是通常的幾何放大，而是一種光學(xué)變換放大。這正是激光測徑和衍 ［例 52］波長為 m的一束平行光垂直照射在寬度為 20μ m的單縫上，透鏡焦距為 20cm，求 (1)零級夫瑯和費(fèi)衍射斑的半角寬度和線寬； (2)若縫寬縮小到 8μ m 解： (1)λ= b=20μm f=20cm 根據(jù)公式可知零級夫瑯和費(fèi)衍射斑的半角寬度 bj???? 屏上中央零級條紋的線寬度根據(jù) (521) 式得 mfl 22 ???? ?????? ? (2)若縫寬縮小，則條紋向外擴(kuò)展，條紋寬度變大，根據(jù) (519)式 ?? jb ??sin 其中 b′ =8μ m λ= j=3 r in 39。339。3 ???? ?? cmfl 39。3/3 ???? ? 167。 5 人眼的瞳孔和大多數(shù)光學(xué)儀器中的透鏡都是圓形邊緣的，所以研究夫瑯和費(fèi) 在圓孔衍射的裝置中，用激光作光源，平行光束垂直通過半徑為 R 的圓孔光闌，在屏后透鏡 L 圖 517圓孔衍射的光強(qiáng) 分布為一階貝塞爾函數(shù)，其公式為 ? ?20 2 ??????? mmJII p (525) 其中 m=(π Rsinθ )/ 以 m/π為橫坐標(biāo)，以 I/I0為縱坐標(biāo)，則 (525)式可繪成圖 518 所示的曲線。 定性地分析圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射的圖樣，它是由中心亮斑和外圍一些同心亮環(huán)組成。衍射場中絕大部分能量集中在零級衍射斑內(nèi)。圓孔的零級衍射斑稱為愛里斑。根據(jù) (525)式計(jì)算得，愛里斑的半角寬度為 DR ???? in 11 ??? (526) 式中 R為圓孔的半徑， D 若透鏡 L 的焦距為 f′，則愛里斑的半徑為 139。 ???? tgfl 近似可得 39。 fDl ??? (527) 分析 (527)式可以看出，愛里斑的大小與孔徑成反比。當(dāng)λ /D1時(shí)，愛里斑直徑 ［例 53 解：人的瞳孔基本上是圓孔，直徑 D在 2mm～ 8mm 之間調(diào)節(jié)，取波長λ =μ m， D=2mm，估算愛里斑 (最大 )的角半徑為 39。 4 ????? ? r adD?? 人眼基本上是球形，我們?nèi)?f=20mm，估算出視網(wǎng)膜上愛里斑的直徑 mfd ?? 142 ??? 即在 1mm2視網(wǎng)膜面元中，布滿約 5400 ［例 54］氦氖激光器的出射窗口直徑約為 1mm 解：氦氖激光器的波長為 6328oA (526)式可估算出衍射發(fā)散角39。 4 ????? ? r adD?? 如果我們在 10km 以外接收的話，這束定向光束的光斑直徑可達(dá)到 。這 167。 6 衍射光柵 一、光柵概述 任何具有空間周期性的衍射屏都可以看成衍射光柵。光柵對 光的傳播起著限制和能量重新分布的作用。在一塊光潔度很高的玻璃坯上刻上許多平行、等寬而又等距的刻痕，這就制成通常所用的光柵。一般情況下，刻痕的數(shù)目是每毫米600 條至 1000 光柵又可分為透射光柵和反射光柵兩種。反射光柵是在光潔度很高的金屬平面上刻出具有周期形狀的反射面，它是利用反射光而產(chǎn)生 光柵是一種很好的分光元件，它廣泛地應(yīng)用于分光儀器和光譜儀器中。光柵 二、實(shí)驗(yàn)裝置與衍射的強(qiáng)度分布 現(xiàn)以平面透射光柵的衍射為例，討論光柵的 衍射問題。實(shí)驗(yàn)裝置如圖 519所示，光源 S 置于透鏡 L1的前焦點(diǎn)上，用來產(chǎn)生平行光束，光束經(jīng)過透射光柵MN后會(huì)聚于 L2透鏡的后焦面上。 在透鏡 L2 我們發(fā)現(xiàn)在觀察屏的衍射花樣中出現(xiàn)了一系列光強(qiáng)極大值。它們很亮、很窄，而且彼此相隔很遠(yuǎn)。兩極大值之間有一系列極小值和次極大值。次極大值光強(qiáng)很弱，和極小值差別不甚明顯，使得兩極大值之間好似一片黑暗。若 S是線光源且 我們 也可用氦氖激光器直接照射光柵，在遠(yuǎn)處的墻上觀察光柵的衍射花樣。 設(shè)光柵上透光部分的寬度為 b，不透光部分的寬度為 a，則定義光柵常數(shù)d=a+b，光柵總縫數(shù)為 N。衍射角為θ的諸光線到達(dá) Pθ點(diǎn)之光強(qiáng)，是由每縫內(nèi)和各縫間的衍射光線疊加之結(jié)果。由單縫衍射的討論可知，每縫內(nèi)衍射光線在 Pθ點(diǎn)的振幅為 aθ=a0sinα /α，現(xiàn)在的問題是求得以等幅 aθ的 N 個(gè)縫在 Pθ處的相干疊加。因?yàn)閮上噜徔p之光程差Δ L=dsinθ，位相差為 ?? ??? 2 L，因此容易做出矢量合成圖，如圖 520 做線段 039。 NaOBN ? ,則 NOB39。 之長度就是θ =0時(shí) P0 點(diǎn)的振幅 。因?yàn)棣?=0 時(shí)每縫在 P0 點(diǎn)的振幅為 a0，且各縫位相相同，矢量相加變成各振幅矢量的首尾魚貫相接，總振幅等于 N倍的分振幅。 做折線 ,B, N2,1 ?BBO 使 0132211 , aBBBBBBOB Nn ?????? ?，且使相鄰兩折線夾角為 ???? sin2 d? ，則該折線的始端與終端連線之長度即為 Pθ點(diǎn)的振幅 Aθ。從圖 520(b) ?????????? ? nn CBBCBBO C B 1211 , ?NOCBN ?? 2sin2sin2sin22sin2??????NaOBNOCOBaOCNn??? 令 ????? sin2 d??? ，則有 ??? ????? s i ns i ns i ns i ns i n 0 NaNaA ??? 2220 )s ins in()s in( ??? ?? NaI ?? (528) . 式中 sinα /α稱為單縫衍射因子， sinNβ /sin 1. 當(dāng)β =177。 jπ時(shí)，多縫干涉因子 sinNβ /sinβ =N，光強(qiáng)取得主極大值。即當(dāng) ????? jd ???? sin ?? jd ??sin j=0,1,2,… (529) 由 (529)式可知，光強(qiáng)主極大的位置與縫數(shù) N 無關(guān)。光柵實(shí)驗(yàn)顯示當(dāng)光柵的sinNβ／ simβ =N 時(shí) (528)式變?yōu)?2220 )sin( NaI ?? ??? 縫數(shù)為 N 的光柵其衍射光強(qiáng)主極大處的振幅是單縫衍射在該方向振幅的 N倍，光強(qiáng)為 N 當(dāng) j=0 時(shí)，θ =0，是中央主極 大的位置。因?yàn)檫@也是單縫衍射的中央主極大值的位置，因此θ =0 是中央主極大值的充分必要條件。但其它主極大值不一定存在。若某一級多縫干涉主極大值恰好與單縫衍射極小值重合，則該主極大不存 2. 由單縫衍射因子，當(dāng)α =177。 kπ時(shí)， sinα /α =0，即由 ?? kb ??sin k=1,2,3,? (530) 由多縫干涉因子，當(dāng)β≠177。 jπ而 Nβ為π的整數(shù)倍時(shí)， sinNβ /sinβ =0，則極小值的位置在 ?? ?????? ?? Nmj 即 ?? ?????? ??? Nmjd sin (531) 其中 j=0， 1， 2，? m=1,2,?， N1 這時(shí)相鄰兩個(gè)極小值之間的位相差，即從第一極小值到第 N1個(gè)極小值之位相差 由式 (531)可看出，相鄰兩主極大值之間有 N1 個(gè)極小值，有 N2 個(gè)次極大值。但次極大值的強(qiáng)度甚小，除理論研究外，無實(shí)際意義。 現(xiàn)在 N=5， d=3b 為例 ，作平面光柵衍射花樣的光強(qiáng)分布曲線。首先平面光柵上任何一條縫單獨(dú)作用時(shí)，在屏幕上得到如圖 521(a)所示的單縫衍射因子的曲線，當(dāng)多縫相互作用 (干涉 )時(shí)，即得到多縫干涉因子的曲線，如圖 521(b)所示。由于 d=3b，使得兩條曲線的橫坐標(biāo)具有確定的對應(yīng)關(guān)系。另外要注意，所有單縫衍射圖樣相互重疊。這兩條曲線相合成，就得到光強(qiáng)分布曲線 (c) 3. 光強(qiáng)主極大值的寬度