[名師]丘成桐：數(shù)學和中國文學的比較(編輯修改稿)
2025-10-10 09:53 本頁面
【文章內容簡介】 空間，得到一些漂亮的猜測，我認為曲率的正或負可以作為復結構的指向，這個看法影響至今，可以溯源到十九世紀和二十世紀初期曲率和保角映像關系的研究。 事實上，愛因斯坦的廣義相對論也是對比各種不同的學問而創(chuàng)造成功的，它是科學史上最偉大的構思，可以說是驚天地而泣鬼神的工作。它統(tǒng)一了古典的引力理論和狹義相對論。愛氏花了十年功夫，基于等價原理，比較了各種描述引力場的方法，巧妙地用幾何張量來表達了引力場，將時空觀念全盤翻 新。 同文學極為相似的是，從局部結構發(fā)展到大范圍的結構也是近代數(shù)學發(fā)展的過程，往往通過比興的手法來處理。幾何學和數(shù)論都有這一段歷史，代數(shù)幾何學家在研究奇異點時通過爆炸的手段，有如將整個世界濃縮在一點。微分幾何和廣義相對論所見到的奇異點比代數(shù)流形復雜，但是也希望從局部開始，逐漸了解整體結構。數(shù)論專家研究局部結構時則通過素數(shù)的模方法，將算術流形變成有限域上的幾何，然后和大范圍的算術幾何對比，得出豐富的結果。 由于文學家對事物有不同的感受，同一事或同一物可以產(chǎn)生不同的吟詠。對事物有不同的感受后，往往通 過比興的方法另有所指，例如 “美人 ”有多重意思，除了指美麗的女子外，也可以指君主，屈原《九章》： “結微情以陳詞兮，矯以遺夫美人。 ”也可以指品德美好的人，《詩經(jīng) 邶風》： “云誰之思，西方美人。 ”蘇軾《赤壁賦》： “望美人兮天一方。 ” 數(shù)學家對某些重要的定理，也會提出很多不同的證明。例如勾股定理的不同證明有十個以上，等周不等式亦有五六個證明，高斯則給出數(shù)論對偶定律六個不同的看法。不同的證明讓我們以不同的角度去理解同一個事實，往往引導出數(shù)學上不同的發(fā)展。 記得三十年前我 利用分析的方法來證明完備而非緊致的正曲率空間有無窮大體積后，幾何學家 Gromov 開始時不相信這個證明，以后他找出我證明方法的幾何直觀意義后，發(fā)展出他的幾何理論，這兩個不同觀念都有它們的重要性。 對空間中的曲面，微分幾何學家會問它的曲率如何，有些分析學家希望沿著曲率方向來推動它一下看看有甚么變化，代數(shù)幾何學家可以考慮它可否用多項式來表示，數(shù)論學家會問上面有沒有整數(shù)格點。這種種主觀的感受由我們的修養(yǎng)來主導。 三、數(shù)學的品評與演化 江山代有人才，能夠帶領我們進入新的境界的都是好的數(shù)學。 好 的工作應當是文已盡而意有余，大部分數(shù)學文章質木無文，流俗所好，不過兩三年耳。但是有創(chuàng)意的文章，未必為時所好，往往十數(shù)年后始見其功。 我曾經(jīng)用一個嶄新的方法去研究調和函數(shù)，以后和幾個朋友一同改進了這個方法，成為熱方程的一個重要工具。開始時沒有得到別人的贊賞，直到最近五年大家才領會到它的潛力。然而我們還是鍥而不舍地去研究，覺得意猶未盡。 數(shù)學華麗的作品可從泛函分析這種比較廣泛的學問中找到，雖然有其美麗和重要性，但與自然之道總是隔了一層。舉例來說，從函數(shù)空間抽象出來的一個重要概念叫做巴拿赫空間，在微分 方程學有很重要的功用，但是以后很多數(shù)學家為了研究這種空間而不斷推廣，例如有界算子是否存在不變空間的問題，確是漂亮，但在數(shù)學大流上卻未有激起任何波瀾。 能經(jīng)得起時間考驗的工作寥寥無幾，政府評審人才應當以此為首選。歷年來以文章篇數(shù)和被引用多寡來做指針
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