1672構(gòu)造法(編輯修改稿)
2024-10-10 09:50 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 AB，且 AC與 BD 方向相反，取 AC=1，BD=4，點 M 在 AB 上運動 (如圖 5— 9)．設 AM=x， BM=y， +MD 取最小值．由△ ACM∽△ BDM，得： x∶ y=1∶ 4． 于是所求最小值為 13． 例 8 若 x＞ 0， y＞ 0， z＞ 0，求證： 這是一個代數(shù)不等式的證明問題，直接用代數(shù)方法相當繁雜，但是，考慮到 x、 y、 z 均為正數(shù)， xy=2xycos60176。，則可構(gòu)造四面體 O— ABC，如圖 5— 10，使∠ AOB=∠ BOC=∠ COA=60176。．設 OA=x， OB=y， 故原不等式成立． 這種構(gòu)造的重要之點在于，善于發(fā)掘題設條件中的幾何意義，從而構(gòu)造出幾何圖形，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決． 例 9 利 (Morley)定理的構(gòu)造證法． 定理：將任意三角形的各角三等分，則與每邊相鄰的兩條三等分線的交點構(gòu)成一個正三角形． 證：如圖 5— 11，設 AD、 AE、 BE、 BF、 CF、 CD都是三角形 ABC 的內(nèi)角三等分線．要證明△ DEF 為正三角形，可以先作正△ D′ E′ F′、分別以△ D′ E′ F′的三邊為邊向外側(cè)作△ A′ D′ E′，△ B′ E′ F′，△ C′ F′D′，使 連 A′ B′ C′得△ A′ B′ C′，過 F′作 MN∥ D′ E′ (如圖 5— 12)． 因此 MF′ =F′ N，且 △ B′ MF′∽△ F′ NC′， 于是△ B′ F′ C′∽△ F′ NC′． ∴∠ A′ B′ C′ =∠ B，∠ A′ C′ B′ =∠ C． △ ABC∽△ A′ B′ C′， 從而△ DEF∽ △ D′ E′ F′． 故△ DEF 為正三角形． 四、構(gòu)造結(jié)論法 構(gòu)造結(jié)論法，就是按照命題的條件和要求構(gòu)造出符合結(jié)論的數(shù)學對象，從而斷定命題正確性的證題方法．有些數(shù)學命題是斷言存在著具有某種性質(zhì)的數(shù)學對象，或者是斷言某種數(shù)學對象具有某種特定的性質(zhì)，對于這種類型的數(shù)學命題，證明的關(guān)鍵往往是構(gòu)造出符合要求的數(shù)學對象，用構(gòu)造結(jié)論的辦法對數(shù)學命題作出證明，稱為“構(gòu)造性證明”． 例 10 求證：對于定義域包含于實數(shù)集且關(guān)于原點對稱的任意實函數(shù)f(x)，都可以表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和． 證：若 f(x)本身就是一個奇函數(shù)，則令 f(x)=f(x)+0 g(x)；若 f(x)本身就是一個偶函數(shù)，則令 f(x)=f(x)+0 h(x)，其中 g(x)， h(x)分別是與 f(x)定義域相同的偶函數(shù)、奇函數(shù)．即知命題正確．
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