【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 == 拆補(bǔ)放縮法在證有些不等式的時(shí)候，常將其中某些項(xiàng)拆開和或合并以完成證明。 例 2：求證： 證明： 編組放縮法證明不等式有時(shí)把某項(xiàng)拆開，重新編組，利用基本不等式完成證明。 例 3：求證 :.證明：左 尋找“中介量”放縮法當(dāng)兩式難以比較大小時(shí)，可尋找“中介量”牽線搭橋，利用不等式的傳遞性完成證明。 例 4：求證： 證明： 小結(jié) :放縮法是不等式證明中常見的變形方法之一，具有較高的技巧性。放縮必須有目標(biāo)，而且要恰到 好處，需要細(xì)心觀察，目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論中尋找。 3 反正法證明不等式 反證法定義“證明某個(gè)命題時(shí)，先假設(shè)它的結(jié)論的否定成立，然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，根據(jù)命題的條件和已知的真命題，經(jīng)過(guò)推理，得出與已知事實(shí)（條件、公理、定義、定理、法則、公式等）相矛盾的結(jié)果．這樣，就證明了結(jié)論的否定不成立，從而間接地肯定了原命題的結(jié)論成立” .這種證明的方法，叫做反證法． 反證法步驟 假設(shè)命題的結(jié)論不成立； 從這個(gè)結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾； 由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論 正確，即：提出假設(shè) —— 推出矛盾 —— 肯定結(jié)論．例 5：已知：都是小于 1的正數(shù)； 求證：中至少有一個(gè)不大于。 分析 ：采用反證法證明．其證明思路是否定結(jié)論從而導(dǎo)出與已知或定理的矛盾從而證明假設(shè)不成立，而原命題成立．對(duì)題中“至少有一個(gè)不大于”的否命題是“全都大于”。 證明：假設(shè)都是小于 1 的正數(shù)又故與上式矛盾，假設(shè)不成立，原命題正確說(shuō)明： 反證法是利用互為逆否命題具有等價(jià)性的思想進(jìn)行推證的．反證法必須羅列各種與原命題相異的結(jié)論，缺少任何一種可能，則反證都是不完全的，遇到“至少”、“至多”、“唯一”等字句的命題常用反證法．例 6：若，求證： 證明：假設(shè)，則，即。 因?yàn)?，所以故又即所以故與假設(shè)不成立，原命題正確。 總結(jié)：反證法是根據(jù)“正難則反”的原理，即如果正面證明有困難時(shí)，或者直接證明需要分多種情況而反面只有一種情況時(shí)，可以考慮用反證法。反證法不僅在幾何中有著廣泛的應(yīng)用，而且在代數(shù)中也經(jīng)常出現(xiàn)。用反證法證明不等式就 是最好的應(yīng)用 4．換元法證明不等式 利用對(duì)稱性換元，化繁為簡(jiǎn)例 7:設(shè)求證 :.分析 :把中的兩個(gè)互換 ,不等式不變 ,所以這是一個(gè)對(duì)稱不等式 ,令則原不等式等價(jià)于： .證明 :令 ,則 ,.時(shí) ,有； 當(dāng)時(shí) ,有 (否則中必有兩個(gè)不為正值 ,不妨設(shè) ,則 ,這與矛盾 ),因此 ,綜上所述 ,把代入上式得 : 三角換元法三角換元法的基本思想是根據(jù)已知條件，引進(jìn)新的變量 三角函數(shù)，把一個(gè)復(fù)雜的不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角不等式的問(wèn)題，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)及三角恒等式去證明，從而使不等式得證。 例 8：已知，求證分析：由 已知，令，則證明：令，說(shuō)明 :換元法是將較為復(fù)雜的不等式利用等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想轉(zhuǎn)換成易證明的不等式．常用的換元法有 (1)若，可設(shè)，； (2)若，可設(shè)； (3)若，可設(shè)。 和差換元法在題中有兩個(gè)變量，可設(shè)，這稱為和差換元法，換元后有可能簡(jiǎn)化代數(shù)式。 例 9:對(duì)任意實(shí)數(shù)，求證： 分析：對(duì)于任意實(shí)數(shù)與，都有。令，則有。 證明：設(shè)，下面只須證： ∵不等式右邊 — 不等式左邊 =∴即說(shuō)明：利用“和差換元”可以簡(jiǎn)證難度較大的不等式 . 分式換元法例 10：已知分析：本題的證明方法很多，下面我們利用分式換元來(lái)進(jìn)行證明證明：設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)說(shuō)明：不等式的證明中，我們知道證明不等式時(shí)，可以利用分式換元，使其分式結(jié)構(gòu)變得簡(jiǎn)單，分母變?yōu)閱雾?xiàng)式，然后把逐項(xiàng)分離，便于利用均值不等式。 5．綜合法證明不等式 綜合法證明不等式的依據(jù)（ 1）已知條件和不等式性質(zhì)； （ 2）基本不等式： “＝”號(hào)）． 用綜合法證明不等式的應(yīng)用例 11：已知是不全等的正 數(shù)，求證： ．分析：觀察題目，我們很容易想到利用性質(zhì)．證明：，①同理可得： ②③是不全等的正數(shù)，①，② ,③至少有一個(gè)不等式不能取等號(hào)①+② +③ 綜合法與比較法的內(nèi)在聯(lián)系由于作為綜合法證明依據(jù)的不等式本身是可以根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法證出的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法來(lái)證明； 擺在我們面前的問(wèn)題恐怕是方法的選擇．方法選擇不當(dāng)，不是證不出來(lái)就是難度加大； 方法合理使用，會(huì)使題目難度大大下降．因此我們不要學(xué)過(guò)某種方法就抱定不放， 要善于觀察，根據(jù)題目的特征選擇證題方法。 分析法的定義從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題。如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種證明方法叫做分析法。 分析法證明不等式的方法與步驟用分析法論證“若 A則 B”這個(gè)命題的格式是： 欲證命題 B為真，只需證命題 B1 為真，只需證命題 B2 為真，??只需證命題 Bn 為真，只需證命題 A為真，令已知命題 A 為真，故命題B 為真。 分析 法證明不等式的應(yīng)用例 12：若，求證： 分析： 采用分析法證明．證明： 原不等式成立。 說(shuō)明：從這道題目我們不難看出“分析法”的證明格式，是用“”符號(hào)，不斷用充分條件代替前面的不等式 綜合法與分析法的綜合應(yīng)用條件和結(jié)論之間的關(guān)系比較復(fù)雜 ,根據(jù)既定法則和事實(shí)條件 ,由因?qū)Ч?,一直推究下去 ,有時(shí)會(huì)在中途迷失方向 ,使解題無(wú)法進(jìn)行下去 .在這種情況下 ,可以同時(shí)運(yùn)用綜合法與分析法的解題方法 ,執(zhí)行 .例 13： 若是不全相等的正數(shù)，求證。 分析：利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)，所要證的不等式等 價(jià)于，所以只要證，于是我們可以利用不等式的性質(zhì)：即可得證。 證明： ，，且這三個(gè)不等式的等號(hào)不能同時(shí)成立（它們是 3 個(gè)不全等的正數(shù)）說(shuō)明：分析法和綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面．在這道題目中，前面是分析法，后面是綜合法，兩種方法結(jié)合使用，使問(wèn)題較易解決．分析法的證明過(guò)程恰恰是綜合法的分析、思考過(guò)程，綜合法的證明方法是分析思考過(guò)程的逆推。 7．構(gòu)造法證明不等式構(gòu)造法作為一種數(shù)學(xué)思維方法，在解題過(guò)程中通過(guò)觀察分析給出式和欲證式，充分挖掘題目的隱含信息，并進(jìn)行聯(lián)想與思考，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造出一個(gè)與題目 相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，將欲證的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到我們所熟悉的情景之中，從而達(dá)到證題的目的，這是構(gòu)造法證題的解題模式。本文以證明不等式為例，介紹幾種常見的構(gòu)造法。 構(gòu)造函數(shù)模型我們常常利用一次函數(shù)的線性性質(zhì)、二次函數(shù)的最值以及函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)證明某些不等式問(wèn)題。在證明不等式時(shí)，抓住不等式與函數(shù)的密切關(guān)系，以問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征為起點(diǎn)，構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)，從函數(shù)的思想和方法來(lái)解決問(wèn)題。 例 14：已知 :求證 :證明 :構(gòu)造函數(shù) ,此圖象為一條直線 .∵∴又例15:已知都是正數(shù) ,； 求證證明 :在 (0,1)上的值域?yàn)樗?以 ,. 構(gòu)造數(shù)列模型對(duì)于某些自然數(shù)的不等式問(wèn)題，與數(shù)列有著密切的聯(lián)系，這時(shí)可構(gòu)造有關(guān)數(shù)列模型，利用其單調(diào)性解決。 例 16： 求證： 證明 :構(gòu)造數(shù)列模型則有，所以數(shù)列為遞增數(shù)列。 又因?yàn)?，故即原不等式得證。 總結(jié)：欲證含有與自然數(shù)有關(guān)的和的不等式，可以構(gòu)造函數(shù)模型，只需證明數(shù)列是單調(diào)遞增，且。另外，本題也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，但是構(gòu)造數(shù)列模型證明簡(jiǎn)潔。 8．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明不等式說(shuō)明數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。主要有兩個(gè)步驟一個(gè)結(jié)論： （ 1）證明當(dāng) n ?。ㄈ?=1 或 2 等）時(shí)結(jié)論正確（ 2）假設(shè) n=k（ k）時(shí)結(jié)論正確，證明 n=k+1 時(shí)結(jié)論也正確由（ 1）、（ 2）得出結(jié)論正確。因此，熟悉歸納步驟的證明方法是十分重要的其實(shí)歸納步驟可以看作是一個(gè)獨(dú)立的證明問(wèn)題，歸納假設(shè)“ P（ k）成立”是問(wèn)題的條件而“命題 P（ k+1）成立”就是所要證明的結(jié)論，因此，合理運(yùn)用歸納假設(shè)這一條件就成了歸納步驟中的關(guān)鍵，下面簡(jiǎn)要分析用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式常涉及的方法。 分析綜合法例 17：求證： 證明：（ 1）當(dāng)（ 2）假設(shè)即有： 時(shí)： 因此，要證明當(dāng)時(shí)，原不等式成立，只要證明成立即證明也就是證明即從而于是當(dāng)時(shí)，原不等式也成立。 由（ 1）、（ 2）可知，對(duì)于任意的正整數(shù)，原不等式都成立。 放縮法例 18：求證： 證明：（ 1）當(dāng)時(shí)，不等式成立。 （ 2）假設(shè)當(dāng)時(shí)所以當(dāng)時(shí)，不等式成立由（ 1）、（ 2）可知， 推法例 19：設(shè)，定義，求證：對(duì)一切有證明：（ 1）當(dāng)，顯然命題成立（ 2）假設(shè)，命題成立，即當(dāng)時(shí)，由遞推公式，知同時(shí)，當(dāng)時(shí)，命題也成立。 即由（ 1）、（ 2）可知，對(duì)一切正整數(shù) n，有說(shuō)明：證明不等式的題型多種多樣，所以不等式證明是一個(gè)難點(diǎn)，在由 n=k成立，推導(dǎo) n=k+1不等式也成立時(shí)，過(guò)去講的證明不等式的方法再次都可以使用，如比較法、放縮法、分析法、反證法等，有時(shí)還要考證與原不等式的等價(jià)的命題． 一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)的根、解集、函數(shù)的性質(zhì)等特征確定出其判別式所應(yīng)滿足的不等式，從而推出欲證的不等式的方法。 二次函數(shù)若判別式恒成立。 例 20：已知，求證： 證明：令 恒成立說(shuō)明：用判別式法證不等式關(guān)鍵在于構(gòu)造二次函數(shù) ，操作簡(jiǎn)單，使用方便。 ，看似簡(jiǎn)單，但是我們無(wú)從下手，幾種常用的方法都一一嘗試，卻沒有任何作用。這時(shí)我們不妨從已有的知識(shí)下手，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)來(lái)確定單調(diào)性，利用單調(diào)性實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明。 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的步驟：構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù) —— 研究單調(diào)性或最值 —— 得出不等式關(guān)系 —— 整理得出結(jié)論。 利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式例 20：當(dāng)時(shí)，證明不等式成立。 證明：設(shè)內(nèi)單調(diào)遞減成立說(shuō)明：一般地：證明，可以構(gòu)造函數(shù)，如果， 則是減函數(shù)，同時(shí)若，由減函數(shù)的定義可知，時(shí)，有，即證明。 例 21：求證：，其中證明：設(shè)，則在單調(diào)遞增，又故，成立。 說(shuō)明：一般地：證明，可以構(gòu)造函數(shù)如果，則是減函數(shù)，同時(shí)若，由減函數(shù)的定義可知，時(shí)，有，即證明。 利用極值（或最值）例 22：對(duì)任意實(shí)數(shù) x,證明不等式總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明不等式是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個(gè)重要方面，也是考試的一個(gè)熱點(diǎn)，其關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，判段區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值與 0 的關(guān)系，其實(shí)質(zhì)就是利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性及其極值（或最值），從而證明不等式。 11 比 較法證明不等式 差值比較法差值比較法：欲證 AB，只需證 AB0。把不等式的兩邊相減，轉(zhuǎn)化為不等式的差值與 0 的大小的問(wèn)題。 差值比較法的步驟：“做差 — 變形 — 判斷符號(hào)”，為了便于判斷符號(hào)，我們往往把其差值轉(zhuǎn)化為積的形式和完全平方的形式。 例 23：已知 :，都是正數(shù)，（并且≠）求證，分析：要證，只需證明（作差）。再對(duì)其差值做出變形：（因式分解），再運(yùn)用已知條件 a,b∈ R+，且 a≠ b，可把問(wèn)題解決。 證明： ==又，都是正數(shù)（并且≠）此題是不等式的典型的題目：其拆項(xiàng)也是有一定得技巧，需要一 定的觀察能力。 ：“若”。 商值比較法步驟為：①作商：將左右兩端作商； ②變形：化簡(jiǎn)商式到最簡(jiǎn)形式； ③判斷商與 1的大小關(guān)系，就是判定商大于 1或小于 1。 例 24：已知，求證。 分析：發(fā)現(xiàn)做差變形后，很難比較其符號(hào)的大小。再看不等式的兩邊都是正數(shù)，可以利用商值法來(lái)與 1進(jìn)行比較。 證明： ①，則②，則綜上所述： 比較法的應(yīng)用范圍差值比較法應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí)一般使用差值比較法商值比較法應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時(shí)，一般使用商值比較法。 12 結(jié)束語(yǔ)： 眾所周知 ,在中學(xué)不等式的證明以其變形復(fù)雜、方法多樣成為學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。本文通過(guò)闡述中學(xué)幾種常用方法，以及相應(yīng)的一些例題來(lái)培養(yǎng)大家對(duì)數(shù)學(xué)式的變形的能力，邏輯思維能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。 參考文獻(xiàn)《機(jī)關(guān)公文常用詞句集錦》一一 常用排比： 新水平、新境界、新舉措、新發(fā)展、新 突破、新成績(jī)、新成效、新方法、新成果、新形勢(shì)、新要求、新期待、新關(guān)系、新體制、新機(jī)制、新知識(shí)、新本領(lǐng)、新進(jìn)展、新實(shí)踐、新風(fēng)貌、新事物、新高度； 重要性，緊迫性，自覺性、主動(dòng)性、堅(jiān)定性、民族性、時(shí)代性、實(shí)踐性、針對(duì)性、全局性、前瞻性、戰(zhàn)略性、積極性、創(chuàng)造性、長(zhǎng)期性、復(fù)雜性、艱巨性、可講性、鼓動(dòng)性、計(jì)劃性、敏銳性、有效性； 法制化、規(guī)范化、制度化、程序化、集約化、正常化、有序化、智能化、優(yōu)質(zhì)化、常態(tài)化、科學(xué)化、年輕化、知識(shí)化、專業(yè)化、系統(tǒng)性、時(shí)效性； 熱心、耐心、誠(chéng)心、決心、紅心、真心、 公心、柔心、鐵心、上心、用心、痛心、童心、好心、專心、壞心、愛心、良心、關(guān)心、核心、內(nèi)心、外心、中心、忠心、衷心、甘心、攻心； 政治意識(shí)、政權(quán)意識(shí)、大局意識(shí)、憂患意識(shí)、責(zé)任意識(shí)、法律意識(shí)、廉潔意識(shí)、學(xué)習(xí)意識(shí)、上進(jìn)意識(shí)、管理意識(shí)； 出發(fā)點(diǎn)、切入點(diǎn)、落腳點(diǎn)、著眼點(diǎn)、結(jié)合點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)、著重點(diǎn)、著力點(diǎn)、根本點(diǎn)、支撐點(diǎn)； 活動(dòng)力、控制力、影響力、創(chuàng)造力、凝聚力、戰(zhàn)斗力； 找準(zhǔn)出發(fā)點(diǎn)、把握切入點(diǎn)、明確落腳點(diǎn)、找準(zhǔn)落腳點(diǎn)、抓住切入點(diǎn)、把握著重點(diǎn)、找準(zhǔn)切入點(diǎn)、把握著力點(diǎn)、抓好落腳點(diǎn)； 必將激發(fā)巨大熱情，凝聚無(wú)窮力量，催生豐碩成果，展現(xiàn)全新魅力。 審判工作有新水平、隊(duì)伍建設(shè)有新境界、廉政建設(shè)有新