【文章內(nèi)容簡介】 提出的數(shù)學(xué)問題提出大膽的質(zhì)疑。 教之道在于“導(dǎo)”。新的 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)是在“以學(xué)生發(fā)展為本”的理念下，要求教師轉(zhuǎn)變課堂教學(xué)方法，從而要求學(xué)生也轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，師生之間要多開展討論，交流，探究，學(xué)生原本是有思想的，課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)是鮮活的，作為教師 課堂教學(xué)的掌舵人，要學(xué)會“導(dǎo)”。在教學(xué)設(shè)計(jì)時，首先注意到了兩個支點(diǎn)的支撐必不可少，不僅要對“知識生成過程”進(jìn)行整合，凝縮，拓廣，而更應(yīng)對學(xué)生的思維方式進(jìn)行梳理，使學(xué)生的思維能感悟，升華出“問題”的本質(zhì) ，也就是說，既要得到“魚”，更要學(xué)會“漁”，否則學(xué)生只獲得了知識，技能，技巧，只能解決一個個孤立的數(shù)學(xué)問題，而不能獲得問 題解決的本質(zhì)（數(shù)學(xué)思想方法與策略），更不能獲得一般的數(shù)學(xué)研究方法（模型的應(yīng)用），其次，在課堂上，要敢花時間，有耐心地引導(dǎo)學(xué)生的思維進(jìn)行探究活動，切實(shí)體驗(yàn)數(shù)學(xué)問題的解決和創(chuàng)造的歷程， 第 11 頁 共 32 頁 達(dá)到“悟道”與反思后的升華，并最終推進(jìn)學(xué)生思維的螺旋上升，這里面都與教師課堂教學(xué)中的點(diǎn)撥、啟發(fā)“導(dǎo)藝術(shù)”息息相關(guān)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不能單靠簡單的模仿與“對號入座”的練習(xí)，沒有兩個支點(diǎn)作支撐，沒有學(xué)生思維的螺旋上升，要想取得“雙基”與“創(chuàng)新”雙贏的局面，只能是“水中月”，“鏡中花”，可望而不可及！ 鏈接 45： 楊輝三角的 類比推理教學(xué)案例 【課本練習(xí)題預(yù)熱】：觀察下面的“三角陣”，試找出相鄰兩行數(shù)之間的關(guān)系。 師 ：如果把它的結(jié)構(gòu)改為如右上圖排列，請問它有哪些規(guī)律？ 生 1：每行的數(shù)構(gòu)成公差為 1的等差數(shù)列，第一行一個數(shù)， 第二行兩個數(shù)，（停頓）并且數(shù)陣呈直角三角形，自上而下數(shù)字越來越大。 師 ：同學(xué)們，你們最關(guān)心這個數(shù)陣會求哪些問題？ 生 2：第 n 行的第一個數(shù)是多少？最后一個數(shù)又是多少？ 生 3：第 n 行的各數(shù)之和是多少？前 n 行的各數(shù)之和是多少？ 師 ：要解決這些問題的關(guān)鍵是什么呢？【過了兩分鐘左右的時間】 生 4：抓住數(shù)列的通項(xiàng)公式來解決，【上黑板寫出】滿足 *1 1 ( 2 , )nna a n n n N?? ? ? ? ? 利用疊加法即可求得 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( )( 1 )( 1 ) ( 2 ) 1 1 12n n n n na a a a a a a annnn? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?… …… … 從而得到第 n 行最后一個數(shù)為 2 )1(1 ???? nnnan。 師 ：很好！還有其它不一樣的方法嗎？ 【這里放手讓學(xué)生探索解決問題的方法，讓學(xué)生自己糾正，調(diào)整解題思路，教師只要在一旁及時點(diǎn)撥即可】 生 5：也可以先求第 n 行最后一個數(shù)，再求第 n 行第一個數(shù)，因?yàn)榈?n 行最后一個數(shù)即為前 n 行數(shù)字個數(shù)之和 ,2 )1(321 ?????? nnn? 從而得到第 n 行首位數(shù)為 ,12 )1( ??? nnn 也可由第 1?n 行最后一個數(shù)加 1得到。 生 6：我 認(rèn)為沒有必要，只要知道末位數(shù)（或首位數(shù)）和項(xiàng)數(shù) n 即可求得第 n 行各數(shù)之和 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ???????? 1 10 45?? 45 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ?????? 第 12 頁 共 32 頁 （ 1,1） （ 1,2）（ 2,1） （ 1,3）（ 2,2）（ 3,1） （ 1,4）（ 2,3）（ 3,2）（ 4,1） ??????????? .2 )1()1(2 )1(2 )1( 2 ??????? nnnnnnn 【也在黑板上寫出】 師 ：嗯，很不錯，很靈活！那如何求第 2020行的第 100個數(shù)呢？ 生 6：只要知道第 2020行的第一個數(shù) 12 20202020 ?? 再加 99即可。 師 ：那 2020位于第幾行的第幾個數(shù)？ 生 6：當(dāng) 63?n 時， ( 1) 63 64 ,22nn??? 得 2020位于第 63行倒數(shù)第 8個數(shù)。 【至此，課堂中各種涉及到的問題，那些思維快、基礎(chǔ)好的學(xué)生可以帶動思維慢、基礎(chǔ)差的學(xué)生，創(chuàng)造良好的課堂學(xué)習(xí)氛圍，使學(xué)生的思維更加活躍，探索熱情更加高漲?！? 師 ：我們來簡單小結(jié)一下，解決“三角數(shù)陣”問題的關(guān)鍵是什么？歸根結(jié)底，解決問題 的本質(zhì)是什么？ 生 7：注意數(shù)陣中數(shù)的排列規(guī)律，各行、各列所構(gòu)成數(shù)列的特征，以及行與行，列與列之間的聯(lián)系。 生 8：我認(rèn)為關(guān)鍵是充分挖掘數(shù)陣所提供的信息，通過觀察，分析，歸納，猜想轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的求通項(xiàng)，求和問題。 師 ：到底是不是這樣呢？下面，我們改變一下“三角數(shù)陣” 的排列規(guī)律，在由如圖所示實(shí)數(shù)對組成的序列 )1,4(),2,3(),3,2(),4,1(),1,3(),2,2(),3,1(),1,2(),2,1(),1,1( 中，規(guī)律是什么？ 生 9：兩數(shù)之和相等的“實(shí)數(shù)對”放在同一行，且他們的和比行數(shù)大 1. 生 10：每行的“實(shí)數(shù)對”的 個數(shù)分別為 ,3,2,1 n? 實(shí)數(shù)對的第一個數(shù)與它所在的列數(shù)相同。 師 ：那第 2020個數(shù)對是什么？ 生 11：第 2020個數(shù)對位于第 63 行的第 56個數(shù)位置上，即數(shù)對為（ 56， 8）。 【到了這里，學(xué)生通過類比，數(shù)形結(jié)合，借助于數(shù)陣的直觀，從一維數(shù)陣推廣到二維數(shù)陣，已經(jīng)接近“水到渠成”的境地了。教師接下來的事，就是將學(xué)生的思維不斷地引入深入，挖掘出解決問題的“模型”?！? 師 ：將集合 ? ?Ztststs ???? ,0|22 所有元素按從小到大的順序排成如圖所示的三角形數(shù)陣，那么第 2020個數(shù)是多少？ 生 12：【上黑板寫出】把數(shù)陣中各數(shù)寫成 ts 22? 的形式， 便于尋找規(guī)律： 01 22? 02 22? 12 22? 03 22? 13 22? 23 22? 04 22? 14 22? 24 22? 34 22? 3 5 6 9 10 12 17 18 20 24 ?????? 第 13 頁 共 32 頁 …… …… …… …… …… …… …… …… 如果把指數(shù)抽出來，構(gòu)成數(shù)對，可以寫成 從而得到第 2020個數(shù)在數(shù)對陣中位于第 63行第 56列，對應(yīng)的指數(shù)為（ 63， 55），所以第 2020個數(shù)為 .22 5563? 【這是班里數(shù)學(xué)成績比較好的一個學(xué)生，由此可見，我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)只要把學(xué)生的思維活動放在主體地位，放手讓學(xué)生探究，教師點(diǎn)撥，啟發(fā)，引導(dǎo)為輔，加強(qiáng)師生互動，努力讓學(xué)生走在探究的前頭，多角度，多渠道，縱向稍挖深度，橫向廣取聯(lián)系，突破難點(diǎn)，不斷鼓勵學(xué)生去超越別人“未曾走過的路”， 而不是停留在口頭與口號上。】 師： 至此，我們借鑒高一學(xué)過解函數(shù)應(yīng)用題的一般模式，給出解“三角數(shù)陣”的一般模式（水到渠成的意境）： 這樣的探索過程不僅是對學(xué)生思維能力的加強(qiáng)與鞏固訓(xùn)練，且思維力度呈螺旋上升態(tài)勢，同時對學(xué)生深刻認(rèn)識歸納推理的抽象度（即一般化的程度）也很有幫助。 自探 解數(shù)學(xué)題，即是實(shí)現(xiàn)問題條件與目標(biāo)的轉(zhuǎn)化，始終想著目標(biāo)，圍繞目標(biāo)，進(jìn)行變換，要抓住條件，緊扣目標(biāo)，廣泛聯(lián)想，全面考慮問題，注意思維的廣闊性，多角度多側(cè)面地思考問題，若從一個方面看問題思路受阻，就應(yīng)調(diào)整 觀察分析問題 的角度，從另一個側(cè)面思考問題，從不同的方向探索思路 。根據(jù)題目的難易程度把題分成三類：基礎(chǔ)題、能力題、創(chuàng)新題。三者之間的聯(lián)系如 右圖所示 ： （ 1）基礎(chǔ)試題善挖本質(zhì) 古語云：授人予魚，不如授人予漁。這句話用在高中的數(shù)學(xué)教學(xué)中是最恰當(dāng)不過的，讓學(xué)生掌握好的學(xué)習(xí)方法，學(xué)會學(xué)習(xí)才是教育教學(xué)的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)對基本概念基本思想的理解和掌握，對一些核心的概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)始終，幫助學(xué)生逐步加深理解。數(shù)學(xué)演繹推理是數(shù)學(xué)思維的基本方式，演繹推理是基于邏輯規(guī)則的推理，只要前提正確，經(jīng)任子朝老先生曾說過：“不（ 1,0） （ 2,0）（ 2,1） （ 3,0）（ 3,1）（ 3,2） （ 4,0）（ 4,2）（ 4,3）（ 4,3） ??????????? 實(shí)際問題 數(shù)學(xué)模型 可用結(jié)果 解模 第 14 頁 共 32 頁 116(x0, y0)BF39。FMA能 借口能力考查和理論聯(lián)系實(shí)際而弱化、淡化基礎(chǔ)知識、基本理論”。所以高三教學(xué)，仍以夯實(shí)基礎(chǔ)知識為首要任務(wù)。 鏈接 46：基礎(chǔ)試題問題設(shè)計(jì) 案例 1： （ 08 浙江）已知 12FF， 為橢圓 22125 9xy??的兩個焦點(diǎn)，過 1F 的直線交橢圓于 AB， 兩點(diǎn)，若2212F A FB??，則 AB? ． 問題分析： 有些同學(xué)見到求 AB的長，第一直覺就是設(shè)出直線方程，列方程組求解，由于方法的選擇不對，運(yùn)算很繁瑣，運(yùn)算量很大，最終還不一定做對，浪費(fèi)大量的精力和時間。如何透過現(xiàn)象問本質(zhì)顯得相當(dāng)重要。 問題 1： 本題考察何知識點(diǎn) 問題 2： 橢圓 如何 定義 問題 3；涉及橢圓的焦點(diǎn)問題是如何解決問題的 問題 4：問題解決；只需抓住橢圓這個模型，問題便輕松解決了。在解決這個問題的推理中，首先根據(jù)“ 12FF， 為橢圓 22125 9xy??的兩個焦點(diǎn) ， 過 1F 的直線交橢圓于 AB， 兩點(diǎn) ”構(gòu)造一個模型，畫出圖 形 。 把 AB 聚焦到 2ABF? , 根 據(jù) 橢 圓 的 定 義 得 到 ： 10,10 2112 ???? BFBFAFAF ， 從 而202112 ???? BFBFAFAF ，得到 AB= BFAF 11 ? =8。 思維障礙 分析 ： 本人開始想用利用弦長公式直接求解但考慮計(jì)算量大最終放棄。 案例 2； 拋物線 y = 4 x2 上的一點(diǎn) M 到焦點(diǎn)的距離為 1, 則點(diǎn) M 的縱坐標(biāo)是 ( ) (A) (B) (C) (D) 0 問題設(shè)計(jì)： 問題 1： 本題考察何知識點(diǎn) 問題 2： 圖形如何畫出 問題 3： 拋物線 “是什么 ”——定義 問題 4： 定直線是？ — 準(zhǔn)線 問題 5： M 與 F 距離為： MF = MB =1 問題 6： M 縱坐標(biāo)是 ? —— y0 = MA 解決問題 ： y0= MBAB= 1 思維障礙： 利用兩點(diǎn)間的距離公式直接求解 本題反思：數(shù)學(xué)演繹的推理本質(zhì)是以結(jié)論為目標(biāo)，對前提進(jìn)行模型建構(gòu)和表征，在這些模型中通過模型搜索，模型組合尋找和構(gòu)造與數(shù)學(xué)概念事實(shí)相匹配的典型模型系列，從而得出正確答案。但若1617 871615161??y?161 1615 第 15 頁 共 32 頁 知識掌握不全，基礎(chǔ)不夯實(shí)，推理無從下手，俗話說的好：熟能生巧。所以在高三的數(shù)學(xué)教學(xué)中，切忌過分的追求復(fù)習(xí)進(jìn)度或解題技巧而忽視基礎(chǔ)知識，一切好題、新題都是在基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行深化，創(chuàng)新，要嬴的高考，首先基礎(chǔ)必須挖掘問題 的本質(zhì)。 （ 2）能力創(chuàng)新試題善自問問題 學(xué)好高中數(shù)學(xué)，需要我們從數(shù)學(xué)思想與方法高度來掌握它。 常用 數(shù)學(xué)思想有：集合與對應(yīng)思想，分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)動思想，轉(zhuǎn)化思想，變換思想。有了數(shù)學(xué)思想以后，還要掌握具體的方法，如：換元、待定系數(shù)、數(shù)學(xué)歸納法、分析法、綜合法、反證法等等。解數(shù)學(xué)題時，也要注意解題思維策略問題，經(jīng)常要思考：選擇什么角度來進(jìn)入，應(yīng)遵循什么原則性的東西。高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)思維策略有：以簡馭繁、數(shù)形結(jié)合、進(jìn)退互用、化生為熟、正難則反、倒順相還、動靜轉(zhuǎn)換、分合相輔等。 ● 善于觀察 心理 學(xué)告訴我們：感覺和知覺是認(rèn)識事物的最初級形式，而觀察則是知覺的高級狀態(tài)，是一種有目的、有計(jì)劃、比較持久的知覺。觀察是認(rèn)識事物最基本的途徑，它是了解問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提。 任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對題目進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能 讓題說話，最終 確定解題思路，找到解題方法。 雖然觀察看起來是一種表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)。所以，必須重視觀察能力的訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根 據(jù)題目的 具體特征，采用特殊方法來解題。 鏈接 47：能力 創(chuàng)新 試題問題設(shè)計(jì) 案例 1： 已知 dcba , 都是實(shí)數(shù)，求證 .)()( 222222 dbcadcba ??????? 問題 1： 觀察不等式兩邊 的外表形式都與根號有關(guān)，根號的幾何背景是什么？ 問題 2： 本質(zhì)考察的能力是什么？命題者的出發(fā)點(diǎn)是什么？ 證明 不妨設(shè) ),(),( dcBbaA 如圖 1－ 2－ 1所示， 則 .)()( 22 dbcaAB ???? , 2222 dcOBbaOA ???? 在 OAB? 中，由三角形三邊之間的關(guān)系知： ABOBOA ?? 當(dāng)且僅當(dāng)