寧夏銀川二中20xx屆高三第五次月考數(shù)學(xué)試題理科(編輯修改稿)
2024-10-06 15:25 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 答方式 ． 19． （本小題滿分 12分） 已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2， AC BD O? ． 將正方形 ABCD 沿對(duì)角線BD 折起，使 AC a? ，得到三棱錐 A BCD? ，如圖所示 ． （ 1）當(dāng) 2a? 時(shí)，求證： AO BCD? 平 面 ； （ 2） 當(dāng)二面角 A BD C??的大小為 120 時(shí)，求二面角 A BC D??的正切值 ． （ 1） 證明： 根據(jù)題意，在 AOC? 中， 2??aAC ， 2?? COAO ， 所以 2 2 2A C A O C O??， 所以 COAO? .????????????????????? 2分 因?yàn)?AC BD、 是正方形 ABCD 的對(duì)角線， 所以 AO BD? ．????????????????????????????????? 3 分 因?yàn)?BD CO O? ， 所以 AO BCD? 平 面 .?????????????????? ? ??????????? 5 分 （ 2） 解法 1： 由（ 1）知， CO OD? ，如圖，以 O 為原點(diǎn)， OC ， OD 所在的直線分別為 x 軸， y 軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系 O xyz? ，???? ?????????????????? 6分 A B C D O 則有 ? ?0,0,0O ， ? ?0, 2,0D ， ? ?2,0,0C ， ? ?0, 2,0B ? ． 設(shè) ? ?00,0,A x z ? ?0 0x ? ，則 ? ?00,0,OA x z? ， ? ?0, 2,0OD ? ． 又設(shè)面 ABD 的法向量為 ? ?1 1 1,x y z?n ， 則 0,0.OAOD? ????????nn即 0 1 0 110,2 0.x x z zy???????? 所以 1 0y? ，令 10xz? ，則 10zx?? ． 所以 ? ?00,0,zx??n ． 因?yàn)槠?面 BCD 的一個(gè)法向量為 (0,0,1)?m ， 且 二面角 A BD C??的大小為 120 ， ???????????????????? ???? 8 分 所以 1c os , c os 120 2??mn ，得 2020 3xz ? ． 因?yàn)?2?OA ，所以 22020 ?? zx ． 解得 26,2200 ??? zx． 所以 26, 0,22A???????． 設(shè)平面 ABC 的法向量為 ? ?2 2 2,x y z?l ，因?yàn)?? ?26, 2 , , 2 , 2 , 022B A B C??? ? ?????， 則 0,0.BABC? ????????ll，即 2 2 222262 0 ,2 2 0 .x y zxy?? ? ? ??????? 令 2 1x? ，則 3,1 22 ??? zy ． 所以 (1, 1, 3)??l ．??????????????????????????????? 10 分 設(shè) 二面角 A BC D??的平面角為 ? ， 所以23 15c os c os ,51 1 ( 3 )? ? ? ? ???lm． 所以 6tan 3?? ． 所以 二面角 A BC D??的正切值為 63 ．???? ?????????????????? 12 分 解法 2： 折疊后在△ ABD 中， BD AO? ， A B D O H K A B C D O y x z 在△ BCD 中， BD CO? ． 所以 AOC? 是二面角 A BD C??的平面角， 即 120AOC??． 在△ AOC 中， 2?? COAO ， 所以 6AC? ． 如圖， 過(guò)點(diǎn) A 作 CO的垂線交 CO延長(zhǎng)線于點(diǎn) H ， 因?yàn)?BD CO? ， BD AO? ，且 CO AO O? ， 所以 BD? 平面 AOC ． 因?yàn)?AH?
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