【文章內(nèi)容簡介】 （ 41） 式子中 n? 和 n? 為實數(shù)，其值為： 21 1 ( )2n na?? ?? ? ? （ 42） 12 21 1 ( )2n na?? ?? ? ? ? （ 43） 當(dāng) 0n? 時， 0 0?? ，方程組（ 40）變?yōu)椋? ( ) ( ) 0( ) 0T t CT tXx?? ????? ?? ?? （ 44） 其解為： ()()TtX x x?????? ??? （ 45） 方程組（ 40）中第二個等式解為諧波方程： ( ) s i n c o sn n n nX x x x? ? ? ??? （ 46） 綜合以上各式，可求出方程（ 40）的解為： 1( , ) ( ) ( sin c os )in tn n n nnu x t x x x e?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? （ 47） 再進(jìn)過變換可得到一級桿的的情況下，抽油桿某一點的位移函數(shù)，即 Gibbs方程的解析解為： 001( , ) ( ( ) c o s ( ) s i n )22Nnnnru x t x O x n t P x n tEA?? ???? ? ? ?? 由胡克定律，抽油桿柱任意深度 x 截面上的動荷載隨時間的變化為： ( , )( , )r U x tF x t EA x?? ? 即一級桿的的情況下，抽油桿某一點的荷載函數(shù)為： 39。39。01( , ) ( ) c o s ( ) s in2NnnnF x t E A O x n t P x n tEA? ???????? ? ???????? 所以綜上所述，一級桿的情況下，抽油桿某一點的位移和荷載函數(shù)如下： （ 1）位移函數(shù)： 001( , ) ( ( ) c o s ( ) s i n )22Nnnnru x t x O x n t P x n tEA?? ???? ? ? ?? （ 48） （ 2）荷載函數(shù)： 39。39。01( , ) ( ) c o s ( ) s in2NnnnF x t E A O x n t P x n tEA? ???????? ? ???????? （ 49） 其中： 13 ( ) c osh si nh ) si n ( si nh c osh ) c os( ) ( si nh c osh ) c os ( c osh si nh ) si n( ) si nh ( ) c osh ) si nc osh ( ) si nhn n n n n n n n n nn n n n n n n n n n nnn n n n n n n nrnn n n n nrO x x x x x x xP x k x x x x x xO x x x xEAxEA? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?????? ? ?2222) c os( ) c osh ( ) si nh ) c os ( 50 )si nh ( ) c osh ) si n()()nnnn n n n n n n nrnn n n n n n nrn n n nnr n nn n n nnr n nxxP x x x xEAx x xEAkEAEA??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ????????????????????? ???? ? ? ???? ??????? ? ??????????????????? 上面各式中 : E 為鋼桿彈性模量； rA 為抽油桿柱在 x 截面處的截面積； ? 為曲柄的角速度。 多級桿情況下泵的位移和荷載計算 以上這一小節(jié)為考慮只有一級桿的時候的情況，但在實際中，抽油桿經(jīng)常包含多個尺 寸的多級桿，下面給出有多級桿的情況下，求泵的位移和荷載方程。 傅里葉系數(shù)的求解 設(shè)從懸點開始計算序號，各桿截面積分別為 12, , , mA A A ；各桿長度分別為12, , , nl l l ；各桿的直徑分別為 12, , , nd d d ；傅里葉系數(shù)為 , , ,j n j n j n j n? ? ? ?，其中 j 表示與系數(shù)有關(guān)的抽油桿段。類似的還有 39。39。( ) , ( ) , ( ) , ( )j n j j n j j n j j n jO x P x O x P x，其中左邊的腳標(biāo) j 表示與系數(shù)有關(guān)的抽油桿段（第 j 級抽油桿），右邊 x 的腳標(biāo)j 表示該級抽油桿末端的截點，由于本文只考慮各級抽油桿末端的位移和荷載函數(shù)，故有 1jjiixl??? (51) 在直徑不同的兩級抽油桿接頭處，位移和荷載是連續(xù)的，所以可用第 1j? 級抽油桿末端的位移和荷載，表示第 j 級抽油桿的邊界條件。將式（ 27）與式（ 49）比較，可得第 j 級的抽油桿所用邊界條件的傅里葉系數(shù)。 （ 1）位移的傅里葉系數(shù)： 1 0 10 1 01jjjjjxEA????????? （ 52） 11()j n j n jOx? ??? （ 53） 11()j n j n jPx? ??? （ 54） （ 2）荷載的傅里葉系數(shù)： 0 1 0jj???? （ 55） 14 39。1 1 1()j n j j n jEA O x? ? ? ?? （ 56） 39。1 1 1()j n j j n jEA P x? ? ? ?? （ 57） 多級桿情況下泵的位移和荷載函數(shù) 在 節(jié)中一級桿情況下某一點的位移和荷載函數(shù)的計算可推廣到多級桿情況，在多級桿情況下，第 j 級抽油桿下端的位移和荷載函數(shù)為 [7,8,9]： （ 1）位移函數(shù) 001( , ) ( ) c os ( ) si n22Njjj j j n j j n jnju x t x O x n t P x n tEA?? ???? ? ? ?? （ 58） （ 2）荷載函數(shù) 01( , ) ( ) c o s ( ) sin2 Njj j j n j j n jnjF x t E A O x n t P x n tEA? ???????????? ? ???????? （ 59） 其中 : ( ) ( c osh si nh ) si n( si nh c osh ) c os( ) ( si nh c osh ) c os( c osh si nh ) si n( ) si nh ( ) c osh )? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???????????? ? ? ?????j n j j n n j j n n j n jj n n j j n n j n jj n j j n n j j n n j n jj n n j j n n j n jjnj n j n j j n n j n n n jjO x k x x xx x xP x k x x xx x xO x x xEA2si nc osh ( ) si nh ) c os ( 60)( ) c osh ( ) si nh ) c ossi nh ( ) c osh ) si n(??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ???????? ? ? ???????? ? ???????njjnn j j n n j n n n j n jjjnj n j n j j n n j n n n j n jjjnn j j n n j n n n j n jjj n n j n njnjnxx x xEAP x x x xEAx x xEAkEA222)()?? ? ? ????????????????????????????????? ????nj n n j n njnj n nEA 上面各式中 : E 為鋼桿彈性模量； rA 為抽油桿柱在 x 截面處的截面積； ? 為曲柄的角速度； 計算流程 本文在所給懸點位移和荷載數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，通過利用 Gibbs 模型，推導(dǎo)出求泵的位移和荷載的方法及詳細(xì)運算過程。下面給出計算流程步驟及計算流程圖 [7]。 步驟 1：取得光桿動荷載，位移與時間的函數(shù)，即從給出的懸點測得的數(shù)據(jù)中在一個旋轉(zhuǎn)周期 2? 中選取等分的份數(shù) k 份，即離散化的采樣點數(shù)，本文取144k? ；根據(jù)前面式（ 34）到 式子（ 37）求出 4個傅里葉系數(shù)，代入到的傅里葉級數(shù)展開式中，得到 ()Dt 和 ()Ut的函數(shù)，即可獲得懸點處位移和荷載的曲線。 15 步驟 2： 計算粘滯阻尼系數(shù) C 。利用公式（ 38）計算阻尼系數(shù)。 步驟 3:計算特殊系數(shù)和函數(shù)。系數(shù)包括 n? ， n? ， jnk ， n? ，函數(shù)包括 ()nQx，()nQx? ， ()nPx? ， ()nPx。根據(jù)式（ 42）和式（ 43）求 n? 和 n? ；根據(jù)式（ 50）中的公式計算 nk ， n? ， ()nQx， ()nQx? ， ()nPx? 和 ()nPx。 步驟 4： 判斷是否為最后一級桿柱。如果不是最后一級，根據(jù)力的連續(xù)性原理，轉(zhuǎn)入步驟 5 計算；如果是最后一級，轉(zhuǎn)入步驟 6。 步驟 5： 如果不是最后一級桿柱，則計利用式（ 60）中的公式計算下一級桿柱的特殊系數(shù) jnk ， jn? ， ()j n jQx ， ()j n jPx ， ()j n jQx? 和 ()j n jPx? 。轉(zhuǎn)入步驟 4。 步驟 6： 如果是最后一級，根據(jù)式（ 58）和式（ 59）計算出桿柱末端的動荷載函數(shù) ( , )Fxt 和位移函數(shù) ( , )Uxt ，進(jìn)而可得出井下示功圖。 16 計算結(jié)果 利用建立的模型求解 兩口油井的泵功圖數(shù)據(jù)， 得到的相關(guān)系數(shù)、結(jié)果和圖表如下： 開始 根據(jù)給出的懸點測得的數(shù)據(jù)求出 4個傅里葉系數(shù)，代入到的傅里葉級數(shù)展開式中，得到的函數(shù)，即可獲得懸點處位移和荷載的曲線 計算粘滯阻尼系數(shù) C 計算 4 個傅里葉系數(shù) 計算特殊函數(shù)及系數(shù) 是否為最后一級桿柱？ 是 由邊界條件計算出荷載函數(shù)與位移函數(shù) 結(jié)束 根據(jù)上下級桿柱傅氏系數(shù)的關(guān)系重新計算 否 圖 4 計算井下示功圖流程圖 17 表 2 傅里葉系數(shù)的前十項 ? ? v ? +004 +003 +003 表 3 一級桿口井 7 泵的位移荷載數(shù)據(jù) 位移（ m） ?? 荷載（ kn） 176446 ?? 注：具體數(shù)據(jù)見所提 文件