【正文】 PF 則隨之減小，柱塞卸載。 通過第二題，我們可以得到泵示功圖的一組離散數(shù)據(jù)點 ? ?00, iii YXP ，（ i =1，2， ......n）為了斜率的可比性，我們對這組數(shù)據(jù)進行如下的歸一化處理： nmniiLRLii YY YYYXX XXX ?????? 00 , (63) 其中， LR XX, 表示泵示功圖左右兩端點的橫坐標； nmYY, 分別表示泵的最大載荷和最小載荷。iPP? 。iPP? 。 39。 （ 4）找到 TV 的關(guān)閉點記為 4P ， 4P 前的 k 個點中至少有 1?k 個點的斜率???K ；而 4P 點后的 k 個點中，至少有 1?k 個點的斜率 ???K 。 改進 Gibbs 模型 經(jīng)分析 Gibbs 模型忽略了重力加速度的影響，所以我們在原有基礎(chǔ)上對Gibbs 模型改進為如下的形式 [13]： 設(shè)浸入在油管中第 J 級抽油桿振動特性的有阻尼一維波動方程為： 22 222( , ) ( , ) ( , )J J Ju x t u x t u x ta c g ft x t? ? ?? ? ?? ? ? （ 70） 其中：??? 0??f； a 為應(yīng)力波在抽油桿中的傳播速度； g 為重力加速度；? 為抽油桿的密度； 0? 為油的密度； E 為油桿的彈性模量； JA 為第 J 段油桿的截面積； JX 為第 J 段油桿的長度。 pA 為泵（油管）的截面積， 2m ； L? 代表油的密度， 3/Kg m ； 01(1 )w w wb F b F? ? ??縮； wb 為水的體積系數(shù)； 0b 為原油體積系數(shù)； wF 為含水率； rP 代表光 桿功率， W ； ? 代表抽油桿密度， 3/Kg m ； T 代表抽油機的一個沖程時間， s ； g 代表重力加速度， 2/ms； hP 代表水利功率， W 。其中 1? 和 2? 為取定的允許誤差。 在吉布斯方程的求解過程求解中，阻尼系數(shù)是很關(guān)鍵的一個參量，阻尼系數(shù)求解的好壞直接影響方程求解的準確性。在合理的假設(shè)下，重新建立抽油系統(tǒng)模型或?qū)ΜF(xiàn)有模型進行改進；并給出由懸點示功圖轉(zhuǎn)化為泵功圖的詳細計算過程?；谶@種情況，我們認為在實際確定閥開閉點時，游動閥開啟點所代表的數(shù)據(jù)異常。 39。則認為iP 點就是 TV 開啟點。則認為iP 點就是 SV 開啟點。在 TV 開啟后 ， 0PP? 為一常數(shù) ， PF 表示不變。 TV 開啟后，柱塞下行的距離才是有效沖程 [10]。在這段時間內(nèi)，0PP? 保持不變。 氣體影響情況分析 這里我們換一種方法再次確定泵功圖的塞柱有效沖程我們知道有桿泵主要由泵筒 ,柱塞，游動閥和固定閥組成（在這里，我們用 TV 來表示游動閥，用 SV來表示固定閥如下圖 7 所示）。根據(jù)式（ 42）和式（ 43）求 n? 和 n? ；根據(jù)式（ 50）中的公式計算 nk ， n? ， ()nQx， ()nQx? ， ()nPx? 和 ()nPx。1 1 1()j n j j n jEA O x? ? ? ?? （ 56） 39。01( , ) ( ) c o s ( ) s in2NnnnF x t E A O x n t P x n tEA? ???????? ? ???????? （ 49） 其中： 13 ( ) c osh si nh ) si n ( si nh c osh ) c os( ) ( si nh c osh ) c os ( c osh si nh ) si n( ) si nh ( ) c osh ) si nc osh ( ) si nhn n n n n n n n n nn n n n n n n n n n nnn n n n n n n nrnn n n n nrO x x x x x x xP x k x x x x x xO x x x xEAxEA? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?????? ? ?2222) c os( ) c osh ( ) si nh ) c os ( 50 )si nh ( ) c osh ) si n()()nnnn n n n n n n nrnn n n n n n nrn n n nnr n nn n n nnr n nxxP x x x xEAx x xEAkEAEA??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ????????????????????? ???? ? ? ???? ??????? ? ??????????????????? 上面各式中 : E 為鋼桿彈性模量； rA 為抽油桿柱在 x 截面處的截面積； ? 為曲柄的角速度。 將 4 個 傅氏級數(shù)帶入到式（ 27）和（ 28）中，即可得出懸點位移和荷載的函數(shù)，并可以通過 MATLAB 畫出懸點位移和荷載的曲線。經(jīng)推導(dǎo)，它的運動可用下列微分方程來描述 [5]： 22222( , ) ( , ) ( , )u x t u x t u x tact x t? ? ???? ? ? （ 20） 其中： ( , )uxt 為抽油桿離地面懸點 x 深處在 t 時刻的位移 ； a 為應(yīng)力波在抽油桿中的傳播速度； c 為阻尼系數(shù)。 有桿抽油系統(tǒng)四連桿運動模型 實際抽油機的 /rL值是不可忽略的，特別式?jīng)_程長度較大時，忽略后會引起很大誤差，為此，本題中 / 1/4rL? ，這里我們把 B 點繞游梁支點的弧線運動近似的看做直線運動，則可把抽油機的運動簡化為如下圖所示的曲柄滑塊運動。 有桿抽油系統(tǒng)四連桿運動函數(shù)計算 游梁擺動方程的建立 有桿抽油系統(tǒng)四連桿幾何結(jié)構(gòu)如圖 1 所示。 4．抽油設(shè)備在工作過程中不受沙、蠟、水和溫度等因素的影響。在合理的假設(shè)下，重新建立抽油系統(tǒng)模型或?qū)ΜF(xiàn)有模型進行改進；并給出由懸點示功圖轉(zhuǎn)化為泵功圖的詳細計算過程，包括：原始數(shù)據(jù)的處理、邊界條件、初始條件、求解算法；利用附件 附件 2 的數(shù)據(jù)重新進行計算；對計算結(jié)果與問題二的計算結(jié)果進行比較，分析你的模型的優(yōu)缺點。 問題二：泵功圖計算 請使用 Gibbs 模型，給出由懸點示功圖轉(zhuǎn)化為泵功圖的詳細計算過程，包括：原始數(shù) 據(jù)的處理、邊界條件、初始條件、求解算法；附件 1 是只有一級桿的某油井參數(shù)和懸點示功數(shù)據(jù)，附件 2 是有三級桿的另一油井參數(shù)和懸點示功數(shù)據(jù)，利用它們分別計算出這兩口油井的泵功圖數(shù)據(jù)；并分別繪制出兩油井的懸點示功圖和泵功圖（每口井繪一張圖，同一井的懸點示功圖與泵功圖繪在同一張圖上，請標明坐標數(shù)據(jù)）。通過懸點示功圖可以初步診斷該井的工作狀況，如產(chǎn)量、氣體影響、閥門漏液、沙堵等等。 針對問題二，首先利用分離變量法將 Gibbs 波動方程拆分為位移函數(shù)和荷載函數(shù)，并對其進行傅里葉級數(shù)展開，得出了懸點處隨時間變化的位移和荷載函數(shù)，求得了泵隨時間變化的位移和荷載函數(shù)，進而計算出兩口油井的泵功圖數(shù)據(jù)（表 表 4），繪制出了兩油井的懸點示功圖和泵功圖（圖 圖 6）。 針對問題四，第一問中，首先分析了 Gibbs 波動方程建立的過程，認為 Gibbs模型忽略了重力的影響，在 Gibbs 模型的基礎(chǔ)上加入了重力因素加以改進，得到了相應(yīng)的位移和荷載函數(shù)（式 7式 72）。因此，通過數(shù)學(xué)建模，把懸點示功圖轉(zhuǎn)化為桿上任意點的示功圖（統(tǒng)稱為地下示功圖）并最終確定泵功圖，以準確診斷該井的工作狀況，是一個很有價值的實際問 題。（單位：噸，這里所指 的液體是指從井里抽出來的混合液體） 2）如圖 5（ C）形式的泵功圖表示泵內(nèi)有氣體，導(dǎo)致泵沒充滿。對此，請你進行研究，詳細給出計算 c 的理論推導(dǎo)過程并盡可能求出 c。 7 ES ES 為任意時刻懸點位移 8 ?J ?J 為 J 對時間的導(dǎo)數(shù) 9 ?? ?? 為 ? 對時間的導(dǎo)數(shù) 10 ?? ?? 為游梁擺動的角速度 11 ??? ??? 為 任意時刻游梁擺動的角加速度 4．問題一 ：光桿懸點運動規(guī)律 問題分析 題目要求根據(jù)附錄 4 給出的四連桿各段尺寸，利用附錄 1 的參數(shù)，求出 懸點 E 的一個沖程的運動規(guī)律：位移函數(shù)、速度函數(shù)、加速度函數(shù)。 圖 1 有桿抽油系統(tǒng)四連桿幾何結(jié)構(gòu)圖 其中： YOB ???， COD ???， OOM ????， MOD ????,OA a? ， OB b? ，BD L? ,OD J? ,OO K?? ,OD r? ? ,H 為 O? 到坐標橫軸的距離， I 為 O? 到坐標縱軸的距離。 數(shù)據(jù)比較 根據(jù)附錄 4 所給連桿的各段尺寸和附件 1 的參數(shù)，在一個周期內(nèi)，利用上述模型求得懸點處位移、速度和加速度的變化曲線為： 圖 3 懸點的理論位移、速度及加速度曲線 8 在一個周期內(nèi)，利用公式（ 19）求得懸點處的理論位 移（具體數(shù)據(jù)見附錄1）。 3．連續(xù)性條件 連續(xù)性條件主要針對油桿是不同直徑的組合桿和不同材料的混合桿時使用，在交界處油桿受力和油桿位移的連續(xù)性條件是： , 1 , 2( ) ( )i j i jFF? （ 25） , 1 , 2( ) ( )i j i juu? （ 26） 4．懸點位移和荷載方程的求解 本文采用分離變量傅里葉變換法求解波動方程。 首先以式（ 27）和式（ 28）為邊界條件，用分離變量法求解方程（ 20）便可得出抽油桿任意深度 x 截面的位移隨時間的變化。類似的還有 39。 步驟 1：取得光桿動荷載，位移與時間的函數(shù)，即從給出的懸點測得的數(shù)據(jù)中在一個旋轉(zhuǎn)周期 2? 中選取等分的份數(shù) k 份，即離散化的采樣點數(shù)，本文取144k? ；根據(jù)前面式（ 34）到 式子（ 37）求出 4個傅里葉系數(shù)，代入到的傅里葉級數(shù)展開式中，得到 ()Dt 和 ()Ut的函數(shù)，即可獲得懸點處位移和荷載的曲線。 步驟 5： 如果不是最后一級桿柱，則計利用式（ 60）中的公式計算下一級桿柱的特殊系數(shù) jnk ， jn? ， ()j n jQx ， ()j n jPx ， ()j n jQx? 和 ()j n jPx? 。 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 51020304050607080（位移 : m ）（荷載: kn）0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 51020304050607080（位移 : m ）（荷載: kn） 示功圖 泵功圖 19 圖 7 有桿抽油泵示意圖 若有氣體進入泵腔，柱塞下行時氣體將受到進一步壓縮，使 TV 延遲開啟。 上述分析沒有考慮氣體向液體中的溶解（壓力升高）或從液體中析出（壓力 降低）的情況。泵示功圖這一曲線為一水平線，其斜率 0K? 。泵示功圖上這段曲線為一減函數(shù)，其斜率 0?K 。 （ 2） SV 關(guān)閉點：在上行程，若 iP 點前的 k 個點中至少有 1?k 個點的斜率???K ；而 iP 點后的 k 個點中，至少有 1?k 個點的斜率 ???K 。 （ 4） TV 關(guān)閉點：在下行程，若 iP 前的 k 個點中至少有 1?k 個點的斜率???K ；而 iP 點后的 k 個點中，至少有 1?k 個點的斜率 ???K 。 |s P P X X? ? ? ? 2 4 3 4 0 3 0| 39。 （ 1）找到 SV 的開啟點記為 1P ，并記錄此時的 ?? ，且 1P 前的 k 個點至少有 1k? 個點斜率 ??K ， 1P 后的 k 個點至少有 1k? 個點斜率 ??K 。 Gibbs 模型改進 Gibbs 模型分析 設(shè)符號 x 是懸點移動前油桿的位置，取正下方向下，取 (,)uxt 作為位移，正方向向下，它們的單位都是 m，取 xf 、 xxf?? 作為抽油桿相應(yīng)截面的應(yīng)力， af作為單元體的慣性力，其方向和加速度方向相反， df 作為單元體單位長度上粘性阻力尼，其方向與速度方向相反， wf 取為單元體重力，它們的單位都是牛頓，除此之外， rE 代表抽油桿的材料彈性模量，單位是3kgm； ev 代表單位長度抽油桿柱的 粘滯阻力系數(shù)，單位是 .kgms 。 需要說明的一點是本文中抽油機產(chǎn)量是可以測量的，所以抽油泵的有效沖程就可以得到，所以流程圖的上半部分確定抽油泵有效沖程這部分便