【正文】 [3]。 圖 2 抽油機(jī)簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)圖 0?? 時(shí)，游梁與連桿的連接點(diǎn) B 在 B? 處，為距曲柄軸心最遠(yuǎn)的位置，相應(yīng)于懸點(diǎn) E 的下死點(diǎn)； ??? 時(shí)， B 在 B?? 處，為距曲柄軸心最近的位置，相應(yīng)于懸點(diǎn) E 的上死點(diǎn)。 數(shù)據(jù)比較 根據(jù)附錄 4 所給連桿的各段尺寸和附件 1 的參數(shù)，在一個(gè)周期內(nèi)，利用上述模型求得懸點(diǎn)處位移、速度和加速度的變化曲線為： 圖 3 懸點(diǎn)的理論位移、速度及加速度曲線 8 在一個(gè)周期內(nèi)，利用公式（ 19）求得懸點(diǎn)處的理論位 移（具體數(shù)據(jù)見附錄1）。 求泵功圖的兩個(gè)主要 的前提就是要知道泵隨時(shí)間變化的位移和荷載的函數(shù)，根據(jù)有桿抽油機(jī)的幾何構(gòu)造及工作原理，結(jié)合 Gibbs 模型可以得到地面懸點(diǎn)隨時(shí)間變化的位移和荷載函數(shù)，進(jìn)而通過(guò)轉(zhuǎn)換得到地下泵處隨時(shí)間變化的位移和荷載的函數(shù)。 Gibbs 模型 —— 一級(jí)桿情況下泵功圖的計(jì)算 抽油桿的力學(xué)模型是一根具有粘滯阻尼的作縱向震動(dòng)的細(xì)長(zhǎng)圓桿。 波動(dòng)方程求解 要求解上述波動(dòng)方程，前提就是利用波動(dòng)方程的邊界條件、初始條件以及連續(xù)性條件（用于多級(jí)組合桿的抽油系統(tǒng)） [6,7]。 3．連續(xù)性條件 連續(xù)性條件主要針對(duì)油桿是不同直徑的組合桿和不同材料的混合桿時(shí)使用，在交界處油桿受力和油桿位移的連續(xù)性條件是： , 1 , 2( ) ( )i j i jFF? （ 25） , 1 , 2( ) ( )i j i juu? （ 26） 4．懸點(diǎn)位移和荷載方程的求解 本文采用分離變量傅里葉變換法求解波動(dòng)方程。即得到懸點(diǎn)處位移和荷 載的函數(shù)，進(jìn)而得到懸點(diǎn)處的示功圖。然后令 t??? ， 2T??? ， ddt d??? ，T 為周期，可得到： 201 ( ) c o s ( 0 , 1 , 2 , )n D n d t n N?? ? ????? （ 29） 考慮到 ? 是離散變量： 2 ( 1 , 2 , , )p pkk?? ?? (30) 用下面符號(hào)表示： 2()ppDDk? ? ， 2()ppUUk? ? (31) 采用梯形法則進(jìn)行數(shù)值積分： 10 0 1 1 212 0 2 1 2 1 2 2c os( ) c os( ) c os( ) c os( )1222 ( 1 ) 2c os( ) c os( )22nkkn n n nD D D Dk k k kn k n kDDkkk? ? ? ???????? ? ? ? ????? ????? ?? ?? ??? ? ? ??? ????? ?????? ?（ 32） 合并同類項(xiàng)得到： 0 11c o s 02 2 1 2 ( 1 ) 2c o s( ) c o s( ) c o s( )22n k kD n n k nD D Dk k k? ? ?? ?? ? ???? ? ? ????? (33) 由函數(shù)的周期性可得： 0 kDD? ， cos0 cos2n?? ，因此： 122 c o s ( ) ( 0 , 1 , 2 , , )knppnD p n Nkk ?????? (34) 同理可求得其他三個(gè)傅氏系數(shù)： 122s i n ( ) ( 1 , 2 , , )knppnD p n Nkk ?????? (35) 122c o s ( ) ( 0 , 1 , 2 , , )knppnU p n Nkk ???? (36) 122s i n ( ) ( 1 , 2 , , )knppnU p n Nkk ?????? (37) 其中： ? 為曲柄轉(zhuǎn)角； ? 為曲柄角速度； T 為運(yùn)動(dòng)周期； N 為傅氏級(jí)數(shù)所取項(xiàng)數(shù)， 本文取 10； p 為從 0到 k 各點(diǎn)序號(hào)； k 為 2? 周期內(nèi)等分的份數(shù)，即離散化的采樣點(diǎn)數(shù)，本文取 144k? ； pD 和 pU 為從附件中給出的數(shù)據(jù)中選取的采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)。 粘滯阻尼系數(shù)求解 根據(jù)吉布斯關(guān)于粘滯阻尼系數(shù)的假設(shè)，本文推出用摩擦功來(lái)確立粘滯阻尼系數(shù)公式的方法 [7]： 1122 1 2 2( 1 )l n ( / ) s i n ( / ) c o s ( / )C B Bm B L a L a L aA?? ? ? ??????? ? ? ????? ????? （ 38） 11 112122422112 ln( 1)1ln4/yqiiiqiidmdAldlmBmmBmmdAaE??????????? ?????????????? ? ???????????? 其中： yd 為油管內(nèi)徑，單位： m ， d 為抽油桿的平均直徑，單位： m ； iA為各級(jí)抽油桿的截面積，單位： 2m ； il 為 各級(jí)抽油桿的長(zhǎng)度： m ； A 為為抽油桿的平均截面積，單位： 2m ； ? 為液體粘度，在本題中即為地面原油粘度，單位： .Pas ； L 為抽油桿的總長(zhǎng)度，單位： m ； E 為是抽油桿材料的彈性模量，單位： 3/Nm； ? 為是抽油桿材料密度，單位： 3/kgm 。 首先以式（ 27）和式（ 28）為邊界條件，用分離變量法求解方程（ 20）便可得出抽油桿任意深度 x 截面的位移隨時(shí)間的變化。39。39。 多級(jí)桿情況下泵的位移和荷載計(jì)算 以上這一小節(jié)為考慮只有一級(jí)桿的時(shí)候的情況，但在實(shí)際中，抽油桿經(jīng)常包含多個(gè)尺 寸的多級(jí)桿，下面給出有多級(jí)桿的情況下，求泵的位移和荷載方程。類似的還有 39。( ) , ( ) , ( ) , ( )j n j j n j j n j j n jO x P x O x P x，其中左邊的腳標(biāo) j 表示與系數(shù)有關(guān)的抽油桿段（第 j 級(jí)抽油桿），右邊 x 的腳標(biāo)j 表示該級(jí)抽油桿末端的截點(diǎn)，由于本文只考慮各級(jí)抽油桿末端的位移和荷載函數(shù)，故有 1jjiixl??? (51) 在直徑不同的兩級(jí)抽油桿接頭處，位移和荷載是連續(xù)的，所以可用第 1j? 級(jí)抽油桿末端的位移和荷載，表示第 j 級(jí)抽油桿的邊界條件。 （ 1）位移的傅里葉系數(shù)： 1 0 10 1 01jjjjjxEA????????? （ 52） 11()j n j n jOx? ??? （ 53） 11()j n j n jPx? ??? （ 54） （ 2）荷載的傅里葉系數(shù)： 0 1 0jj???? （ 55） 14 39。1 1 1()j n j j n jEA P x? ? ? ?? （ 57） 多級(jí)桿情況下泵的位移和荷載函數(shù) 在 節(jié)中一級(jí)桿情況下某一點(diǎn)的位移和荷載函數(shù)的計(jì)算可推廣到多級(jí)桿情況，在多級(jí)桿情況下，第 j 級(jí)抽油桿下端的位移和荷載函數(shù)為 [7,8,9]： （ 1）位移函數(shù) 001( , ) ( ) c os ( ) si n22Njjj j j n j j n jnju x t x O x n t P x n tEA?? ???? ? ? ?? （ 58） （ 2）荷載函數(shù) 01( , ) ( ) c o s ( ) sin2 Njj j j n j j n jnjF x t E A O x n t P x n tEA? ???????????? ? ???????? （ 59） 其中 : ( ) ( c osh si nh ) si n( si nh c osh ) c os( ) ( si nh c osh ) c os( c osh si nh ) si n( ) si nh ( ) c osh )? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???????????? ? ? ?????j n j j n n j j n n j n jj n n j j n n j n jj n j j n n j j n n j n jj n n j j n n j n jjnj n j n j j n n j n n n jjO x k x x xx x xP x k x x xx x xO x x xEA2si nc osh ( ) si nh ) c os ( 60)( ) c osh ( ) si nh ) c ossi nh ( ) c osh ) si n(??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ???????? ? ? ???????? ? ???????njjnn j j n n j n n n j n jjjnj n j n j j n n j n n n j n jjjnn j j n n j n n n j n jjj n n j n njnjnxx x xEAP x x x xEAx x xEAkEA222)()?? ? ? ????????????????????????????????? ????nj n n j n njnj n nEA 上面各式中 : E 為鋼桿彈性模量； rA 為抽油桿柱在 x 截面處的截面積； ? 為曲柄的角速度； 計(jì)算流程 本文在所給懸點(diǎn)位移和荷載數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，通過(guò)利用 Gibbs 模型，推導(dǎo)出求泵的位移和荷載的方法及詳細(xì)運(yùn)算過(guò)程。 步驟 1：取得光桿動(dòng)荷載，位移與時(shí)間的函數(shù)，即從給出的懸點(diǎn)測(cè)得的數(shù)據(jù)中在一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期 2? 中選取等分的份數(shù) k 份，即離散化的采樣點(diǎn)數(shù)，本文取144k? ；根據(jù)前面式（ 34）到 式子（ 37）求出 4個(gè)傅里葉系數(shù)，代入到的傅里葉級(jí)數(shù)展開式中，得到 ()Dt 和 ()Ut的函數(shù)，即可獲得懸點(diǎn)處位移和荷載的曲線。利用公式（ 38）計(jì)算阻尼系數(shù)。系數(shù)包括 n? ， n? ， jnk ， n? ，函數(shù)包括 ()nQx，()nQx? ， ()nPx? ， ()nPx。 步驟 4： 判斷是否為最后一級(jí)桿柱。 步驟 5： 如果不是最后一級(jí)桿柱，則計(jì)利用式（ 60）中的公式計(jì)算下一級(jí)桿柱的特殊系數(shù) jnk ， jn? ， ()j n jQx ， ()j n jPx ， ()j n jQx? 和 ()j n jPx? 。 步驟 6： 如果是最后一級(jí)，根據(jù)式（ 58）和式（ 59）計(jì)算出桿柱末端的動(dòng)荷載函數(shù) ( , )Fxt 和位移函數(shù) ( , )Uxt ，進(jìn)而可得出井下示功圖。 泵內(nèi)充氣會(huì)引起泵不能充滿，在下沖程時(shí)，導(dǎo)致管內(nèi)原油充不滿；當(dāng)柱塞下壓時(shí)，由于氣體的影響，泵內(nèi)壓強(qiáng)不能迅速增大，導(dǎo)致游動(dòng)閥打開遲緩，這會(huì)體現(xiàn)在泵功圖的實(shí)際數(shù)據(jù)中，同時(shí)，考慮到有效沖程和實(shí)際泵功圖之間的關(guān)系，本文考慮通過(guò)利用有效沖程的計(jì)算方法來(lái)處理所給數(shù)據(jù)，進(jìn)而根據(jù)泵的結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律設(shè)計(jì)判斷算法來(lái)判斷泵內(nèi)是否充氣。所以我們根據(jù)泵功圖來(lái)確定閥開閉點(diǎn)的位置。 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 51020304050607080（位移 : m ）（荷載: kn）0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 51020304050607080（位移 : m ）（荷載: kn） 示功圖 泵功圖 19 圖 7 有桿抽油泵示意圖 若有氣體進(jìn)入泵腔，柱塞下行時(shí)氣體將受到進(jìn)一步壓縮，使 TV 延遲開啟。假定柱塞下行時(shí)，氣體受到等壓縮。在某一點(diǎn) 1H 處 P 打