【正文】 出口井 1泵內(nèi)有氣，口井 7泵內(nèi)無氣。 關(guān)鍵詞 ： Gibbss模型，阻尼系數(shù)，傅里葉系數(shù)，有效沖程 2 1．問題重述 目前，開采原油廣泛使用的是有桿抽油系統(tǒng)（垂直井，如圖 1）。然而，泵在地下深處，使用儀器測試其示功數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)困難大、成本高。請按附錄 4給出四連桿各段尺寸，利用附件 1 的參數(shù)，求出懸點(diǎn) E 的一個(gè)沖程的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：位移函數(shù)、速度函數(shù)、加速度函數(shù)。 鼓勵(lì)全做 ） 1）建立 2 個(gè)不同的由泵功圖估計(jì)油井產(chǎn)量的模型，其中至少一個(gè)要利用“有效沖程”；并利用附件 1 和附件 2 的數(shù)據(jù)分別估算兩口油井一天（ 24 小時(shí)）的產(chǎn)液量。 問題四：深入研究的問題（下面 2小問選作一問。如果能從方程本身和某些數(shù)據(jù)出發(fā)用數(shù)學(xué)方法估計(jì)參數(shù) c，貢獻(xiàn)是很大的。 2．不考慮活塞在上下沖程中抽油桿柱所受到的摩擦力、慣性力、振動(dòng)荷載和沖擊荷載等的影響。 3．通用符號(hào)說明 序號(hào) 符號(hào) 符號(hào)說明 1 0? 0? 為游梁初始擺角 2 w w 為曲柄轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 3 H H 為 O? 到坐標(biāo)橫軸的距離 4 E E 為鋼桿彈性模量 5 rA rA 為抽油桿柱在 x 截面處的截面積 6 I I 為 O? 到坐標(biāo)縱軸的距離?？紤]到有桿抽油系統(tǒng)以游梁支點(diǎn)和曲柄軸中心的連接線做固定桿，以曲柄、連桿和游梁后臂為三個(gè)活動(dòng)桿。 ?0t 時(shí)刻，曲柄滑塊 D 位于上頂點(diǎn)（ 0=? ）， AB 平行于水平面， E 對應(yīng)坐標(biāo)原點(diǎn)（稱為 E 的下死點(diǎn)）， E 的位移為 0； D 運(yùn)動(dòng)到下頂點(diǎn)（ =??）時(shí)， E 的位移到達(dá)最大（稱為 E 的上死點(diǎn)）； D 接著運(yùn)動(dòng)到上頂點(diǎn)（ 2=??）時(shí)， E 又回到位移為 0的位置，完成一個(gè)周期（即一個(gè)沖程） [1,2]。懸點(diǎn) E 的運(yùn)動(dòng)情況可以看做圖中 A 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，故任意時(shí)刻懸點(diǎn)位移 ES 為 2 2 21c os22EA b J LS S a bJ? ????????? ? ? ????????? （ 6） 其中： ? ? ? ?s i n c o sJ I r H r??? ? ? ? 1 sinc o sIrtg Hr ?? ?? ???? ????? 懸點(diǎn)速度函數(shù) 將式（ 2）兩邊同時(shí)對時(shí)間 t 求導(dǎo)數(shù)，可得游梁擺動(dòng)的角速度 ?? 為 [3,4] ? ?? ?c ossi nJ JbJ ????????? ? ???? （ 7） 其中： ?J 和 ?? 為 J 和 ? 對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。在這種簡化情況下我們對應(yīng)的有 [] +H O D BD L r?? ? ? （ 17） I OB b?? （ 18） 將式（ 17）和式（ 18）代回 中的相關(guān)公式，可以得到有桿抽油系統(tǒng)四 7 連桿運(yùn)動(dòng)模型如下： ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?2 2 2122221221c os22si n si nsi nc os c os 2 c os c ossi n( + )si n c ossi n( 19)c osEEEb J LSabJaw r K bVbJw r K b bw rWabJJ b r L r rbrtgL r rK b L rbtgL??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????????????????? ? ?????????? ? ?????????? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ???????????? ? ???30 5 , 5 , , 5 , rwtnwa b r L n???????????????????????? ??????? ? ? ? ?? 其中：幾何關(guān)系如圖 1 YOB ???， COD ???， OOM ????，MOD ????,OA a? ， OB b? ， BD L? ,OD J? ,OO K?? ,OD r? ? ； H 為 O? 到坐標(biāo)橫軸的距離； I 為 O? 到坐標(biāo)縱軸的距離； ES 為懸點(diǎn)位移函數(shù)； EV 為懸點(diǎn)速度函數(shù)； EW 為懸點(diǎn)加速度函數(shù)?？梢钥紤]利用分離變量法將 Gibbs 波動(dòng)方程拆分為兩個(gè)函數(shù)（位移函數(shù)和荷載函數(shù)），并對位移函數(shù)和荷載函數(shù)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開，利用題目中給出的地面懸點(diǎn)處隨時(shí)間變換的位移和荷載的離散數(shù)據(jù)，求解出懸點(diǎn)處隨時(shí)間變化的位移和荷載函數(shù)，進(jìn)而得到泵處隨時(shí)間變化的位移和荷載的函數(shù)，從而在此基礎(chǔ)上計(jì)算兩口油井的泵功圖數(shù)據(jù)，并繪制出 兩油井的懸點(diǎn)示功圖和泵功圖。 1．邊界條件 診斷模型的邊界條件是由抽油機(jī)幾何運(yùn)動(dòng)特征決定的，可知： 地面懸點(diǎn)邊界條件： 0( , ) | ( )xu x t u t? ? （ 21） 泵邊界條件： ( , )( , ) ( )u L tau L t P tx? ???? （ 22） 9 2．初始條件 假設(shè)抽油機(jī)運(yùn)行之前，抽油桿柱自由懸掛于已經(jīng)充滿原有的油管中，懸點(diǎn)從下死點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)： 0( , ) | ( )xu x t u t? ? （ 23） 0( , ) | ( ) ( )xrF x t L t W D t? ? ? ? （ 24） 其中： ()ut 為實(shí)測光桿懸點(diǎn)位移函數(shù)， m ； ()Lt 為光桿懸點(diǎn)荷載函數(shù)， kn ；rW 為抽油桿柱在流體中的重量， n 。下面以 n? 為例來說明求解過程： 實(shí)際中采集的數(shù)據(jù)是離散的，需要將 ()Dt 和 ()ut 離散化，設(shè)在懸點(diǎn)處進(jìn)行等時(shí)采樣，采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 k ，本文取 144。 特殊函數(shù)和系數(shù)求解 前面的求解過程給出了根據(jù)懸點(diǎn)測得的位移和荷載的數(shù)據(jù)推出懸點(diǎn)位移和荷載的函數(shù)，并可以通過 MATLAB 畫出它們的曲線；然后又給出了井下的粘滯阻尼系數(shù)的求解方法及過程，下面進(jìn)行求解泵的位移和荷載的函數(shù)，進(jìn)而得出泵的示功圖。01( , ) ( ) c o s ( ) s in2NnnnF x t E A O x n t P x n tEA? ???????? ? ???????? 所以綜上所述，一級(jí)桿的情況下，抽油桿某一點(diǎn)的位移和荷載函數(shù)如下： （ 1）位移函數(shù)： 001( , ) ( ( ) c o s ( ) s i n )22Nnnnru x t x O x n t P x n tEA?? ???? ? ? ?? （ 48） （ 2）荷載函數(shù)： 39。 傅里葉系數(shù)的求解 設(shè)從懸點(diǎn)開始計(jì)算序號(hào)，各桿截面積分別為 12, , , mA A A ；各桿長度分別為12, , , nl l l ；各桿的直徑分別為 12, , , nd d d ；傅里葉系數(shù)為 , , ,j n j n j n j n? ? ? ?，其中 j 表示與系數(shù)有關(guān)的抽油桿段。將式（ 27）與式（ 49）比較，可得第 j 級(jí)的抽油桿所用邊界條件的傅里葉系數(shù)。下面給出計(jì)算流程步驟及計(jì)算流程圖 [7]。 步驟 3:計(jì)算特殊系數(shù)和函數(shù)。如果不是最后一級(jí)，根據(jù)力的連續(xù)性原理，轉(zhuǎn)入步驟 5 計(jì)算；如果是最后一級(jí)，轉(zhuǎn)入步驟 6。 16 計(jì)算結(jié)果 利用建立的模型求解 兩口油井的泵功圖數(shù)據(jù)， 得到的相關(guān)系數(shù)、結(jié)果和圖表如下： 開始 根據(jù)給出的懸點(diǎn)測得的數(shù)據(jù)求出 4個(gè)傅里葉系數(shù)，代入到的傅里葉級(jí)數(shù)展開式中，得到的函數(shù)，即可獲得懸點(diǎn)處位移和荷載的曲線 計(jì)算粘滯阻尼系數(shù) C 計(jì)算 4 個(gè)傅里葉系數(shù) 計(jì)算特殊函數(shù)及系數(shù) 是否為最后一級(jí)桿柱？ 是 由邊界條件計(jì)算出荷載函數(shù)與位移函數(shù) 結(jié)束 根據(jù)上下級(jí)桿柱傅氏系數(shù)的關(guān)系重新計(jì)算 否 圖 4 計(jì)算井下示功圖流程圖 17 表 2 傅里葉系數(shù)的前十項(xiàng) ? ? v ? +004 +003 +003 表 3 一級(jí)桿口井 7 泵的位移荷載數(shù)據(jù) 位移（ m） ?? 荷載（ kn） 176446 ?? 注：具體數(shù)據(jù)見所提 文件 圖 5 一級(jí)桿口井 7 懸點(diǎn)示功圖和一級(jí)油桿泵功圖 表 4 三級(jí)桿口井 1 泵的位移荷載數(shù)據(jù) 位移（ m） ?? 荷載（ kn） ?? 注：具體數(shù)據(jù)見所提 文件 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 510203040506070( 位移 : m )(載荷: kn)示功圖 泵功圖 18 圖 6 三級(jí)桿口井 7 懸點(diǎn)示功圖和泵功圖 6．問題三：泵功圖的應(yīng)用 —— 泵內(nèi)充氣判斷 問題分析 本題是對泵功圖的應(yīng)用，本文選擇對第 2問（泵內(nèi)氣體判斷）進(jìn)行研究。同樣我們在這里用 P 來表示閥開閉前后泵腔內(nèi)的壓力以及用 S 來表示柱塞的位移 [10,11]。柱塞下行 H 距離后，氣體的高度變?yōu)?gHH? ，壓力變?yōu)?P ，那么有： ? ?iggPHP HH? ? （ 61） 可見， P 隨 H 的增加而增加。當(dāng) P 到達(dá) iP 時(shí)， SV 開啟。即泵腔內(nèi)氣體的存在將使柱塞在上、下沖程階段緩慢地加載或卸載； SV 、TV 都將延遲開啟。泵示功圖上這一段曲線為增函數(shù)，其斜率 0K? . 在 SV0P ip 固定閥 泵筒 柱塞 游動(dòng)閥 p pF 20 開啟后 ， iPP? 為一常數(shù)， PF 保持不變。 下行程 TV 開啟前，由于 SV 漏失或氣體壓縮等，使 P 隨 S 的減小而繼續(xù)增加， PF 則隨之減小，柱塞卸載。 在 TV 關(guān)閉后 ， P 將隨 S 的減小而減小 ， PF 逐漸增加。 通過第二題，我們可以得到泵示功圖的一組離散數(shù)據(jù)點(diǎn) ? ?00, iii YXP ，（ i =1，2， ......n）為了斜率的可比性，我們對這組數(shù)據(jù)進(jìn)行如下的歸一化處理： nmniiLRLii YY YYYXX XXX ?????? 00 , (63) 其中， LR XX, 表示泵示功圖左右兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)； nmYY, 分別表示泵的最大載荷和最小載荷。iPP? 。iPP? 。iPP? 。iPP? 。 39。 39。 步驟 2： 在 iP 前后各取 k 個(gè)點(diǎn)，用最小二乘法對這 12?k 個(gè)點(diǎn)進(jìn)行線性擬合，并求出 iP 點(diǎn)處的斜率： ? ? ? ?22 iiiiiiXXXYYXK???? (66) 其中： ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??? ?? ???? ki kij jiki kij ji kYYkXX 12,12 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??? ?? ????? ki kij jiki kij jji kXXkXYYX 12,12 22 步驟 3： 求得各點(diǎn)處的斜率 iK 后，我們?nèi)匀挥帽绢}第一問第二種模型來確定閥的開閉位置，若同時(shí)滿足以下 4個(gè)條件的，即可判斷泵內(nèi)有氣體。 （ 4）找到 TV 的關(guān)閉點(diǎn)記為 4P ， 4P 前的 k 個(gè)點(diǎn)中至少有 1?k 個(gè)點(diǎn)的斜率???K ；而 4P 點(diǎn)后的 k 個(gè)點(diǎn)中，至少有 1?k 個(gè)點(diǎn)的斜率 ???K 。 首先分析 Gibbs 波動(dòng)方程建立的過程，得到了 Gibbs 模型忽略了重力加速度的影響，因此我們在原有的基礎(chǔ)上對 Gibbs 模型加以改進(jìn)，增加抽油桿的重量對模型的影響，從而得到有抽油桿重量的影響下泵的位移和荷載函數(shù)，進(jìn)而得到泵功圖；第二問抽油機(jī)上下往返運(yùn)動(dòng)，假定抽油桿作簡諧振動(dòng)，通過抽油桿柱的摩擦功率得到阻尼系數(shù)的求解公式，并帶入泵位移和荷載函數(shù)求解過程中 ，得到泵功圖，通過泵功圖得到泵的有效沖程及泵功率，通過界定泵功率的有效誤差，進(jìn)行迭代求解阻尼系數(shù)。 改進(jìn) Gibbs 模型 經(jīng)分析 Gibbs 模型忽略了重力加速度的影響，所以我們在原有基礎(chǔ)上對Gibbs 模型改進(jìn)為如下的形式 [13]： 設(shè)浸入在油管中第 J 級(jí)抽油桿振動(dòng)特性的