【正文】 全全 第第 九九 屆屆 ““ 華華 為為 杯杯 ”” 全全 國(guó)國(guó) 研研 究究 生生 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 競(jìng)競(jìng) 賽賽 學(xué) 校 山東 青島科技大學(xué) 參賽隊(duì)號(hào) 隊(duì)員姓名 1 第第 九九 屆屆 ““ 華華 為為 杯杯 ”” 全全 國(guó)國(guó) 研研 究究 生生 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 競(jìng)競(jìng) 賽賽 題 目 有桿抽油系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模及診斷 摘 要： 本文主要研究有桿抽油系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模及診斷問題。 針對(duì)問題一， 本文從有桿抽油系統(tǒng)四連桿結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系和運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)出發(fā)，首先建立了游梁的擺動(dòng)方程，進(jìn)而求得了懸點(diǎn) E 運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型（式（ 19）），并根據(jù)題給數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行了 求解并得到了運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線（如圖 3），最后與有荷載的附件 1的懸點(diǎn)位移數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較（見表 1）。 針對(duì)問題二，首先利用分離變量法將 Gibbs 波動(dòng)方程拆分為位移函數(shù)和荷載函數(shù)，并對(duì)其進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開，得出了懸點(diǎn)處隨時(shí)間變化的位移和荷載函數(shù)，求得了泵隨時(shí)間變化的位移和荷載函數(shù)，進(jìn)而計(jì)算出兩口油井的泵功圖數(shù)據(jù)（表 表 4），繪制出了兩油井的懸點(diǎn)示功圖和泵功圖（圖 圖 6）。 針對(duì)問題三，本文選擇對(duì)第 2問（泵內(nèi)氣體判斷）進(jìn)行研究。首先對(duì)泵內(nèi)氣體影響情況進(jìn)行了分析，然后給出了有效沖程的計(jì)算方法，在此基礎(chǔ)上提出了泵內(nèi)是否 充氣的判別算法，并根據(jù)所給數(shù)據(jù)求解判斷出口井 1泵內(nèi)有氣，口井 7泵內(nèi)無氣。 針對(duì)問題四，第一問中，首先分析了 Gibbs 波動(dòng)方程建立的過程，認(rèn)為 Gibbs模型忽略了重力的影響，在 Gibbs 模型的基礎(chǔ)上加入了重力因素加以改進(jìn)，得到了相應(yīng)的位移和荷載函數(shù)（式 7式 72）。第二問中，通過抽油桿柱的摩擦功率得到了阻尼系數(shù)的求解公式，并給出了迭代求解阻尼系數(shù)的算法和迭代流程圖（圖 9）。 本問題的研究對(duì)提高抽油機(jī)泵效和產(chǎn)油量有重要的意義。 關(guān)鍵詞 ： Gibbss模型，阻尼系數(shù)，傅里葉系數(shù)，有效沖程 2 1．問題重述 目前，開采原油廣泛使用的是有桿抽油系統(tǒng)（垂直井，如圖 1）。電機(jī)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為抽油桿上下往返周期運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)設(shè)置在桿下端的 泵 的兩個(gè)閥的相繼開閉，從而將地下上千米深處蘊(yùn)藏的原油抽到地面上來。通過懸點(diǎn)示功圖可以初步診斷該井的工作狀況，如產(chǎn)量、氣體影響、閥門漏液、沙堵等等。要精確診斷油井的工作狀況，最好采用泵功圖。然而，泵在地下深處，使用儀器測(cè)試其示功數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)困難大、成本高。因此，通過數(shù)學(xué)建模，把懸點(diǎn)示功圖轉(zhuǎn)化為桿上任意點(diǎn)的示功圖（統(tǒng)稱為地下示功圖）并最終確定泵功圖，以準(zhǔn)確診斷該井的工作狀況，是一個(gè)很有價(jià)值的實(shí)際問 題。 請(qǐng)解決以下問題： 問題一：光桿懸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律 電機(jī)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)通過四連桿機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)槌橛蜅U的垂直運(yùn)動(dòng)。假設(shè)驢頭外輪廓線為部分圓弧、電機(jī)勻速運(yùn)動(dòng)，懸點(diǎn) E 下只掛光桿（光桿下不接其它桿，不抽油，通常用來調(diào)試設(shè)備）。請(qǐng)按附錄 4給出四連桿各段尺寸，利用附件 1 的參數(shù)，求出懸點(diǎn) E 的一個(gè)沖程的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：位移函數(shù)、速度函數(shù)、加速度函數(shù)。并與有荷載的附件 1的懸點(diǎn)位移數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。 問題二：泵功圖計(jì)算 請(qǐng)使用 Gibbs 模型，給出由懸點(diǎn)示功圖轉(zhuǎn)化為泵功圖的詳細(xì)計(jì)算過程，包括：原始數(shù) 據(jù)的處理、邊界條件、初始條件、求解算法；附件 1 是只有一級(jí)桿的某油井參數(shù)和懸點(diǎn)示功數(shù)據(jù)，附件 2 是有三級(jí)桿的另一油井參數(shù)和懸點(diǎn)示功數(shù)據(jù)，利用它們分別計(jì)算出這兩口油井的泵功圖數(shù)據(jù)；并分別繪制出兩油井的懸點(diǎn)示功圖和泵功圖（每口井繪一張圖，同一井的懸點(diǎn)示功圖與泵功圖繪在同一張圖上，請(qǐng)標(biāo)明坐標(biāo)數(shù)據(jù)）。 問題三：泵功圖的應(yīng)用（下面 2小問選作一問。 鼓勵(lì)全做 ） 1）建立 2 個(gè)不同的由泵功圖估計(jì)油井產(chǎn)量的模型，其中至少一個(gè)要利用“有效沖程”；并利用附件 1 和附件 2 的數(shù)據(jù)分別估算兩口油井一天（ 24 小時(shí)）的產(chǎn)液量。（單位：噸，這里所指 的液體是指從井里抽出來的混合液體） 2）如圖 5（ C）形式的泵功圖表示泵內(nèi)有氣體，導(dǎo)致泵沒充滿。請(qǐng)建立模型或算法，以由計(jì)算機(jī)自動(dòng)判別某泵功圖數(shù)據(jù)是否屬于泵內(nèi)有氣體的情況。并對(duì)附件 附件 2對(duì)應(yīng)的泵功圖進(jìn)行計(jì)算機(jī)診斷是否屬于泵內(nèi)充氣這種情況。 問題四：深入研究的問題（下面 2小問選作一問。 鼓勵(lì)全做 ） 1）請(qǐng)對(duì) Gibbs 模型進(jìn)行原理分析，發(fā)現(xiàn)它的不足。在合理的假設(shè)下，重新建立抽油系統(tǒng)模型或?qū)ΜF(xiàn)有模型進(jìn)行改進(jìn)；并給出由懸點(diǎn)示功圖轉(zhuǎn)化為泵功圖的詳細(xì)計(jì)算過程，包括：原始數(shù)據(jù)的處理、邊界條件、初始條件、求解算法；利用附件 附件 2 的數(shù)據(jù)重新進(jìn)行計(jì)算；對(duì)計(jì)算結(jié)果與問題二的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，分析你的模型的優(yōu)缺點(diǎn)。 2） Gibbs 模型在數(shù)學(xué)上可簡(jiǎn)化為 “波動(dòng)方程”： 222u u uact x t? ? ???? ? ? 其中a為已知常數(shù)， c稱為阻尼系數(shù)，鑒于大多數(shù)的阻尼系數(shù)公式 [1][2]是作了諸多假設(shè)后推出的，并不能完整地反應(yīng)實(shí)際情況。如果能從方程本身和某些數(shù)據(jù)出發(fā)用數(shù)學(xué)方法估計(jì)參數(shù) c，貢獻(xiàn)是很大的。對(duì)此，請(qǐng)你進(jìn)行研究，詳細(xì)給出計(jì)算 c 的理論推導(dǎo)過程并盡可能求出 c。如果需要題目之外的數(shù)據(jù)，請(qǐng)用字母表示之并給出計(jì)算 c 的推導(dǎo)過程。 3 2．模 型假設(shè) 1．深井泵質(zhì)量合格工作正常。 2．不考慮活塞在上下沖程中抽油桿柱所受到的摩擦力、慣性力、振動(dòng)荷載和沖擊荷載等的影響。 3．力在抽油桿中的傳遞是瞬時(shí)的，閥的起落也是瞬時(shí)的。 4．抽油設(shè)備在工作過程中不受沙、蠟、水和溫度等因素的影響。 。 3．通用符號(hào)說明 序號(hào) 符號(hào) 符號(hào)說明 1 0? 0? 為游梁初始擺角 2 w w 為曲柄轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 3 H H 為 O? 到坐標(biāo)橫軸的距離 4 E E 為鋼桿彈性模量 5 rA rA 為抽油桿柱在 x 截面處的截面積 6 I I 為 O? 到坐標(biāo)縱軸的距離。 7 ES ES 為任意時(shí)刻懸點(diǎn)位移 8 ?J ?J 為 J 對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù) 9 ?? ?? 為 ? 對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù) 10 ?? ?? 為游梁擺動(dòng)的角速度 11 ??? ??? 為 任意時(shí)刻游梁擺動(dòng)的角加速度 4．問題一 ：光桿懸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律 問題分析 題目要求根據(jù)附錄 4 給出的四連桿各段尺寸，利用附錄 1 的參數(shù)，求出 懸點(diǎn) E 的一個(gè)沖程的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：位移函數(shù)、速度函數(shù)、加速度函數(shù)。并與有荷載的附件 1 的懸點(diǎn)位移數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。 有桿抽油系統(tǒng)的懸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移、速度和加速度，是抽油機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及力學(xué)分析的重要運(yùn)動(dòng)參數(shù)。考慮到有桿抽油系統(tǒng)以游梁支點(diǎn)和曲柄軸中心的連接線做固定桿，以曲柄、連桿和游梁后臂為三個(gè)活動(dòng)桿。我們可從有桿抽油系統(tǒng)四連桿機(jī)構(gòu)的幾何關(guān)系和運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)出發(fā)，建立游梁的擺動(dòng)方程，通過建立的游梁的擺動(dòng)方程得出游梁擺角的變化規(guī)律，進(jìn)而求解懸點(diǎn) E 的一個(gè)沖程的運(yùn)動(dòng)規(guī) 4 律（位移函數(shù)、速度函數(shù)、加速度函數(shù)）建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后聯(lián)系到實(shí)際情況對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化、求解，最后利用所求結(jié)果與有荷載的附件 1 的懸點(diǎn)位移數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。 有桿抽油系統(tǒng)四連桿運(yùn)動(dòng)函數(shù)計(jì)算 游梁擺動(dòng)方程的建立 有桿抽油系統(tǒng)四連桿幾何結(jié)構(gòu)如圖 1 所示。假設(shè)曲柄沿順時(shí)針方向做角速度為 w 的勻速周期運(yùn)動(dòng)。 ?0t 時(shí)刻，曲柄滑塊 D 位于上頂點(diǎn)（ 0=? ）， AB 平行于水平面， E 對(duì)應(yīng)坐標(biāo)原點(diǎn)（稱為 E 的下死點(diǎn)）， E 的位移為 0； D 運(yùn)動(dòng)到下頂點(diǎn)（ =??）時(shí)， E 的位移到達(dá)最大（稱為 E 的上死點(diǎn)）； D 接著運(yùn)動(dòng)到上頂點(diǎn)（ 2=??）時(shí)， E 又回到位移為 0的位置，完成一個(gè)周期（即一個(gè)沖程） [1,2]。 圖 1 有桿抽油系統(tǒng)四連桿幾何結(jié)構(gòu)圖 其中： YOB ???， COD ???， OOM ????， MOD ????,OA a? ， OB b? ，BD L? ,OD J? ,OO K?? ,OD r? ? ,H 為 O? 到坐標(biāo)橫軸的距離， I 為 O? 到坐標(biāo)縱軸的距離。 在 OBD? 中，根據(jù)余弦定理可得 [3,4]： ? ?2 2 2 2 c o s ( )L b J b J ? ? ?? ? ? ? ? （ 1） 得 2 2 21c o s2b J LbJ? ? ?? ????? ? ????? （ 2) 由幾何關(guān)系可得： ? ? ? ?22s i n c o sJ I r H r??? ? ? ? （ 3） 1 sinc o sIrtg Hr ?? ?? ???? ????? （ 4） 可知式中 wt?? 。 綜上得游梁的擺動(dòng)方程為： 5 ? ? ? ?2 2 21221c o s2sin c o ssinc o sb J LbJJ I r H rIrtgHrwt? ? ?????????? ????? ? ?? ??????? ? ? ? ??? ????? ??????? ?? (5) 懸點(diǎn)位移函數(shù) 游梁擺動(dòng)時(shí)，因前、后臂轉(zhuǎn)動(dòng)的角度相等，對(duì)于任意時(shí)刻，游梁的角位移 ??為 [3,4] 0? ? ?? ? ? 式中 0? 為游梁初始擺角，即 0t? 時(shí)刻游梁與縱坐標(biāo)方向的夾角，故這里0 2???。懸點(diǎn) E 的運(yùn)動(dòng)情況可以看做圖中 A 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，故任意時(shí)刻懸點(diǎn)位移 ES 為 2 2 21c os22EA b J LS S a bJ? ????????? ? ? ????????? （ 6） 其中： ? ? ? ?s i n c o sJ I r H r??? ? ? ? 1 sinc o sIrtg Hr ?? ?? ???? ????? 懸點(diǎn)速度函數(shù) 將式（ 2）兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間 t 求導(dǎo)數(shù)，可得游梁擺動(dòng)的角速度 ?? 為 [3,4] ? ?? ?c ossi nJ JbJ ????????? ? ???? （ 7） 其中： ?J 和 ?? 為 J 和 ? 對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。由式（ 3）和式（ 4）得 si n( )J wr ????? （ 8） cos ( )wrJ? ? ???? （ 9） 將式（ 8）和式（ 9）帶入式（ 7）得 ? ?? ?c os sin( ) c os( )sinJ wrwrbJ J??? ? ? ? ?????? ? ? ? ?? （ 10） 整理的得 ? ? ? ?? ?s in s ins inwr J bbJ? ? ? ?? ??? ? ?????? ? ? （ 11） 由幾何關(guān)系不難得到 ? ? ? ?s in s inJK? ? ? ?? ? ? （ 12）其中： 22K I H?? 1 Itg H? ?? 將式 (12)帶入式（ 11）中，得游梁擺動(dòng)的角速度 ?? 為 6 ? ? ? ?? ?s in s ins inw r K bbJ? ? ? ?? ??? ? ?????? ? ? （ 13） 游梁擺動(dòng)時(shí)，因前、后臂的角速度相等，故任意時(shí)刻懸點(diǎn)的速度 EV 為 ? ? ? ?? ?s i n s i n= s i nEAa w r K bV V a bJ ? ? ? ?? ??? ? ???????? ? （ 14） 懸點(diǎn)加速度函數(shù) 將式（ 13）兩邊同對(duì)時(shí)間 t 求導(dǎo)，整理得任意時(shí)刻游梁擺動(dòng)的角加速度 ??? 為 ? ? ? ? ? ? ? ?22c os c os 2 c os c ossin( + )w r K b bwrbJ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ? ??????? ? （ 15） 游梁擺動(dòng)時(shí)，因前、后臂的角速度相等，故任意時(shí)刻懸點(diǎn)的速度EAW W a?????為 ? ? ? ? ? ? ? ?c o s c o s 2 c o s c o ssin ( + )E w r K b b wrWa bJ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ?????? （ 16） 對(duì)于一定型號(hào)的抽油機(jī)，其尺寸 ? ?, , , , ,a b L H I r 是已知的，給定曲柄旋轉(zhuǎn)的角速度 w 或轉(zhuǎn)速 n ，應(yīng)用以上公式便可計(jì)算各運(yùn)動(dòng)參數(shù) [3]。 有桿抽油系統(tǒng)四連桿運(yùn)動(dòng)模型 實(shí)際抽油機(jī)的 /rL值是不可忽略的，特別式?jīng)_程長(zhǎng)度較大時(shí)，忽略后會(huì)引起很大