【正文】 全全 第第 九九 屆屆 ““ 華華 為為 杯杯 ”” 全全 國國 研研 究究 生生 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 競競 賽賽 學(xué) 校 山東 青島科技大學(xué) 參賽隊號 隊員姓名 1 第第 九九 屆屆 ““ 華華 為為 杯杯 ”” 全全 國國 研研 究究 生生 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 競競 賽賽 題 目 有桿抽油系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模及診斷 摘 要： 本文主要研究有桿抽油系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模及診斷問題。 針對問題一， 本文從有桿抽油系統(tǒng)四連桿結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系和運動特點出發(fā)，首先建立了游梁的擺動方程，進而求得了懸點 E 運動的數(shù)學(xué)模型（式（ 19）），并根據(jù)題給數(shù)據(jù)對模型進行了 求解并得到了運動規(guī)律曲線（如圖 3），最后與有荷載的附件 1的懸點位移數(shù)據(jù)進行了比較（見表 1）。 針對問題二，首先利用分離變量法將 Gibbs 波動方程拆分為位移函數(shù)和荷載函數(shù)，并對其進行傅里葉級數(shù)展開，得出了懸點處隨時間變化的位移和荷載函數(shù)，求得了泵隨時間變化的位移和荷載函數(shù)，進而計算出兩口油井的泵功圖數(shù)據(jù)（表 表 4），繪制出了兩油井的懸點示功圖和泵功圖（圖 圖 6）。 針對問題三，本文選擇對第 2問（泵內(nèi)氣體判斷）進行研究。首先對泵內(nèi)氣體影響情況進行了分析，然后給出了有效沖程的計算方法，在此基礎(chǔ)上提出了泵內(nèi)是否 充氣的判別算法，并根據(jù)所給數(shù)據(jù)求解判斷出口井 1泵內(nèi)有氣，口井 7泵內(nèi)無氣。 針對問題四，第一問中，首先分析了 Gibbs 波動方程建立的過程，認(rèn)為 Gibbs模型忽略了重力的影響，在 Gibbs 模型的基礎(chǔ)上加入了重力因素加以改進，得到了相應(yīng)的位移和荷載函數(shù)（式 7式 72）。第二問中，通過抽油桿柱的摩擦功率得到了阻尼系數(shù)的求解公式，并給出了迭代求解阻尼系數(shù)的算法和迭代流程圖（圖 9）。 本問題的研究對提高抽油機泵效和產(chǎn)油量有重要的意義。 關(guān)鍵詞 ： Gibbss模型，阻尼系數(shù)，傅里葉系數(shù)，有效沖程 2 1．問題重述 目前，開采原油廣泛使用的是有桿抽油系統(tǒng)（垂直井，如圖 1）。電機旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)化為抽油桿上下往返周期運動，帶動設(shè)置在桿下端的 泵 的兩個閥的相繼開閉，從而將地下上千米深處蘊藏的原油抽到地面上來。通過懸點示功圖可以初步診斷該井的工作狀況，如產(chǎn)量、氣體影響、閥門漏液、沙堵等等。要精確診斷油井的工作狀況，最好采用泵功圖。然而，泵在地下深處，使用儀器測試其示功數(shù)據(jù)實現(xiàn)困難大、成本高。因此，通過數(shù)學(xué)建模，把懸點示功圖轉(zhuǎn)化為桿上任意點的示功圖（統(tǒng)稱為地下示功圖）并最終確定泵功圖，以準(zhǔn)確診斷該井的工作狀況，是一個很有價值的實際問 題。 請解決以下問題： 問題一：光桿懸點運動規(guī)律 電機旋轉(zhuǎn)運動通過四連桿機構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)槌橛蜅U的垂直運動。假設(shè)驢頭外輪廓線為部分圓弧、電機勻速運動，懸點 E 下只掛光桿（光桿下不接其它桿，不抽油，通常用來調(diào)試設(shè)備）。請按附錄 4給出四連桿各段尺寸，利用附件 1 的參數(shù)，求出懸點 E 的一個沖程的運動規(guī)律：位移函數(shù)、速度函數(shù)、加速度函數(shù)。并與有荷載的附件 1的懸點位移數(shù)據(jù)進行比較。 問題二：泵功圖計算 請使用 Gibbs 模型，給出由懸點示功圖轉(zhuǎn)化為泵功圖的詳細(xì)計算過程，包括：原始數(shù) 據(jù)的處理、邊界條件、初始條件、求解算法；附件 1 是只有一級桿的某油井參數(shù)和懸點示功數(shù)據(jù)，附件 2 是有三級桿的另一油井參數(shù)和懸點示功數(shù)據(jù)，利用它們分別計算出這兩口油井的泵功圖數(shù)據(jù)；并分別繪制出兩油井的懸點示功圖和泵功圖（每口井繪一張圖，同一井的懸點示功圖與泵功圖繪在同一張圖上，請標(biāo)明坐標(biāo)數(shù)據(jù)）。 問題三：泵功圖的應(yīng)用（下面 2小問選作一問。 鼓勵全做 ） 1）建立 2 個不同的由泵功圖估計油井產(chǎn)量的模型，其中至少一個要利用“有效沖程”；并利用附件 1 和附件 2 的數(shù)據(jù)分別估算兩口油井一天（ 24 小時）的產(chǎn)液量。（單位：噸，這里所指 的液體是指從井里抽出來的混合液體） 2）如圖 5（ C）形式的泵功圖表示泵內(nèi)有氣體，導(dǎo)致泵沒充滿。請建立模型或算法，以由計算機自動判別某泵功圖數(shù)據(jù)是否屬于泵內(nèi)有氣體的情況。并對附件 附件 2對應(yīng)的泵功圖進行計算機診斷是否屬于泵內(nèi)充氣這種情況。 問題四：深入研究的問題（下面 2小問選作一問。 鼓勵全做 ） 1）請對 Gibbs 模型進行原理分析，發(fā)現(xiàn)它的不足。在合理的假設(shè)下，重新建立抽油系統(tǒng)模型或?qū)ΜF(xiàn)有模型進行改進；并給出由懸點示功圖轉(zhuǎn)化為泵功圖的詳細(xì)計算過程，包括：原始數(shù)據(jù)的處理、邊界條件、初始條件、求解算法；利用附件 附件 2 的數(shù)據(jù)重新進行計算；對計算結(jié)果與問題二的計算結(jié)果進行比較，分析你的模型的優(yōu)缺點。 2） Gibbs 模型在數(shù)學(xué)上可簡化為 “波動方程”： 222u u uact x t? ? ???? ? ? 其中a為已知常數(shù)， c稱為阻尼系數(shù)，鑒于大多數(shù)的阻尼系數(shù)公式 [1][2]是作了諸多假設(shè)后推出的，并不能完整地反應(yīng)實際情況。如果能從方程本身和某些數(shù)據(jù)出發(fā)用數(shù)學(xué)方法估計參數(shù) c，貢獻(xiàn)是很大的。對此，請你進行研究，詳細(xì)給出計算 c 的理論推導(dǎo)過程并盡可能求出 c。如果需要題目之外的數(shù)據(jù)，請用字母表示之并給出計算 c 的推導(dǎo)過程。 3 2．模 型假設(shè) 1．深井泵質(zhì)量合格工作正常。 2．不考慮活塞在上下沖程中抽油桿柱所受到的摩擦力、慣性力、振動荷載和沖擊荷載等的影響。 3．力在抽油桿中的傳遞是瞬時的，閥的起落也是瞬時的。 4．抽油設(shè)備在工作過程中不受沙、蠟、水和溫度等因素的影響。 。 3．通用符號說明 序號 符號 符號說明 1 0? 0? 為游梁初始擺角 2 w w 為曲柄轉(zhuǎn)動角速度 3 H H 為 O? 到坐標(biāo)橫軸的距離 4 E E 為鋼桿彈性模量 5 rA rA 為抽油桿柱在 x 截面處的截面積 6 I I 為 O? 到坐標(biāo)縱軸的距離。 7 ES ES 為任意時刻懸點位移 8 ?J ?J 為 J 對時間的導(dǎo)數(shù) 9 ?? ?? 為 ? 對時間的導(dǎo)數(shù) 10 ?? ?? 為游梁擺動的角速度 11 ??? ??? 為 任意時刻游梁擺動的角加速度 4．問題一 ：光桿懸點運動規(guī)律 問題分析 題目要求根據(jù)附錄 4 給出的四連桿各段尺寸，利用附錄 1 的參數(shù)，求出 懸點 E 的一個沖程的運動規(guī)律：位移函數(shù)、速度函數(shù)、加速度函數(shù)。并與有荷載的附件 1 的懸點位移數(shù)據(jù)進行比較。 有桿抽油系統(tǒng)的懸點運動的位移、速度和加速度，是抽油機結(jié)構(gòu)設(shè)計及力學(xué)分析的重要運動參數(shù)?？紤]到有桿抽油系統(tǒng)以游梁支點和曲柄軸中心的連接線做固定桿，以曲柄、連桿和游梁后臂為三個活動桿。我們可從有桿抽油系統(tǒng)四連桿機構(gòu)的幾何關(guān)系和運動特點出發(fā)，建立游梁的擺動方程，通過建立的游梁的擺動方程得出游梁擺角的變化規(guī)律，進而求解懸點 E 的一個沖程的運動規(guī) 4 律（位移函數(shù)、速度函數(shù)、加速度函數(shù)）建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后聯(lián)系到實際情況對模型進行簡化、求解，最后利用所求結(jié)果與有荷載的附件 1 的懸點位移數(shù)據(jù)進行比較。 有桿抽油系統(tǒng)四連桿運動函數(shù)計算 游梁擺動方程的建立 有桿抽油系統(tǒng)四連桿幾何結(jié)構(gòu)如圖 1 所示。假設(shè)曲柄沿順時針方向做角速度為 w 的勻速周期運動。 ?0t 時刻，曲柄滑塊 D 位于上頂點（ 0=? ）， AB 平行于水平面， E 對應(yīng)坐標(biāo)原點（稱為 E 的下死點）， E 的位移為 0； D 運動到下頂點（ =??）時， E 的位移到達(dá)最大（稱為 E 的上死點）； D 接著運動到上頂點（ 2=??）時， E 又回到位移為 0的位置，完成一個周期（即一個沖程） [1,2]。 圖 1 有桿抽油系統(tǒng)四連桿幾何結(jié)構(gòu)圖 其中： YOB ???， COD ???， OOM ????， MOD ????,OA a? ， OB b? ，BD L? ,OD J? ,OO K?? ,OD r? ? ,H 為 O? 到坐標(biāo)橫軸的距離， I 為 O? 到坐標(biāo)縱軸的距離。 在 OBD? 中，根據(jù)余弦定理可得 [3,4]： ? ?2 2 2 2 c o s ( )L b J b J ? ? ?? ? ? ? ? （ 1） 得 2 2 21c o s2b J LbJ? ? ?? ????? ? ????? （ 2) 由幾何關(guān)系可得： ? ? ? ?22s i n c o sJ I r H r??? ? ? ? （ 3） 1 sinc o sIrtg Hr ?? ?? ???? ????? （ 4） 可知式中 wt?? 。 綜上得游梁的擺動方程為： 5 ? ? ? ?2 2 21221c o s2sin c o ssinc o sb J LbJJ I r H rIrtgHrwt? ? ?????????? ????? ? ?? ??????? ? ? ? ??? ????? ??????? ?? (5) 懸點位移函數(shù) 游梁擺動時，因前、后臂轉(zhuǎn)動的角度相等，對于任意時刻，游梁的角位移 ??為 [3,4] 0? ? ?? ? ? 式中 0? 為游梁初始擺角，即 0t? 時刻游梁與縱坐標(biāo)方向的夾角，故這里0 2???。懸點 E 的運動情況可以看做圖中 A 點的運動情況，故任意時刻懸點位移 ES 為 2 2 21c os22EA b J LS S a bJ? ????????? ? ? ????????? （ 6） 其中： ? ? ? ?s i n c o sJ I r H r??? ? ? ? 1 sinc o sIrtg Hr ?? ?? ???? ????? 懸點速度函數(shù) 將式（ 2）兩邊同時對時間 t 求導(dǎo)數(shù)，可得游梁擺動的角速度 ?? 為 [3,4] ? ?? ?c ossi nJ JbJ ????????? ? ???? （ 7） 其中： ?J 和 ?? 為 J 和 ? 對時間的導(dǎo)數(shù)。由式（ 3）和式（ 4）得 si n( )J wr ????? （ 8） cos ( )wrJ? ? ???? （ 9） 將式（ 8）和式（ 9）帶入式（ 7）得 ? ?? ?c os sin( ) c os( )sinJ wrwrbJ J??? ? ? ? ?????? ? ? ? ?? （ 10） 整理的得 ? ? ? ?? ?s in s ins inwr J bbJ? ? ? ?? ??? ? ?????? ? ? （ 11） 由幾何關(guān)系不難得到 ? ? ? ?s in s inJK? ? ? ?? ? ? （ 12）其中： 22K I H?? 1 Itg H? ?? 將式 (12)帶入式（ 11）中，得游梁擺動的角速度 ?? 為 6 ? ? ? ?? ?s in s ins inw r K bbJ? ? ? ?? ??? ? ?????? ? ? （ 13） 游梁擺動時，因前、后臂的角速度相等，故任意時刻懸點的速度 EV 為 ? ? ? ?? ?s i n s i n= s i nEAa w r K bV V a bJ ? ? ? ?? ??? ? ???????? ? （ 14） 懸點加速度函數(shù) 將式（ 13）兩邊同對時間 t 求導(dǎo)，整理得任意時刻游梁擺動的角加速度 ??? 為 ? ? ? ? ? ? ? ?22c os c os 2 c os c ossin( + )w r K b bwrbJ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ? ??????? ? （ 15） 游梁擺動時，因前、后臂的角速度相等，故任意時刻懸點的速度EAW W a?????為 ? ? ? ? ? ? ? ?c o s c o s 2 c o s c o ssin ( + )E w r K b b wrWa bJ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ?????? （ 16） 對于一定型號的抽油機，其尺寸 ? ?, , , , ,a b L H I r 是已知的，給定曲柄旋轉(zhuǎn)的角速度 w 或轉(zhuǎn)速 n ，應(yīng)用以上公式便可計算各運動參數(shù) [3]。 有桿抽油系統(tǒng)四連桿運動模型 實際抽油機的 /rL值是不可忽略的，特別式?jīng)_程長度較大時，忽略后會引起很大