【正文】 入步驟 5 計(jì)算；如果是最后一級(jí)，轉(zhuǎn)入步驟 6。根據(jù)式（ 42）和式（ 43）求 n? 和 n? ；根據(jù)式（ 50）中的公式計(jì)算 nk ， n? ， ()nQx， ()nQx? ， ()nPx? 和 ()nPx。 步驟 3:計(jì)算特殊系數(shù)和函數(shù)。 15 步驟 2： 計(jì)算粘滯阻尼系數(shù) C 。下面給出計(jì)算流程步驟及計(jì)算流程圖 [7]。1 1 1()j n j j n jEA O x? ? ? ?? （ 56） 39。將式（ 27）與式（ 49）比較，可得第 j 級(jí)的抽油桿所用邊界條件的傅里葉系數(shù)。39。 傅里葉系數(shù)的求解 設(shè)從懸點(diǎn)開(kāi)始計(jì)算序號(hào)，各桿截面積分別為 12, , , mA A A ；各桿長(zhǎng)度分別為12, , , nl l l ；各桿的直徑分別為 12, , , nd d d ；傅里葉系數(shù)為 , , ,j n j n j n j n? ? ? ?，其中 j 表示與系數(shù)有關(guān)的抽油桿段。01( , ) ( ) c o s ( ) s in2NnnnF x t E A O x n t P x n tEA? ???????? ? ???????? （ 49） 其中： 13 ( ) c osh si nh ) si n ( si nh c osh ) c os( ) ( si nh c osh ) c os ( c osh si nh ) si n( ) si nh ( ) c osh ) si nc osh ( ) si nhn n n n n n n n n nn n n n n n n n n n nnn n n n n n n nrnn n n n nrO x x x x x x xP x k x x x x x xO x x x xEAxEA? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?????? ? ?2222) c os( ) c osh ( ) si nh ) c os ( 50 )si nh ( ) c osh ) si n()()nnnn n n n n n n nrnn n n n n n nrn n n nnr n nn n n nnr n nxxP x x x xEAx x xEAkEAEA??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ????????????????????? ???? ? ? ???? ??????? ? ??????????????????? 上面各式中 : E 為鋼桿彈性模量； rA 為抽油桿柱在 x 截面處的截面積； ? 為曲柄的角速度。01( , ) ( ) c o s ( ) s in2NnnnF x t E A O x n t P x n tEA? ???????? ? ???????? 所以綜上所述，一級(jí)桿的情況下，抽油桿某一點(diǎn)的位移和荷載函數(shù)如下： （ 1）位移函數(shù)： 001( , ) ( ( ) c o s ( ) s i n )22Nnnnru x t x O x n t P x n tEA?? ???? ? ? ?? （ 48） （ 2）荷載函數(shù)： 39。求解步驟如下 [5,7,8]： 首先令 ( , ) ( ) ( )U x t X x T t? 分別為僅含 x 和 t 的函數(shù)，將其帶入波動(dòng)方程并整理可得： 22( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )T t C T t X xa T t a T t X x?? ? ???? （ 39） 上式每一側(cè)僅含有一個(gè)獨(dú)立變量，因而它等于一個(gè)常數(shù)，令其為 2n? ，帶入（ 39）并將其分離成兩個(gè)常微分方程： 222( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) 0nnT t C T t a T tX x X x???? ?? ? ? ?? ?? ??? （ 40） 方程組（ 40）中（ 1）式的周期解為 () in tT t e ?? ，帶入方程組第一個(gè)等式可得方程（ 40）的特解 n? ： n n ni? ? ??? ? （ 41） 式子中 n? 和 n? 為實(shí)數(shù)，其值為： 21 1 ( )2n na?? ?? ? ? （ 42） 12 21 1 ( )2n na?? ?? ? ? ? （ 43） 當(dāng) 0n? 時(shí)， 0 0?? ，方程組（ 40）變?yōu)椋? ( ) ( ) 0( ) 0T t CT tXx?? ????? ?? ?? （ 44） 其解為： ()()TtX x x?????? ??? （ 45） 方程組（ 40）中第二個(gè)等式解為諧波方程： ( ) s i n c o sn n n nX x x x? ? ? ??? （ 46） 綜合以上各式，可求出方程（ 40）的解為： 1( , ) ( ) ( sin c os )in tn n n nnu x t x x x e?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? （ 47） 再進(jìn)過(guò)變換可得到一級(jí)桿的的情況下，抽油桿某一點(diǎn)的位移函數(shù)，即 Gibbs方程的解析解為： 001( , ) ( ( ) c o s ( ) s i n )22Nnnnru x t x O x n t P x n tEA?? ???? ? ? ?? 由胡克定律，抽油桿柱任意深度 x 截面上的動(dòng)荷載隨時(shí)間的變化為： ( , )( , )r U x tF x t EA x?? ? 即一級(jí)桿的的情況下，抽油桿某一點(diǎn)的荷載函數(shù)為： 39。 特殊函數(shù)和系數(shù)求解 前面的求解過(guò)程給出了根據(jù)懸點(diǎn)測(cè)得的位移和荷載的數(shù)據(jù)推出懸點(diǎn)位移和荷載的函數(shù)，并可以通過(guò) MATLAB 畫出它們的曲線；然后又給出了井下的粘滯阻尼系數(shù)的求解方法及過(guò)程，下面進(jìn)行求解泵的位移和荷載的函數(shù)，進(jìn)而得出泵的示功圖。 將 4 個(gè) 傅氏級(jí)數(shù)帶入到式（ 27）和（ 28）中，即可得出懸點(diǎn)位移和荷載的函數(shù)，并可以通過(guò) MATLAB 畫出懸點(diǎn)位移和荷載的曲線。下面以 n? 為例來(lái)說(shuō)明求解過(guò)程： 實(shí)際中采集的數(shù)據(jù)是離散的，需要將 ()Dt 和 ()ut 離散化，設(shè)在懸點(diǎn)處進(jìn)行等時(shí)采樣，采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 k ，本文取 144。將懸點(diǎn)動(dòng)荷載函數(shù) ()Dt 及光桿位移函數(shù) ()ut 展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)： 01( ) ( c o s sin )2NnnnD t n t n t? ? ? ? ??? ? ?? （ 27） 01( ) ( c o s sin )2NnnnU t n t n t? ? ? ? ??? ? ?? （ 28） 根據(jù)附件 1 和 2 中給出的懸點(diǎn)處采集的離散的位移和荷載的數(shù)據(jù)，用下面的方法計(jì)算 4 個(gè)傅氏系數(shù) ? ?, , ,n n n n? ? ? ? ，然后將傅氏系數(shù)帶入到上面的懸點(diǎn)位移和荷載函數(shù)中。 1．邊界條件 診斷模型的邊界條件是由抽油機(jī)幾何運(yùn)動(dòng)特征決定的，可知： 地面懸點(diǎn)邊界條件： 0( , ) | ( )xu x t u t? ? （ 21） 泵邊界條件： ( , )( , ) ( )u L tau L t P tx? ???? （ 22） 9 2．初始條件 假設(shè)抽油機(jī)運(yùn)行之前，抽油桿柱自由懸掛于已經(jīng)充滿原有的油管中，懸點(diǎn)從下死點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)： 0( , ) | ( )xu x t u t? ? （ 23） 0( , ) | ( ) ( )xrF x t L t W D t? ? ? ? （ 24） 其中： ()ut 為實(shí)測(cè)光桿懸點(diǎn)位移函數(shù)， m ； ()Lt 為光桿懸點(diǎn)荷載函數(shù)， kn ；rW 為抽油桿柱在流體中的重量， n 。經(jīng)推導(dǎo)，它的運(yùn)動(dòng)可用下列微分方程來(lái)描述 [5]： 22222( , ) ( , ) ( , )u x t u x t u x tact x t? ? ???? ? ? （ 20） 其中： ( , )uxt 為抽油桿離地面懸點(diǎn) x 深處在 t 時(shí)刻的位移 ； a 為應(yīng)力波在抽油桿中的傳播速度； c 為阻尼系數(shù)?？梢钥紤]利用分離變量法將 Gibbs 波動(dòng)方程拆分為兩個(gè)函數(shù)（位移函數(shù)和荷載函數(shù)），并對(duì)位移函數(shù)和荷載函數(shù)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，利用題目中給出的地面懸點(diǎn)處隨時(shí)間變換的位移和荷載的離散數(shù)據(jù)，求解出懸點(diǎn)處隨時(shí)間變化的位移和荷載函數(shù)，進(jìn)而得到泵處隨時(shí)間變化的位移和荷載的函數(shù)，從而在此基礎(chǔ)上計(jì)算兩口油井的泵功圖數(shù)據(jù)，并繪制出 兩油井的懸點(diǎn)示功圖和泵功圖。其與題給附件 1 的懸點(diǎn)位移比較如下： 表 1 懸點(diǎn)理論位移與實(shí)際位移數(shù)據(jù) 懸點(diǎn)的理論位移 (m) 懸點(diǎn)的實(shí)際位移 (m) 1 2 3 4 ?? ?? ?? 5．問(wèn)題二：泵功圖計(jì)算 問(wèn)題分析 題目要求 使用 Gibbs 模型，給出由懸點(diǎn)示功圖轉(zhuǎn)化為泵功圖的詳細(xì)計(jì)算過(guò)程，在此基礎(chǔ)上計(jì)算出這兩口油井的泵功圖數(shù)據(jù)，并分別繪制出兩油井的懸點(diǎn)示功圖和泵功圖。在這種簡(jiǎn)化情況下我們對(duì)應(yīng)的有 [] +H O D BD L r?? ? ? （ 17） I OB b?? （ 18） 將式（ 17）和式（ 18）代回 中的相關(guān)公式，可以得到有桿抽油系統(tǒng)四 7 連桿運(yùn)動(dòng)模型如下： ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?2 2 2122221221c os22si n si nsi nc os c os 2 c os c ossi n( + )si n c ossi n( 19)c osEEEb J LSabJaw r K bVbJw r K b bw rWabJJ b r L r rbrtgL r rK b L rbtgL??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????????????????? ? ?????????? ? ?????????? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ???????????? ? ???30 5 , 5 , , 5 , rwtnwa b r L n???????????????????????? ??????? ? ? ? ?? 其中：幾何關(guān)系如圖 1 YOB ???， COD ???， OOM ????，MOD ????,OA a? ， OB b? ， BD L? ,OD J? ,OO K?? ,OD r? ? ； H 為 O? 到坐標(biāo)橫軸的距離； I 為 O? 到坐標(biāo)縱軸的距離； ES 為懸點(diǎn)位移函數(shù)； EV 為懸點(diǎn)速度函數(shù)； EW 為懸點(diǎn)加速度函數(shù)。 有桿抽油系統(tǒng)四連桿運(yùn)動(dòng)模型 實(shí)際抽油機(jī)的 /rL值是不可忽略的，特別式?jīng)_程長(zhǎng)度較大時(shí)，忽略后會(huì)引起很大誤差，為