【正文】 n j n jjjnj n j n j j n n j n n n j n jjjnn j j n n j n n n j n jjj n n j n njnjnxx x xEAP x x x xEAx x xEAkEA222)()?? ? ? ????????????????????????????????? ????nj n n j n njnj n nEA 上面各式中 : E 為鋼桿彈性模量； rA 為抽油桿柱在 x 截面處的截面積； ? 為曲柄的角速度； 計(jì)算流程 本文在所給懸點(diǎn)位移和荷載數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，通過(guò)利用 Gibbs 模型，推導(dǎo)出求泵的位移和荷載的方法及詳細(xì)運(yùn)算過(guò)程。 步驟 4： 判斷是否為最后一級(jí)桿柱。所以我們根據(jù)泵功圖來(lái)確定閥開(kāi)閉點(diǎn)的位置。當(dāng)柱塞從下死角開(kāi)始上行時(shí)，泵腔內(nèi)的壓力 P 減少，泵腔內(nèi)的氣體將發(fā)生膨脹，柱塞緩慢加載。 有效沖 程的計(jì)算 在上行程 SV 開(kāi)啟前，由于 TV 漏失或氣體膨脹，使 P 隨 S 的增大而減小， PF則隨之增大，柱塞加載。泵示功圖上這段曲線為一水平線，其斜率 0?K 。記此處 139。記此處 339。 | | 39。用上面給出的油井產(chǎn)量計(jì)算方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，泵內(nèi)充氣的判定方算法為 [1,10]： 步驟 1：首先通過(guò)求解吉布斯方程，可以求解得到一組離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)).....2,1(),( 00 niYXP iii ?，然后對(duì)它進(jìn)行規(guī)一化處理。 第二問(wèn)要求計(jì)算 的理論推導(dǎo)過(guò)程并盡可能求出 首先分析 Gibbs 波動(dòng)方程建立的過(guò)程， 得到 Gibbs 模型忽略了重力加速度的影響，因此我們?cè)谠械幕A(chǔ)上對(duì) Gibbs 模型加以改進(jìn)，增加抽油桿的重量對(duì)模型的影響，進(jìn)而可對(duì) Gibbs 模型進(jìn)行了相應(yīng)的改進(jìn)。阻尼系數(shù)有 很多的求解方法，本文選擇利用迭代法求取阻尼系數(shù)。 本迭代算法充分利用本題中給出的各種數(shù)據(jù)，但仍有部分?jǐn)?shù)據(jù)在本題中仍未給出，例如：水的體積系數(shù)，若能得到泵入口處的氣油比 ,余隙比，柱塞與泵筒間的漏失等數(shù)據(jù)，則可以得到更為精確的排量系數(shù)，進(jìn)而得到更為精確的粘滯阻力系數(shù) c 。 抽油機(jī)上下往返運(yùn)動(dòng)，如果假定抽油桿作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，抽油桿柱的摩擦功率為： 12110002mr h i i inSSP P c A x TT????? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ???? （ 73） 利用式上式可推導(dǎo)阻尼系數(shù)的計(jì)算公式如下： 212 2 5 .0 8 ( )rhmiiiPP TcSAx??? ??? ????? （ 74） 其中： sgtr AP N?； sgtA 代表光桿示功圖的面積， Nm? ； N 為沖次， 1/s ； 26 71 .1 3 5 1 0h p n xP Q L ???? ； x? 代表水的密度， 3/Kg m ； nL 代表有效提升高度， m ；pQ 代表實(shí)際產(chǎn)液量， 3/md； 1000 tfLPPLL g???? ； cP 為套壓， Pa ； tP 為油壓，Pa ； fL 代表動(dòng)液面深度， m ； 51 .6 7 1 0pum p pum pP A n?? ? ?； pumpA 為泵功圖的面積， Nm? ； 11440p p pQ A SP N?? ； p? 為排量系數(shù)； pA 為泵（油管）的截面積，2m ； 1SP 為光桿有效沖程， m ； N 為沖次， 1/s ； p? ? ?? 沖 縮 ； S= S??沖； ?為引起的沖程損失， m ； S 為光桿沖程， m ；0 1n ii ixEA???? ?； n 為抽油桿級(jí)數(shù)；iA 為各級(jí)抽油桿的橫截面積， 2m ； ix 代表各級(jí)抽油桿的長(zhǎng)度， m ； 0 L p pgA L??? ； pL 為泵深， m 。于是得到描述抽油桿柱動(dòng)力學(xué)特性的波動(dòng)方程： 222u u uact x t? ? ???? ? ? (69) 式中： a 為聲波傳遞速度， ms ； rrEa ?? ； c 為阻尼系數(shù)， 1s? ， errvc A?? 。 （ 3）找到 TV 的開(kāi)啟點(diǎn)記為 3P ，然而 3P 前的 k 個(gè)點(diǎn)并沒(méi)有 1k? 個(gè)點(diǎn)斜率??K ， 3P 后的 k 個(gè)點(diǎn)至少有 1k? 個(gè)點(diǎn)斜率 ??K 。 | | 39。記此處 439。記此處 239。因此，可利用泵示功圖曲線斜率的變化作為確定閥開(kāi)閉點(diǎn)位置的依據(jù)。泵示功圖這一曲線為一減函數(shù)，其斜率 0K? 。但 P 的變化趨勢(shì)是一致的。假定柱塞下行時(shí)，氣體受到等壓縮。 步驟 6： 如果是最后一級(jí)，根據(jù)式（ 58）和式（ 59）計(jì)算出桿柱末端的動(dòng)荷載函數(shù) ( , )Fxt 和位移函數(shù) ( , )Uxt ，進(jìn)而可得出井下示功圖。利用公式（ 38）計(jì)算阻尼系數(shù)。( ) , ( ) , ( ) , ( )j n j j n j j n j j n jO x P x O x P x，其中左邊的腳標(biāo) j 表示與系數(shù)有關(guān)的抽油桿段（第 j 級(jí)抽油桿），右邊 x 的腳標(biāo)j 表示該級(jí)抽油桿末端的截點(diǎn)，由于本文只考慮各級(jí)抽油桿末端的位移和荷載函數(shù)，故有 1jjiixl??? (51) 在直徑不同的兩級(jí)抽油桿接頭處，位移和荷載是連續(xù)的，所以可用第 1j? 級(jí)抽油桿末端的位移和荷載，表示第 j 級(jí)抽油桿的邊界條件。39。即得到懸點(diǎn)處位移和荷 載的函數(shù)，進(jìn)而得到懸點(diǎn)處的示功圖。 求泵功圖的兩個(gè)主要 的前提就是要知道泵隨時(shí)間變化的位移和荷載的函數(shù)，根據(jù)有桿抽油機(jī)的幾何構(gòu)造及工作原理，結(jié)合 Gibbs 模型可以得到地面懸點(diǎn)隨時(shí)間變化的位移和荷載函數(shù)，進(jìn)而通過(guò)轉(zhuǎn)換得到地下泵處隨時(shí)間變化的位移和荷載的函數(shù)。 綜上得游梁的擺動(dòng)方程為： 5 ? ? ? ?2 2 21221c o s2sin c o ssinc o sb J LbJJ I r H rIrtgHrwt? ? ?????????? ????? ? ?? ??????? ? ? ? ??? ????? ??????? ?? (5) 懸點(diǎn)位移函數(shù) 游梁擺動(dòng)時(shí)，因前、后臂轉(zhuǎn)動(dòng)的角度相等，對(duì)于任意時(shí)刻，游梁的角位移 ??為 [3,4] 0? ? ?? ? ? 式中 0? 為游梁初始擺角，即 0t? 時(shí)刻游梁與縱坐標(biāo)方向的夾角，故這里0 2???。 有桿抽油系統(tǒng)的懸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移、速度和加速度，是抽油機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及力學(xué)分析的重要運(yùn)動(dòng)參數(shù)。 3 2．模 型假設(shè) 1．深井泵質(zhì)量合格工作正常。并對(duì)附件 附件 2對(duì)應(yīng)的泵功圖進(jìn)行計(jì)算機(jī)診斷是否屬于泵內(nèi)充氣這種情況。假設(shè)驢頭外輪廓線為部分圓弧、電機(jī)勻速運(yùn)動(dòng)，懸點(diǎn) E 下只掛光桿（光桿下不接其它桿，不抽油，通常用來(lái)調(diào)試設(shè)備）。 本問(wèn)題的研究對(duì)提高抽油機(jī)泵效和產(chǎn)油量有重要的意義。 全全 第第 九九 屆屆 ““ 華華 為為 杯杯 ”” 全全 國(guó)國(guó) 研研 究究 生生 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 競(jìng)競(jìng) 賽賽 學(xué) 校 山東 青島科技大學(xué) 參賽隊(duì)號(hào) 隊(duì)員姓名 1 第第 九九 屆屆 ““ 華華 為為 杯杯 ”” 全全 國(guó)國(guó) 研研 究究 生生 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 競(jìng)競(jìng) 賽賽 題 目 有桿抽油系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模及診斷 摘 要： 本文主要研究有桿抽油系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模及診斷問(wèn)題。 關(guān)鍵詞 ： Gibbss模型，阻尼系數(shù)，傅里葉系數(shù)，有效沖程 2 1．問(wèn)題重述 目前，開(kāi)采原油廣泛使用的是有桿抽油系統(tǒng)（垂直井，如圖 1）。請(qǐng)按附錄 4給出四連桿各段尺寸，利用附件 1 的參數(shù)，求出懸點(diǎn) E 的一個(gè)沖程的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：位移函數(shù)、速度函數(shù)、加速度函數(shù)。 問(wèn)題四：深入研究的問(wèn)題（下面 2小問(wèn)選作一問(wèn)。 2．不考慮活塞在上下沖程中抽油桿柱所受到的摩擦力、慣性力、振動(dòng)荷載和沖擊荷載等的影響?？紤]到有桿抽油系統(tǒng)以游梁支點(diǎn)和曲柄軸中心的連接線做固定桿，以曲柄、連桿和游梁后臂為三個(gè)活動(dòng)桿。懸點(diǎn) E 的運(yùn)動(dòng)情況可以看做圖中 A 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，故任意時(shí)刻懸點(diǎn)位移 ES 為 2 2 21c os22EA b J LS S a bJ? ????????? ? ? ????????? （ 6） 其中： ? ? ? ?s i n c o sJ I r H r??? ? ? ? 1 sinc o sIrtg Hr ?? ?? ???? ????? 懸點(diǎn)速度函數(shù) 將式（ 2）兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間 t 求導(dǎo)數(shù)，可得游梁擺動(dòng)的角速度 ?? 為 [3,4] ? ?? ?c ossi nJ JbJ ????????? ? ???? （ 7） 其中： ?J 和 ?? 為 J 和 ? 對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。可以考慮利用分離變量法將 Gibbs 波動(dòng)方程拆分為兩個(gè)函數(shù)（位移函數(shù)和荷載函數(shù)），并對(duì)位移函數(shù)和荷載函數(shù)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，利用題目中給出的地面懸點(diǎn)處隨時(shí)間變換的位移和荷載的離散數(shù)據(jù)，求解出懸點(diǎn)處隨時(shí)間變化的位移和荷載函數(shù)，進(jìn)而得到泵處隨時(shí)間變化的位移和荷載的函數(shù)，從而在此基礎(chǔ)上計(jì)算兩口油井的泵功圖數(shù)據(jù)，并繪制出 兩油井的懸點(diǎn)示功圖和泵功圖。下面以 n? 為例來(lái)說(shuō)明求解過(guò)程： 實(shí)際中采集的數(shù)據(jù)是離散的，需要將 ()Dt 和 ()ut 離散化，設(shè)在懸點(diǎn)處進(jìn)行等時(shí)采樣，采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 k ，本文取 144。01( , ) ( ) c o s ( ) s in2NnnnF x t E A O x n t P x n tEA? ???????? ? ???????? 所以綜上所述，一級(jí)桿的情況下，抽油桿某一點(diǎn)的位移和荷載函數(shù)如下： （ 1）位移函數(shù)： 001( , ) ( ( ) c o s ( ) s i n )22Nnnnru x t x O x n t P x n tEA?? ???? ? ? ?? （ 48） （ 2）荷載函數(shù)： 39。將式（ 27）與式（ 49）比較，可得第 j 級(jí)的抽油桿所用邊界條件的傅里葉系數(shù)。 步驟 3:計(jì)算特殊系數(shù)和函數(shù)。 16 計(jì)算結(jié)果 利用建立的模型求解 兩口油井的泵功圖數(shù)據(jù)， 得到的相關(guān)系數(shù)、結(jié)果和圖表如下： 開(kāi)始 根據(jù)給出的懸點(diǎn)測(cè)得的數(shù)據(jù)求出 4個(gè)傅里葉系數(shù)，代入到的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，得到的函數(shù)，即可獲得懸點(diǎn)處位移和荷載的曲線 計(jì)算粘滯阻尼系數(shù) C 計(jì)算 4 個(gè)傅里葉系數(shù) 計(jì)算特殊函數(shù)及系數(shù) 是否為最后一級(jí)桿柱？ 是 由邊界條件計(jì)算出荷載函數(shù)與位移函數(shù) 結(jié)束 根據(jù)上下級(jí)桿柱傅氏系數(shù)的關(guān)系重新計(jì)算 否 圖 4 計(jì)算井下示功圖流程圖 17 表 2 傅里葉系數(shù)的前十項(xiàng) ? ? v ? +004 +003 +003 表 3 一級(jí)桿口井 7 泵的位移荷載數(shù)據(jù) 位移（ m） ?? 荷載（ kn） 176446 ?? 注：具體數(shù)據(jù)見(jiàn)所提 文件 圖 5 一級(jí)桿口井 7 懸點(diǎn)示功圖和一級(jí)油桿泵功圖 表 4 三級(jí)桿口井 1 泵的位移荷載數(shù)據(jù) 位移（ m） ?? 荷載（ kn） ?? 注：具體數(shù)據(jù)見(jiàn)所提 文件 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 510203040506070( 位移 : m )(載荷: kn)示功圖 泵功圖 18 圖 6 三級(jí)桿口井 7 懸點(diǎn)示功圖和泵功圖 6．問(wèn)題三：泵功圖的應(yīng)用 —— 泵內(nèi)充氣判斷 問(wèn)題分析 本題是對(duì)泵功圖的應(yīng)用，本文選擇對(duì)第 2問(wèn)（泵內(nèi)氣體判斷）進(jìn)行研究。柱塞下行 H 距離后，氣體的高度變?yōu)?gHH? ，壓力變?yōu)?P ，那么有： ? ?iggPHP HH? ? （ 61） 可見(jiàn)， P 隨 H 的增加而增加。即泵腔內(nèi)氣體的存在將使柱塞在上、下沖程階段緩慢地加載或卸載； SV 、TV 都將延遲開(kāi)啟。 下行程 TV 開(kāi)啟前，由于 SV 漏失或氣體壓縮等，使 P 隨 S 的減小而繼續(xù)增加，