【文章內(nèi)容簡介】 描述和研究， 案例 1某日氣溫變化 案例 2小孩個子的長高 2 函數(shù)在 一 點(diǎn)連 續(xù) 的概念 定義１ 設(shè)函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 的某個鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量的增量0xxx ??? 趨于零時，對應(yīng)的 函數(shù)增量也趨于零，即 ? ? 0)()(l i ml i m0000 ?????? ???? xfxxfy xx， 則稱函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)，或稱 0x 是 )(xf 的一個連續(xù)點(diǎn)． 定義２ 若 )()(lim00 xfxfxx ??，則稱函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)． ② 左右連續(xù)的 概念 若 )()(lim00 xfxfxx ???，則稱函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處左連續(xù)；若 )()(lim00 xfxfxx ???，則稱函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處右連續(xù)． ⑵ 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件 函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)的充分必要條件是 )(xf 在點(diǎn) 0x 處既左連續(xù)又右連續(xù)． 由此可知，函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)，必須同時滿足以下三個條件： ① 函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 的某鄰域內(nèi)有定義， ② )(lim0 xfxx?存在， ③ 這個極限等于函數(shù)值 )(0xf ． ⑶ 函數(shù)在區(qū)間 上連續(xù)的概念 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，稱為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間上連 續(xù)，該區(qū)間也稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間．如果連續(xù)區(qū)間包括端點(diǎn)，那么函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)，在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)． 說明： （ 1） 點(diǎn)連續(xù)性的兩個定義本質(zhì)相同，只是敘述的角度不同。 （ 2） 函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)必須同時滿足三個條件：① 函數(shù)在該點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)有定義； ② 函數(shù)在該點(diǎn)的極限存在； ③ 極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值． （ 3）用“點(diǎn)連續(xù)性的兩個定義”可證明初等函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)性；用“左連續(xù)和右連續(xù)” 可證明分段函數(shù)在其分段點(diǎn)處 的連續(xù)性。 例 1 討論函數(shù) 2)( 2 ?? xxf 在 2?x 處的連續(xù)性． 解 ? ? 62lim)(lim 222 ??? ?? xxf xx，而 6)2( ?f ，即 )2()(lim2 fxfx ??．因此，函數(shù) 2)( 2 ?? xxf 在 2?x 處連續(xù)． 例 2. 討論函數(shù)?????????.2,s in,2,c o s1)( ??xxxxxf 在點(diǎn) 2??x 的連續(xù)性． 解 這是一個分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性問題．由于 )(xf 在點(diǎn) 2??x 的左、右兩側(cè)表達(dá)式不同，所以先討論函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 2??x 的左、右連續(xù)性． 因?yàn)? ? ? ???????????? ???? 212c o s1c o s1l i m)(l i m22???? fxxf xx， ?????????? ???? 212s i ns i nl i m)(l i m22???? fxxf xx， 所以 )(xf 在點(diǎn)2??x左、右連續(xù)，因此 )(xf 在點(diǎn)2??x連續(xù)． 例 ： ? ? 11lim)(lim00 ???? ?? ?? xxf xx， 0lim)(lim 300 ?? ?? ?? xxf xx． 雖然當(dāng) 0?x 時的左、右極限都存在，但當(dāng) 0?x 時，函數(shù) )(xf 并不趨近于某一個確定的常數(shù)，因而當(dāng) 0?x 時 )(xf 的極限不存在，故函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0?x不連續(xù)． 討論函數(shù)??? ???? .0, ,0,1)( 3 xx xxxf在點(diǎn) 0?x 的連續(xù)性． 解 作出它的圖象（如下圖所示）， y 1 O 1 x 1 2 小結(jié) 、區(qū)間連續(xù)性定義及判定條件； 習(xí)題 2： 10 （ 1） （ 2） 《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì) 7 課 題 函數(shù)的連續(xù)性 間斷點(diǎn) 授課班級 略 上課時間 2學(xué)時 課型 理論課 教學(xué)目標(biāo) 知識目標(biāo) ：理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念，會判斷間斷點(diǎn)的類型，了解初等函數(shù)的連續(xù)性 能力目標(biāo) ：能用連續(xù)的定義描述專業(yè)現(xiàn)象的特征 情感目標(biāo) ：通過實(shí)際案例引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)思想融入實(shí)際生活中 任務(wù)描述 任務(wù)一： 會判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型 任務(wù)二：會利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 教學(xué)方法 多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動，提問，啟發(fā)，探討。 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社， 2021. 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 1案例分析導(dǎo)入課題 前面我們了解了函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的情況 ,通過例題看 到了優(yōu)勢函數(shù)在某處是不連續(xù)的情況 ,如練習(xí)題 .此時我們稱函數(shù)為間斷 . 復(fù)習(xí)內(nèi)容 如 : 討論函數(shù)??? ???? .0, ,0,1)( 3 xx xxxf在點(diǎn) 0?x 的連續(xù)性． 解 作出它的圖象（如下圖所示）， y 1 O 1 x 1 2 由上圖可看出： ? ? 11lim)(lim00 ???? ?? ?? xxf xx， 0lim)(lim 300 ?? ?? ?? xxf xx． 雖然當(dāng) 0?x 時的左、右極限都存在，但當(dāng) 0?x 時，函數(shù) )(xf 并不趨近于某一個確定的常數(shù) ，因而當(dāng) 0?x 時 )(xf 的極限不存在，故函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0?x 不連續(xù)． 稱此處函數(shù)間斷 . 點(diǎn) 若函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處不連續(xù)，則稱點(diǎn) 0x 為函數(shù) )(xf 的間斷點(diǎn)． 1． 間斷點(diǎn)的分類 設(shè) 0x 為 )(xf 的一個間斷點(diǎn)，如果當(dāng) 0xx? 時， )(xf 的左極限、右極限都存在，則稱 0x 為 )(xf 的第一類間斷點(diǎn)；否則，稱 0x 為 )(xf 的第二類間斷點(diǎn)． 對于第一類間斷點(diǎn)有以下兩種情形： ① 當(dāng) )(lim0 xfxx ??與 )(lim0 xfxx ??都存在，但不相等時，稱 0x 為 )(xf 的跳躍間斷點(diǎn)； ② 當(dāng) )(lim0 xfxx?存在，但極限不等于 )(0xf 時，稱 0x 為 )(xf 的可去間斷 . 例 4 討論函數(shù) ?????? ,1sin ,)(xxxxf 00??xx， 在點(diǎn) 0?x 處的連續(xù)性． 解 由于函數(shù)在分段點(diǎn) 0?x 處兩邊的表達(dá)式不同，因此，一般要考慮在分段點(diǎn) 0?x 處的左極限與右極限． 因而有 01s i nl i m)(l i m,0l i m)(l i m0000 ???? ???? ???? xxxfxxf xxxx， 而 ,0)0( ?f 即 0)0()(l im)(l im 00 ??? ?? ?? fxfxf xx ， 由函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充要條件知 )(xf 在 0?x 處連續(xù)． 例 5 計(jì)算下列極限： ? ?xex lnarcsinlim? 解 因?yàn)?? ?xlnarcsin 是初等函數(shù)，且 ex? 是它的定義區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)，由定理 3，有 ? ? ? ? 21a rc s i nlna rc s i nlna rc s i nl i m ????? exex． 例 6 計(jì)算下列極限： xxx11lim0??? 。 解 所給函數(shù)是初等函數(shù)，但它在 0?x 處無定義，故不能直接應(yīng)用定理 3．易判斷這是一個“ 00 ” 型的極限問題．經(jīng)過分子有理化，可得到一個在 0?x 處的連 續(xù)函數(shù)，再計(jì)算極限，即 ???? xxx 11lim0 ? ? ???? 11lim0 xx xx 21101 111 1lim0 ??????? xx 4 初等函數(shù) 的 連續(xù) 性 定理 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的．一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的． 最大值和最小值存在定理 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定能取得最大值和最小值． 根的存在定理 設(shè) )(xf 為閉區(qū)間 ? ?ba, 上的連續(xù)函數(shù)，且 )()( bfaf 與 異號，則至少存在一點(diǎn) ),( ba?? ，使得 0)( ??f ． 介值定理 設(shè) )(xf 是閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)函數(shù)，且 )()( bfaf ? ，則對介于)()( bfaf 與 之間的任意一個數(shù) ? ，則至少存在一點(diǎn) ),( ba?? ?? ?)(f ． 判斷函數(shù)連續(xù)性的方法 由于初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)總是連續(xù)，所以函數(shù)的連續(xù)性討論多指分段函數(shù)在分段處的連續(xù)性． 小結(jié) 、區(qū)間連續(xù)性定義及判定條件； ； ； 判定方法； 。 作業(yè) 習(xí)題 2： 10 （ 1） （ 2） 《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì) 8 課 題 《極限》習(xí)題課 授課班級 略 上課時間 2學(xué)時 課型 理論課 教學(xué)目標(biāo) 知識目標(biāo)： 掌握本模塊的知識要點(diǎn) 能力目標(biāo)： 能利用求函數(shù)極限的各種方法求極限 情感目標(biāo)： 通過求函數(shù)極限 的 練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的鉆研精神，強(qiáng)化邏輯思維的能力 任務(wù)描述 任務(wù)一： 掌握本模塊的知識要點(diǎn) 任務(wù)二： 能利用求函數(shù)極限的各種方法求極 教學(xué)方法 多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動，提問，啟發(fā)，探討。 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué)》， 侯風(fēng)波主編，高等教育出版社， 2021. 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 一、知識要點(diǎn) 一、知識要點(diǎn) 函數(shù)的極限，左極限，右極限，數(shù)列的極限，無窮小量，無窮大量，等價無窮小，在一點(diǎn)連續(xù)，連續(xù)函數(shù)，間斷點(diǎn)，第一類間斷點(diǎn)（可去間斷點(diǎn)，跳躍間斷點(diǎn)），第二類間斷點(diǎn) . (1) 1sinlim0 ?? 口口口， (2) e)11(lim0 ??? 口口 口(口 代表同一變量 ). 方法 ⑴ 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限； ⑵ 利用四則運(yùn)算法則求極限； ⑶ 利用兩個重要極限求極限； ⑷ 利用無窮小替換定理求極限； ⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求 00 形式的極限； ⑹ 利用分子，分母同除以自變量的最高次冪求 ?? 形式的極限； ⑺ 利用連續(xù)函數(shù)的函數(shù)符號與極限符號可交換次序的特性求極限； ⑻ 利用“無窮小與有界函數(shù)之積仍為無窮小量”求極限 . 左右極限與極限的關(guān)系，單調(diào) 有界原理，夾逼準(zhǔn)則，極限的惟一性，極限的保號性，極限的四則運(yùn)算法則，極限與無窮小的關(guān)系，無窮小的運(yùn)算性質(zhì)，無窮小的替換定理，無窮小與無窮大的關(guān)系，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) . 二、例題精解 二、例題精解 例 1 求下列極限 : (1) ))(c oss in(limt a n2224πxx xxx ???； (2) 1)12 32(lim ??? ?? xx xx (3) 3111lim xxx ??? (4) )1sinsin(lim0 xxxxx ???； (5) )2sin (lim xxx ????? ； (6) xxxx 1sin53lim2???. 解 (1)由于討論函數(shù) xxxxxf t a n222 )( c o ss i n)( ??? 在4π?x處有定義，而且在4π?x處 連 續(xù) ， 所 以 有])(c oss in[lim t a n2224πxx xxx ???4πt a n222 )4π(c os)4π(s in)4π( ???222 )22()22(16π ??? 116π2 ?? ． (2) 123lim ( )21xxxx ????? 12 1 2lim ( )21 xxx x ?????? ? 12lim (1 )21xx x ????? ? （這是 ?1 型，設(shè)法將其化為 口口 ）口