【導讀】任務描述任務一：了解學習高等數(shù)學的意義、方法、內(nèi)容，學習的要求任務二：通過案例分析，學會建立簡單問題的函數(shù)關系式。料《高等數(shù)學》，侯風波主編，高等教育出版社，2021.和語言表達能力，5練習鞏固，每臺售價為300元，當年產(chǎn)量超過600臺時，鞏固知識,形成技能,反饋矯正.出去了，試寫出本年的收益函數(shù)模型.圖)，截面積為A，A是一常量。取決于預定的排水量.設截面的周長為s，底寬為x，試建立s與x的函數(shù)模型.函數(shù)和初等函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法，決問題的應用意識.與之對應，通過函數(shù))(ufy?的y值與之對應．這樣對于任一2Dx?復合而成的復合函。，其定義域為2D，u稱。例題講清概念的內(nèi)涵和外延，米,試將漏斗的容積V表示為它的高h的函數(shù),點熟練練判斷分段函數(shù)在分段點處極限是否存在.

　　

【正文】 anyx? 的導數(shù) . 解 : 首先 sincosxy x? . 22 22co s s in s ecco sxxyxx?? ??. 同樣 , 2(cot ) cscxx??? 例 6 設 secyx? ，求 y? 等函數(shù)的導數(shù)公式 導數(shù)的基本公式 （ 1）、 。0)( 39。 ?C （ 2）、 。)( 139。 ?? ?? ?xx （ 3）、 。ln)( 39。 aaa xx ? （ 4）、 。)( 39。 xx ee ? （ 5）、 。ln1)(log 39。 axxa ? （ 6）、 。1)(ln 39。 xx ? （ 7）、 。cos)(sin 39。 xx ? （ 8）、 。sin)(cos 39。 xx ?? （ 9）、 。sec)(tan 239。 xx ? （ 10）、 。csc)(cot 239。 xx ?? （ 11）、 。sectan)(sec 39。 xxx ? （ 12） 。c scc o t)(c sc 39。 xxx ?? （ 13）、 。1 1)(a rc sin 239。 xx ?? （ 14）、 。1 1)(a rc c os 239。 xx ??? （ 15）、 。1 1)(a rc ta n239。 xx ?? （ 16）、 .1 1)c ot(239。 xxar c ??? 習 課本習題 3： 1（ 1） （ 10）， 結 (1)熟練記住常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公 式 。 (2)熟練運用求導法則 。 (3)掌握一定的計算技巧 . 《高等數(shù)學》單元課程設計 11 課 題 導數(shù)的運算 — 復合函數(shù)的求導法則 授課班級 略 上課時間 2學時 課型 理論課 教學目標 知識目標 ：掌握復合函數(shù)和反函數(shù)求導的運算法則 能力目標 ：能用復合函數(shù)的導數(shù)解決生活和建筑工程中與變化率相關的問題。 情感目標 ：通過實際案例培養(yǎng)學生勤奮鉆研，積極學習的精神。 任務描述 任務一：怎樣求氣球充氣式半徑增加的速度 任務二：能用復合函數(shù)的求導法則求導 教學方法 多媒體教學，案例驅動，提 問，啟發(fā)，探討。 教學參考資料 《高等數(shù)學》，侯風波主編，高等教育出版社， 2021. 教學過程設計 教學環(huán)節(jié) 教學內(nèi)容 課題引入 任務 1： 設 氣體以 100 3/cms 的常速注入球狀的氣體，假定氣體的壓力不變，那么當半徑為 10cm 時，氣球半徑增加的速率是多少？ 要解決此類問題，我們需先學習復合函數(shù)的求導法則 數(shù)的求導法則 復合函數(shù)求導法則 設 )(ufy? ， )(xu ?? ，則復合函數(shù) ? ?)(xfy ?? 的導數(shù)為 xuuyxy dddddd ?? 復合函數(shù)求導法是函數(shù)求導的核心：利用復合函數(shù)求導法可以解決復合函數(shù)的求導問題，而且還是隱含數(shù)求導法、對數(shù)求導法、參數(shù)方程求導法等的基礎． 復合函數(shù)求導法的關鍵是：將一個比較復雜的函數(shù)分解成幾個比較簡單的函數(shù)的復合形式 . 在分解過程中關鍵是正確的設置中間變量，就是由表及里一步步地設置中間變量，使分解后的函數(shù)成為基本初等函數(shù)或易于求導的初等 函數(shù)，最后逐一求導． 求導時要分清是對中間變量還是對自變量求導，對中間變量求導后，切記要乘以該中間變量對下一個中間變量（或自變量）的導數(shù)．當熟練掌握該方法后，函數(shù)分解過程可不必寫出 例 例 1 設 )1(sinln 2 xy ? ，求 39。y . 解 令 uy ln? ， 2vu? ， wv sin? ， xw 1? ，由復合函數(shù) 求導法則有 xwvuxwvu xwvuwvuyy )39。1()39。( s i n)39。()39。( l n39。39。39。39。39。 2 ???????? xxxxxxxwvu1c o t2)1(1c o s1s i n21s i n1)1(c o s21222 2 ????????????， 如果不寫中間變量，可簡寫成 xxxx xxxxxxy )39。1( s i n1s i n21s i n)39。1( s i n1s i n 1)39。1s i n( l n39。 2222 ?????? xxxxx)39。1(1c o s1s in21s in 12???? xxxxxx1c o t2)1(1c o s1s i n21s i n1222 ???????， 任務 1 解 設在時刻 t 時，氣球的體積與半徑分別為 V 和 r .顯然 34 , ( )3V r r r t??? 所以 V 通過中間變量 r 與時間 t 發(fā)生聯(lián)系，是一個復合函數(shù) 34 [ ( )]3V r t?? 根據(jù)題意，已知 3100 /dV cm sdt ? ，要求當 10r cm? 時 drdt 的值 . 所以得 24 3[ ( )]3d V d rrtd t d t??? 將已知數(shù)據(jù)代人上式得 1 /4dr cm sdt ?? . 案例 2： 若水以 32 /minm 的速度灌入高為 10m ，底面半徑為 5m 的圓錐型水槽中，問當水深為 6m 時 水位的上升速度為多少？ 課本習題 3： 4（ 11） （ 20） 的求導 定理 3 如果單調(diào)連續(xù)函數(shù) )(yx ?? 在點 y 處可導，而且 39。( ) 0y? ? ，那么它的反 函數(shù) )(xfy? 在對應的點 x 處可導，且有 )0)(()(1)( ????? yyxf ??或 yxxydd1dd ? 例 1 函數(shù) .ln),1,0( aayaaay xx ????? 證明： 證明 ,)( 0 ,l o gx 內(nèi)單調(diào)在的反函數(shù) ???? yay ax? ??x R，相應的 ),0( ???? xay 且 ,0ln1 ?? aydydx 有法則Ⅳ ,得 .lnln1)( aaaydydxya xx ?????? 特別地， .)(, xx eeea ??? 時 例 2 函數(shù) .1 1),1(a rc s i n 2xyxxy ????? 證明 證明 :(略 ) 說明 : xxxx 5c o s)5( si n,c o s)( si n ???? 但 .為什么 ? 結 復合函數(shù)的導數(shù)的求導法則 反函數(shù)的求導法則 課本習題 3的部分習題及 案例解答，以書面形式 《高等數(shù)學》單元課程設計 12 課 題 隱函數(shù)的求導法則和高階導數(shù) 授課班級 略 上課時間 2學時 課型 理論課 教學目標 知識目標 ：掌握隱函數(shù)所確定的函數(shù)的導數(shù)，掌握高階導數(shù)的 概念及求法 能力目標 ：會求隱函數(shù)的導數(shù)，能用二階導數(shù)的意義分析實際問題概念 情感目標 ：通過實際案例激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性 任務描述 任務一： 會求隱函數(shù)和參數(shù)式函數(shù)的導數(shù) 任務二：會求高階導數(shù) 教學方法 多媒體教學，案例驅動，提問，啟發(fā)，探討。 教學參考資料 《高等數(shù)學》，侯風波主編，高等教育出版社， 2021. 教學過程設計 教學環(huán)節(jié) 教學內(nèi)容 1. 隱含數(shù)的導數(shù) 一隱含數(shù)的導數(shù) 定義 由 的隱含數(shù)是確定或 xyyxFyxFyxF ),(),(0),( 21 ?? 例 1 求由方程 12 ??? xye yx 確定的隱含數(shù)的導數(shù)).0,0(y? 解 方程兩邊分別對 x 求導，得 yxyye yx ??????? )21(2 解得，xe eyy yx yx ???? ? ?2 22， 所以2121)0,0( ?????y. 例２ 求曲線 .1164 22 ）處的切線方程，在點（ ???? yxyx 解 因為 64 22 ??? yxyx , 所以 ,兩邊分別對 x 求導得 02)(8 ?????? yyyxyx ,則 yx yxy 28????. 因此在 (1,1)處切線的斜率為 3)1,1( ??? ?yk, 從而 ,所求切線方程為 )1(31 ??? xy ,即 .043 ??? yx 例３ 設 .,21)13( 35 yxxxy ????? 求 解 等式兩邊分別取絕對值后再取對數(shù) ,有 2211ln2113ln35ln ?????? xxxy , 兩邊分別對 x求導 ,得 ,2121112113 335 ?????????? xxxyy 所以 , ].)2(2 1)1(2 113 5[21)13( 35 ?????????? xxxxxxy 注 :上述解法求導時可省略取絕對值 . 例４ 設 .),0(2c o s yxxy x ??? 求 解 等式兩邊分別取對數(shù) ,得 ,ln)2(cosln xxy ? 兩邊分別對 x求導 ,得x xxxyy 2c o sln)2(s in2 ???? 所以 , )ln2s i n22c o s(2c o s xxx xxy x ??? . 2. 參數(shù)式函數(shù)的導數(shù) 二 、 參數(shù)式函數(shù)的導數(shù) 求導法則 設由參數(shù)方程 ),()),(().( ),( xfytty tx ????? ?? 確定的函數(shù)為????其中函數(shù) )(),( tt ?? 可導且0)( ??t? , 可導且則函數(shù) )( xfy ? )).,(()( )( ???? ???? tttdxdy 例 5 求擺線 .2().c os1( ),s i n( 時的切線方程為常數(shù)）在 ????? ?? ?? tatay ttax 解 擺線上 ））（的點為（ aat ,222 ?? ??,又 2co tco s1 sin tttdxdy ??? 所以 ,所求切線斜率 14cot ?? ?k,從而所求切線方程為 2 )2( axay ???? ?, 即 02 )4( ???? ayx ?. 導法 二、對數(shù)求導法 由幾個初等函數(shù)能過乘、除、乘方、開方所構成的比較復雜的函數(shù)，冪指函數(shù)()[ ( )]vxy u x? 的求導，在 ()[ ( )]vxy u x? )(xfy? 的兩邊先取對數(shù)，然后利用隱函數(shù)求導法求導，可簡化求導運算． 例 已知 39。s in ),0( yxxy x 求?? ． 解：將 xxy sin? 兩 邊同時取對數(shù)，得 xxy lnsinln ? 將上式兩邊分別對 x 求導，注意到 y 是 x 的函數(shù)，得 ,1s inlnc os1 39。 xxxxyy ????? 于是 ?????? ????????? ??? x xxxxx xxxyy x s i nlnc oss i nlnc os s i n39。． 解法二：因為 xxx exy lnsinsin ?? ，根據(jù)復合函數(shù)的求導法則，得 ? ? ? ? ? ?? ??????? ????????? ??????xxxxxxxxxexxeexyxxxxxxxxxs i nlnc o ss i nlnc o slns i ns i nlns i n39。lns i n39。lns i n39。s i n39。 例 求 )1()1( )2( ???? xxxxy的導數(shù)． 解：將將方程兩邊同時取對數(shù)，得 ? ?)1l n()2l n(ln21ln ????? xxxy， 將上式兩邊分別對 x 求導，得 ,11211211 39。 ?????? ?????? xxxyy 所以 .11211)1( )2(2111211239。 ?????? ????????????? ????? xxxxxxxxxyy 數(shù) 一、高階導數(shù)定義 一般地，函數(shù) )(xfy? 的導數(shù)仍是 x 的可導函數(shù)時 , 則稱的導數(shù))(xfy ??? )( ??y 為函數(shù) )(xfy? 的二階 y??導數(shù)，記作 或 22dxyd 等． 類似地，有 .,...。)(),...,(,...,33)()( 等或或nnnndx yddx ydxfxfyy ?????? 例１ 函數(shù) .,32 )(3 2 nyxxy 求??? 解： ).4(0,12,212,26 )(2 ????????????? nyyxyxxy n 例２ 函數(shù) .,sin )(n