【文章內(nèi)容簡介】 1qaqaqa， (Ⅱ )由 (Ⅰ )知 , 1323?????????nna， 所以數(shù)列 )2(T 的的首項為 221 ??at , 公差312 2 ??? ad ， 15539102121010 ???????S ,即數(shù)列 )2(T 的前 10 項之和為 155。 點評：對于出現(xiàn)等差、等比數(shù)列的綜合問題，一定要區(qū)分開各自的公式，不要混淆。 五．思維總結(jié) 1．等比數(shù)列的知識要點（可類比等差數(shù)列學(xué)習(xí)） （ 1）掌握等比數(shù)列定義nnaa1? ＝ q（常數(shù)）（ n?N），同樣是證明一個數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù)，也可由 an178。 an＋ 2＝ 21?na 來判斷； （ 2）等比數(shù)列的通項公式為 an＝ a1178。 qn－ 1； （ 3）對于 G 是 a、 b 的等差中項，則 G2＝ ab， G＝177。 ab ； （ 4）特別要注意等比數(shù)列前 n 項和公式應(yīng)分為 q＝ 1 與 q≠ 1兩類，當(dāng) q＝ 1時， Sn＝ na1，當(dāng) q≠ 1 時， Sn＝qqan???1 )1(1， Sn＝qqaa n? ??11。 2． 等比數(shù)列的判定方法 ①定義法：對于數(shù)列 ??na ，若 )0(1 ??? qqaa nn，則數(shù)列 ??na 是等比數(shù)列； ②等比中項：對于數(shù)列 ??na ，若 2 12 ?? ? nnn aaa ，則數(shù)列 ??na 是等比數(shù)列。 3． 等比數(shù)列的性質(zhì) ①等比數(shù)列任意兩項間的關(guān) 系：如果 na 是等 比 數(shù)列的第 n 項， ma 是等差數(shù)列的第 m第 11 頁 共 25 頁 項，且 nm? ，公 比 為 q ，則有 mnmn qaa ?? ； ②對于 等比 數(shù)列 ??na ，若 vumn ??? ，則 vumn aaaa ??? ，也就是：???????? ?? 23121 nnn aaaaaa ，如圖所示： ???? ????? ?? ??? ???? ?? ?nnaanaann aaaaaa?????112,, 12321 。 ③若數(shù)列 ??na 是等 比 數(shù)列， nS 是其前 n項的和， *Nk? ，那么 kS ， kk SS ?2 ， kk SS 23 ?成等 比 數(shù)列。 如下圖所示： ??????????? ???????????? ???? ??? ?? ??? ??? ?? ???? ???? ?? ?kkkkkSSSkkSSkkk aaaaaaaa3232k31221S321???? ?????????? 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 28） — 數(shù)列概念及等差數(shù)列 一．課標(biāo)要求： 1． 數(shù)列的概念和簡單表示法 ； 通過日常生活中的實例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù) ； 2． 通過實例，理解等差數(shù)列的概念 ， 探索并掌握等差數(shù)列的通項公式與前 n 項和的公式 ； 3． 能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系 。 二．命題走向 數(shù)列在歷年高 考都占有很重要的地位，一般情況下都是一至二個客觀性題目和一個解答題。對于本將來講，客觀性題目主要考察數(shù)列、等差數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前 n 項和公式等基本知識和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對基本的計算技能要求比較高。 預(yù)測 07 年高考： 1．題型既有靈活考察基礎(chǔ)知識的選擇、填空，又有關(guān)于數(shù)列推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生活中的實際問題的解答題； 2．知識交匯的題目一般是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問題聯(lián)系的綜合題，還可能涉及部分考察證明的推理題。 三．要點精講 1．?dāng)?shù)列的概念 （ 1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫 做數(shù)列； 數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項。記作 na ，在數(shù)列第一個位置的項叫第 1項（或首項），在第二個位置的叫第 2項，??，序號為 n 的項叫第 n 項（也叫通項）記作 na ； 數(shù)列的一般形式： 1a ， 2a ， 3a ，??， na ，??，簡記作 ??na 。 （ 2）通項公式的定義：如果數(shù)列 }{na 的第 n 項與 n 之間的關(guān)系可以用一個公式表示，第 12 頁 共 25 頁 那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式。 例如，數(shù)列 ① 的通項公式是 na = n （ n ? 7， nN?? ），數(shù)列 ② 的通項公式是 na = 1n（ nN?? ）。 說明：① ??na 表示數(shù)列， na 表示數(shù)列中的第 n 項， na = ??fn表示數(shù)列的通項公式；② 同一個數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一。例如， na = (1)n? = 1, 2 1 ()1, 2nk kZnk? ? ?? ?????； ③不是每個數(shù)列都有通項公式。例如， 1， ， ， ，?? （ 3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示： 序號： 1 2 3 4 5 6 項 ： 4 5 6 7 8 9 上面每一項序號與這一項的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個序號集合到另一個數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點看，數(shù)列實質(zhì)上是定義域為正整數(shù)集 N? （或它的有限子集）的函數(shù) ()fn當(dāng)自變量 n 從 1 開始依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值 (1), (2), (3),f f f ??，()fn，??．通常用 na 來代替 ??fn，其圖象是一群孤立點。 （ 4）數(shù)列分類：①按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；②按數(shù)列項與項之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動數(shù)列。 （ 5） 遞推公式定義：如果已知數(shù)列 ??na 的第 1 項（或前幾項），且任一項 na 與它的前 一項 1na? （或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個 數(shù)列的遞推公式。 2．等差數(shù)列 （ 1） 等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第 2 項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母 d 表示。用遞推公式表示為 1 ( 2)nna a d n?? ? ?或 1 ( 1)nna a d n? ? ? ?。 （ 2） 等差數(shù)列的通項公式： 1 ( 1)na a n d? ? ? ； 說明：等差數(shù)列（通常可稱為 A P 數(shù)列）的單調(diào)性： d 0? 為遞增數(shù)列， 0d? 為常數(shù)列， 0d? 為遞減數(shù)列。 （ 3） 等差中項的概念： 定義：如果 a ， A ， b 成等差數(shù)列，那么 A 叫做 a 與 b 的等差中項。其中 2abA ?? a ， A ， b 成等差數(shù)列 ? 2abA ?? 。 （ 4） 等差數(shù)列的前 n 和的求和公式： 11() ( 1 )22nn n a a nnS n a d? ?? ? ?。 四．典例解析 題型 1：數(shù)列概念 例 1． 根據(jù)數(shù)列前 4 項，寫出它的通項公式： （ 1） 1， 3， 5， 7??； 第 13 頁 共 25 頁 （ 2） 2212?， 2313?， 2414?， 2515?； （ 3） 11*2?， 12*3， 13*4?， 14*5。 解析：（ 1） na =2 1n? ； （ 2） na = 2( 1) 11nn??? ； （ 3） na = ( 1)( 1)nnn??。 點評： 每一項序號與這一項的對應(yīng)關(guān)系可看成 是一個序號到另一個數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系，這對考生的歸納推理能力有較高的要求。 例 2． 數(shù)列 ??na 中，已知 2 1 ()3n nna n N ?????， （ 1）寫出 10a ， 1na? ，2na； （ 2） 2793 是否是數(shù)列中的項？若是，是第幾項？ 解析：（ 1）∵ 2 1 ()3n nna n N ?????， ∴ 10a 210 10 1 10933????， 1na? ? ? ? ?2 21 1 1 3133nn nn? ? ? ? ????， 2na ? ?222 421 133nn nn?? ????； （ 2）令 2793 2 13nn??? ， 解方程得 15, 16nn? ? ?或 ， ∵ nN?? ，∴ 15n? ， 即 2793 為該數(shù)列的第 15 項。 點評：該題考察數(shù)列通項的定義，會判斷數(shù)列項的歸屬。 題型 2：數(shù)列的遞推公式 例 3． 如圖 ,一粒子在區(qū)域? ?( , ) | 0, 0x y x y??上運(yùn)動 ,在第一秒內(nèi)它從原點運(yùn)動到點 1(0,1)B ,接著按圖中箭頭所示方向在x軸、 y軸及其平行方向上運(yùn)動，且每秒移動一個單位長度 。 （ 1）設(shè)粒子 從原點到達(dá)點 n n nA B C、 、 時，所經(jīng)過的時間分別為 nnna、 b、 c ，試寫出}nnna{}、 {b }、 {c的通相公式； （ 2）求粒子從原點運(yùn)動到點 (16,44)P 時所需的時間； （ 3）粒子從原點開始運(yùn)動，求經(jīng)過 2020秒后，它所處的坐標(biāo)新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp:/:/新疆。 解析： (1) 由圖形可設(shè) 12(1 , 0) , ( 2 , 0) , , ( , 0)nA A A n，當(dāng)粒子從原點到達(dá) nA 時，明顯有 0C 5C 4C 3C 2B 5B 4B 3B 2A 6A 5A 4A 3A 2C 1B 1A 1 xy第 14 頁 共 25 頁 1 3,a? 211,aa?? 3 1 11 2 3 4 ,a a a? ? ? ? ? 431,aa?? 5 3 32 0 5 4 ,a a a? ? ? ? ? 651,aa?? ? ? 2 1 2 3 ( 2 1) 4 ,nna a n??? ? ? ? 2 2 1 1,nnaa??? ∴ 2 1 1 4 [ 3 5 ( 2 1 ) ]na a n? ? ? ? ? ? ?＝ 241n? , 22 2 1 14nna a n?? ? ?。 22 1 2 1 2 ( 2 1 ) 4 4 1nnb a n n n??? ? ? ? ? ?, 222 2 2 4 4nnb a n n n? ? ? ? ?。 222 1 2 1 ( 2 1 ) 4 2 ( 2 1 ) ( 2 1 )nnc b n n n n n??? ? ? ? ? ? ? ? ?, 2222 2 4 2 ( 2 ) ( 2 )nnc a n n n n n? ? ? ? ? ?, 即 2nc n n??。 （ 2）有圖形知，粒子從原點運(yùn)動到點 (16,44)P 時所需的時間是到達(dá)點 44C 所經(jīng)過得時間 44c 再加（ 44－ 16）＝ 28 秒， 所以 244 44 28 2020t ? ? ? ?秒 。 （ 3）由 2nc n n??? 2020，解得 1 80171 2n ???? ，取最大得 n=44， 經(jīng)計算，得 44c ＝ 19802020，從而粒子從原點開始運(yùn)動，經(jīng)過 1980秒后到達(dá)點 44C ，再向左運(yùn)行 24秒所到達(dá)的點的坐標(biāo)為（ 20， 44） 。 點評：從起始項入手，逐步展開解題思維 。 由特殊到一般，探索出數(shù)列的遞推關(guān)系式，這是解答數(shù)列問題一般方法，也是歷年高考命題的熱點所 在 。 例 4． （ 1）已知數(shù)列 ??na 適合： 1 1a? ， 1na? 22nnaa? ?，寫出前五項并寫出其通項公式； （ 2）用上面的數(shù)列 ??na ，通過等式 1n n nb a a ??? 構(gòu)造新數(shù)列 ??nb ，寫出 nb ，并寫出 ??nb 的前 5 項。 解：（ 1） 1 1a? ，2 23a?，3 24a?，4 25a?，5 26a?，??， 21na n? ?； （ 2） 2 2 21 2 ( 1 ) ( 2 )nb