【正文】 － 1－ 5)=0 ∵ an+an－ 10 , ∴ an－ an－ 1=5 (n≥2)。 （ 2） D； （ 3）解：若 q=1，則有 S3=3a1， S6=6a1， S9=9a1。 例 8．（ 1）（ 2020 江蘇， 18）設(shè)｛ an｝為等差數(shù)列，｛ bn｝為等比數(shù)列， a1＝ b1＝ 1， a2＋ a4＝ b3， b2b4＝ a3．分別求出｛ an｝及｛ bn｝的前 10 項(xiàng)的和 S10及 T10； （ 2）（ 2020 全國(guó)春季北京、安徽， 20）在 1 與 2之間插入 n個(gè)正數(shù) a1， a2， a3??，an，使這 n＋ 2 個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在 1 與 2 之間插入 n 個(gè)正數(shù) b1， b2， b3，??， bn，使這 n＋ 2 個(gè)數(shù)成等差數(shù)列 .記 An＝ a1a2a3?? an， Bn＝ b1＋ b2＋ b3＋??＋ bn. （Ⅰ）求數(shù)列｛ An｝和｛ Bn｝的通項(xiàng)； （Ⅱ）當(dāng) n≥ 7 時(shí)，比較 An與 Bn的大小，并證明你的結(jié)論。 則 A1＝ a1＝ 1178。 q2 A3＝ 1178。 1178。 2 ＝ An Bn＝ 23 179。（ ak－ 2＋ 2），因?yàn)?ak＝ ak－ 2＋ 2≠ 0，所以 ak＋ 1＝ ak－ 1＋ 2， 也就是說(shuō)，當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)，等式 ak＋ 1＝ ak－ 1＋ 2 成立； 根據(jù)①和②，對(duì)于所有 n≥ 3，有 an+1=an－ 1+2。 解析：（ 1）答案： C；解：設(shè)等比數(shù)列 {an}的公比為 q(q0)，由題意得 :a1+a2+a3=21,即 3+3q+3q2=21,q2+q6=0，求得 q=2(q=－ 3舍去 )，所以 a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4 ,8421??故選 C。 （ 2） 在n1和 1?n 之間插入 n個(gè)正數(shù)， 使這 2?n 個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，求所插入的n 個(gè)數(shù)之積。 ∴ a1=q－ 1＞ 0 即 q＞ 1,從而等比數(shù)列｛ an｝為遞增數(shù)列，故前 n 項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為第 n 項(xiàng) 。 （ 2）解法 1：設(shè)插入的 n 個(gè)數(shù)為 nxxx , 21 ? ，且公比為 q， 則 ,2,1,1),1(,11 11 nkqnxnnqqnn kknn ???????? ?? 22 )1(21221 )1(11111 nnnnnnnnn nnqnqnqnqnqnxxxT ???????????? ???? ??? 。lgq=n(2lg2+lg3)－ 21 n(n－ 1)lg3 =(－ 23lg ) 題型 6：等差、等比綜合問(wèn)題 第 10 頁(yè) 共 25 頁(yè) 例 11．（ 2020年廣東卷） 已知公比為 )10( ??qq 的無(wú)窮等比數(shù)列 }{na 各項(xiàng)的和為 9，無(wú)窮等比數(shù)列 }{2na 各項(xiàng)的和為581。 五．思維總結(jié) 1．等比數(shù)列的知識(shí)要點(diǎn)（可類比等差數(shù)列學(xué)習(xí)） （ 1）掌握等比數(shù)列定義nnaa1? ＝ q（常數(shù)）（ n?N），同樣是證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù)，也可由 an178。 2． 等比數(shù)列的判定方法 ①定義法：對(duì)于數(shù)列 ??na ，若 )0(1 ??? qqaa nn，則數(shù)列 ??na 是等比數(shù)列； ②等比中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列 ??na ，若 2 12 ?? ? nnn aaa ，則數(shù)列 ??na 是等比數(shù)列。體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系 。 三．要點(diǎn)精講 1．?dāng)?shù)列的概念 （ 1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫 做數(shù)列； 數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。 說(shuō)明：① ??na 表示數(shù)列， na 表示數(shù)列中的第 n 項(xiàng)， na = ??fn表示數(shù)列的通項(xiàng)公式；② 同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。 （ 4）數(shù)列分類：①按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無(wú)限分：有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列；②按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：?jiǎn)握{(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列。 （ 2） 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： 1 ( 1)na a n d? ? ? ； 說(shuō)明：等差數(shù)列（通?？煞Q為 A P 數(shù)列）的單調(diào)性： d 0? 為遞增數(shù)列， 0d? 為常數(shù)列， 0d? 為遞減數(shù)列。 四．典例解析 題型 1：數(shù)列概念 例 1． 根據(jù)數(shù)列前 4 項(xiàng)，寫出它的通項(xiàng)公式： （ 1） 1， 3， 5， 7??； 第 13 頁(yè) 共 25 頁(yè) （ 2） 2212?， 2313?， 2414?， 2515?； （ 3） 11*2?， 12*3， 13*4?， 14*5。 點(diǎn)評(píng)：該題考察數(shù)列通項(xiàng)的定義，會(huì)判斷數(shù)列項(xiàng)的歸屬。 22 1 2 1 2 ( 2 1 ) 4 4 1nnb a n n n??? ? ? ? ? ?, 222 2 2 4 4nnb a n n n? ? ? ? ?。 點(diǎn)評(píng)：從起始項(xiàng)入手，逐步展開(kāi)解題思維 。 題型 3：數(shù)列的應(yīng)用 第 15 頁(yè) 共 25 頁(yè) 例 5．（ 05 廣東， 14）設(shè)平面內(nèi)有 n 條直線 )3( ?n ，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn)．若用 )(nf 表示這 n 條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則)4(f =____________；當(dāng) 4?n 時(shí)， ?)(nf （用 n 表示）。 答案： 140 85 解析：從題目所給數(shù)據(jù)規(guī)律可以看到：收縮壓是等差數(shù)列 .舒張壓的數(shù)據(jù)變化也很有規(guī)律：隨著年齡的變化，舒張壓分別增加了 3 毫米、 2 毫米，?照此規(guī)律， 60 歲時(shí)的收縮壓和舒張壓分別為 140； 85. 點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為背景，考查了如何把實(shí)際生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力 .它不需要技能、技巧及繁雜的計(jì)算，需要有一定的數(shù)學(xué)意識(shí)，有效地把數(shù)學(xué)過(guò)程實(shí)施為數(shù)學(xué)思維活動(dòng)。 ?2 充分性：設(shè)數(shù)列 }{nc 是公差為 2d 的等差數(shù)列，且 1?? nn bb （ n=1,2,3,… ）， ∵ 21 32 ?? ??? nnnn aaac …… ① ∴ 4322 32 ???? ??? nnnn aaac …… ② ① － ② 得： )( 22 ?? ??? nnnn aacc )(2 31 ??? nn aa )(3 42 ?? ?? nn aa = 21 32 ?? ?? nnn bbb ∵ ???? ?? )( 12 nnnn cccc 221 2)( dcc nn ??? ?? ∴ 21 32 ?? ?? nnn bbb 2d?? …… ③ 從而有 321 32 ??? ?? nnn bbb 22d?? …… ④ ④ － ③ 得： 0)(3)(2)( 23121 ?????? ????? nnnnnn bbbbbb …… ⑤ ∵ 0)( 1 ??? nn bb ， 012 ?? ?? nn bb ， 023 ?? ?? nn bb ， ∴ 由 ⑤ 得： 01 ??? nn bb （ n=1,2,3,… ）， 由此，不妨設(shè) 3dbn? （ n=1,2,3,… ），則 2?? nn aa 3d? （常數(shù)） 故 3121 32432 daaaaac nnnnnn ?????? ??? …… ⑥ 從而 3211 324 daac nnn ??? ??? 31 524 daa nn ??? ? …… ⑦ ⑦ － ⑥ 得： 311 2)(2 daacc nnnn ???? ?? ， 第 17 頁(yè) 共 25 頁(yè) 故311 )(21 dccaa nnnn ???? ?? 3221 dd ??（常數(shù)）（ n=1,2,3,… ）， ∴ 數(shù)列 }{na 為等差數(shù)列。 于是由 ⑥ 得 4An+2An+1=An+1+2An+2+3An+2=d2, ⑨ 從而 2An+4An+1=4An+1+2An+2=d2 ⑩ 由⑨和⑩得 4An+2An+1=2An+4An+1,故 An+1= An ,即 a n+2 a n+1= a n+1 a n(n=1,2,3,? )， 所以數(shù)列 {a n}是等差數(shù)列。 點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式將因式轉(zhuǎn)化為只含首項(xiàng)和公差的式子，變?cè)獪p少，因式就容易處理了。 題型 6：等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式 例 11．（ 1）（ 2020 京皖春， 11）若一個(gè)等差數(shù)列前 3 項(xiàng)的和為 34，最后 3 項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為 390，則這個(gè)數(shù)列有（ ） 項(xiàng) 項(xiàng) 項(xiàng) 項(xiàng) （ 2）（ 2020 全國(guó)理， 3）設(shè)數(shù)列 {an}是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為 12，前三項(xiàng)的積為 48，則它的首項(xiàng)是（ ） （ 3） （ 2020 年全國(guó)卷 II） 設(shè) Sn是 等差數(shù)列｛ an｝的前 n項(xiàng)和，若 36SS ＝ 13 ，則 612SS ＝（ ） A． 310 B． 13 C． 18 D． 19 解析：（ 1）答案： A 設(shè)這個(gè)數(shù)列有 n項(xiàng) 第 19 頁(yè) 共 25 頁(yè) ∵??????????????????????dnnnaSdndaSSSdaSnnn2)1(6332233113313 ∴???????????????3 9 02)1(1 4 6)2(3334)(3111dnnnandada ∴ n＝ 13 （ 2）答案： B 前三項(xiàng)和為 12，∴ a1＋ a2＋ a3＝ 12，∴ a2＝ 33S ＝ 4 a1178。 例 12．（ 1）（ 2020全國(guó)文， 18）設(shè)｛ an｝為等差數(shù)列， Sn為數(shù)列｛ an｝的前 n項(xiàng)和，已知 S7＝ 7， S15＝ 75， Tn為數(shù)列｛ nSn ｝的前 n項(xiàng)和，求 Tn。 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式。 ∵［ 12 12??kk （ 2k+2）］ 2－（ 32 ?k ） 2 ＝ 012 112 )384(484 22 ???? ????? kk kkkk ， ∴ .1)1(232)22(12 12 ???????? kkkkk . 因而 .1)1(2)12 11)(12 11()311)(11( ????????? kkk? 這就是說(shuō)①式當(dāng) n=k+1 時(shí)也成立 . 由（ i），（ ii）知①式對(duì)任何正整數(shù) n都成立 . 由此證得： Sn＞ 21 lgbn+1。 解法二：設(shè)前 m項(xiàng)的和為 b1，第 m+1 到 2m 項(xiàng)之和為 b2，第 2m+1 到 3m項(xiàng)之和為b3，則 b1， b2， b3 也成等差數(shù)列。 點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的基本知識(shí)，及靈活運(yùn)用等差數(shù)列解決問(wèn)題的能力，解法二中是利用構(gòu)造新數(shù)列研究問(wèn)題，等比數(shù)列也有類似性質(zhì) .解法三中，從題給選擇支獲得的信息可知，對(duì)任意變化的自然數(shù) m，題給數(shù)列前 3m 項(xiàng)的和是與 m 無(wú)關(guān)的不變量，在含有某種變化過(guò)程的數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用不變量的思想求解，立竿見(jiàn)影。 解析： .解：（Ⅰ）由題意， an＝ n＋ 21 ，∴ bn＝ 2020（10a） 21?n 。 由 bn＝ 2020（ 107 ） 21?n ≥ 1，得 n≤ ，∴ n=20。 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的解析式，函數(shù)的性質(zhì)，解不等式，等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，及等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法 . 五．思維總結(jié) 1． 數(shù)列的知識(shí)要點(diǎn)： （ 1）數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列是定義在自然數(shù)集 N（或它的有限子集｛ 1， 2， 3，?，n，?｝）上的函數(shù) f（ n），當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值： f（ 1）， f（ 2），f（ 3）， ?， f（ n），?。特別要注意的是，若 a1 適合由 an＝ Sn－ Sn－ 1（ n≥ 2）可得到的表達(dá)式，則 an 不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個(gè)式子。 （ 3）對(duì)于 A 是 a、 b 的等差中項(xiàng)，可以表示成 2 A＝ a＋ b。 （ 5） 等差數(shù)列的判定方法： ①定義法：對(duì)于數(shù)列 ??na ，若 daa nn ???1 (常數(shù) )，則數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列； 第 25 頁(yè) 共 25 頁(yè) ②等差中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列 ??na ，若 212 ?? ?? nnn aaa ，則數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列