柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)(編輯修改稿)
2024-09-25 18:22 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 都是調(diào)和函數(shù)但 不是解析函數(shù)。 2222 ,yxxvyxu????()f z u i v??證 由于 ? ? ? ?? ? ? ?222222222 2 2 22 3 2 2 2 333222 2 2 22 , 2 , 2 , 22, 2 6 6 2, u u u uxyx y x yv y x v x yxyx y x yv x x y v x y xxyx y x y? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????? ??? ? ? ????? ??復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 所以 0 ,0 22222222???????????? y vx vy ux u故 是全平面上的調(diào)和函數(shù)， 除原點外在全平面上調(diào)和。但 ,不滿足 CR條件，所以 不是解析函數(shù)。 yvxu????? ? ?zfu v復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 例 3 證明：若 為調(diào)和函數(shù)且不等于常數(shù)， 則 不是調(diào)和函數(shù)。 u2u證 因為 為調(diào)和函數(shù)，所以 u.02222?????? y ux u又 ? ?222222222 2 xuuxuxu,xuuxu ????????? ?????????? 故同理 ? ?22222222 yuuyuyu ????????????????? ? ? ? 22 2 2 2 222 2 2 0uu uux y x y?? ??????? ? ? ?????? ? ? ??? ??故復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 例 4求形如 的最一般的調(diào)和函數(shù)。 3223 dycxyybxax ???并求其共軛調(diào)和函數(shù)及其對應(yīng)的解析函數(shù)。 3 2 2 3 u a x b x y c x y d y? ? ? ?解 ： 因 為 , 所 以.2 cx6dyy u ,2 b y6axx u 2222????????令 2222 ( 6 2 ) ( 6 2 ) 0uu a c x d b yxy?? ? ? ? ? ? ???復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 故 ???????????????3db3ac 02b6d02c6a 即 的一般形式的調(diào)和函數(shù)為 u3223 dy3a x yy3d xaxu ??其中 為任意常數(shù)。 ,ad因為 22223 6 3 ,3 6 3xyu a x d x y a yu d x a x y d y? ??? ? ? ? ?復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 所以 ? ?2 2 2 2( ) 3 6 3 3 6 3f z a x d x y a y d x a x y d y i? ? ? ? ? ? ?令 ，得 0y ? ? ? 2233f x ax dx i? ??即知 ? ? 2233f z az dz i? ??于是 ? ? ? ? Ci d zazdzz3 di3azf 332 ????? ?復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 例 5 ( , ) ( ) u x yfz已 知 有 下 列 形 式 ， 求 其 共 軛 調(diào) 和 函 數(shù) ，并 寫 出 的 形 式 。? ?2222222222( 1 ) ( 2 ) , 1 0( 3 ) ( ) ( 4 )( 4 ) 2 ( 1 ) , ( 2 )1( 5 ) l n ( ) 2( 6 ) s i n , ( 1 ) 0xyu x y x yyufxyu x y x y x yu x y f iu x yu e x y f???????? ? ? ?? ? ? ?????查看答案 查看答案 查看答案 查看答案 查看答案 查看答案 ( , ) ( )v x y f z說 明 ： 求 共 軛 調(diào) 和 函 數(shù) 及 有 多 種 方 法 ， 下 面 各 用 一 種 方 法 求 解 各 題 。復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 2 , 2u v u vx y y xx y y x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?因 為 依
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