柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)-免費(fèi)閱讀
【正文】 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 2()6 ( ) 3 ( )xv v dx g yx y dx g y x y g y??? ? ? ???故? ? 22224 ( 2 4 ) ( ) 2 ,( ) ( 4 ) ( ) ( 4 2 ) 2 ,xxxyu v u v x x y y x y x yu v x x y y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?,x x y yC R u v v u? ? ? ?由 條 件 ， 并 將 兩 式 相 加 得xyvyxv xy 6,233 22 ????復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 3 2 3323 2 2 3( ) 2 3 2 , ( ) 3 2( ) 3 2 ( 3 2 )g y y y C v x y y y Cu u v v x x y x Cf z x x y x C i x y y y C? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?于 是,2)(,0 3 iCCxxxfy ????? 得令).1(2)( 3 ???? iCzzzf所以2 2 223 39。 3223 dycxyybxax ???并求其共軛調(diào)和函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的解析函數(shù)。d)1(co s)1225?5c os11( 1 )c oszCzzzC????解 ： ） 函 數(shù) 在 內(nèi) 的 處 不 解 析 ，但 在 內(nèi) 卻 是 處 處 解 析 的.12)(c os)!15( 2d)1( c os51)4(5 |izizzzzC???? ????? ??復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 222) ( 1 )zCe dzz ?? 12CC?????? ??????212222)()()()(CzCzdzizizedzizize?????????? ????????????????????????? izzizzizeizei22 )()(2 ?)41s i n(2 ?? ?? i12CC????C2C1C 高階導(dǎo)數(shù)公式的作用 , 不在于通過積分來求導(dǎo) , 而在于利用求導(dǎo)計(jì)算積分 . 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 定義 1 若 ( , )u x y D則 稱 實(shí) 函 數(shù) 為 區(qū) 域 內(nèi) 的 調(diào) 和 函 數(shù) 。內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在區(qū)域 Dyxu ),((稱此為調(diào)和方程或 Laplace方程 ) 0x x y yu u u?? ??? ? ? ?且 滿 足復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 定理 1： 內(nèi)的解析函數(shù)是區(qū)域 Dyxivyxuzf ),(),()( ??內(nèi)的調(diào)和函數(shù)是區(qū)域與 Dvu?證明： ?內(nèi)解析在 Dzf )( ,x y x yu v v u? ? ?,x x y x x y y y x yu v v u v? ? ? ? ? x y yuu? ? ? 同樣可得 x y yvv??且 u, v有任意階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 注： 逆定理顯然不成立，即 對(duì)區(qū)域 D內(nèi)的任意兩個(gè)調(diào)和函數(shù) ()f z u iv f z v iu? ? ? ?及 （ ）不一定是解析函數(shù) . 例如： ? ? 2 2 2 2f z z x y i x yuv? ? ? ? 是 解 析 函 數(shù) ，故 ， 是 調(diào) 和 函 數(shù) ， 但? ? ? ?222f z v iu x y i x y? ? ? ? ?不 再 是 解 析 函 數(shù)uv， ，復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 定義 2 定理 2： ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y??函數(shù) 在區(qū)域 D內(nèi)解析 解析函數(shù)的虛部必為實(shí)部的共軛調(diào)和數(shù) 已知共軛調(diào)和函數(shù)中的一個(gè)，可利用 CR 方程求得另一個(gè)，從而構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)。 3 2 2 3 u a x b x y c x y d y? ? ? ?解 ： 因 為 , 所 以.2 cx6dyy u ,2 b y6axx u 2222????????令 2222 ( 6 2 ) ( 6 2 ) 0uu a c x d b yxy?? ? ? ? ? ? ???復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 故 ?????????????
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