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柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)(更新版)

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【正文】 ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?令得代回得查看原題復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 查看原題 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?,220 , 0222 2 2003 2 2 34 4 24 2 43 3 6 33 3 .xyxyv x x y y x y x y dxx x y y x y x y dy Cx dx x x y y dy Cx x y x y y C??? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????　　　　　　　　　　222222( 3 ) ( ) ( 4 )4 ( ) ( 2 4 )( 4 ) ( ) ( 4 2 )u x y x x y yux x y y x y x yxux x y y x y x yy? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ??是全平面的調(diào) 和函數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 3 2 2 3 4 3 3 ,f z x y x x y y i x x y x y y C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?于是? ? ? ?? ? ? ?3333 0 , ,y f x x i x C zf z z i z C? ? ? ? ?? ? ? ?令得代回，故? ?? ? ,xydyyvvRCyv2yxu42 ??????????????條件，有由　因?yàn)閺?fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform ? ?? ?? ? ? ?22 1 ,2 1 2 ,vxxvuxxyx x d x x x C C????????? ? ? ???? ? ? ? ??而　　　又　　　故　　　為實(shí) 常數(shù) 。但 ,不滿足 CR條件，所以不是解析函數(shù)。復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 柯西積分公式 000( ) ( )ddC z zf z f zzzz z z z??????? 閉路變形原理0 ,zD?設(shè)若 f (z) 在 D內(nèi)解析，則分析： ? ? ? ? ? ?0 0f z f z ???00001( ) d 2 π ( ) .zzf z z if zzz??????DC0z ?復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 一、柯西積分公式 001 ( )( ) d .2 π Cfzf z zi z z? ??? ? ? ?12 C fo r f z diz ? ???????? ??? ?(1) 上述公式稱為柯西積分公式 .通過該公式可以把一個(gè)函數(shù)在 C內(nèi)部任何一點(diǎn)的值 ,用它在邊界上的值表示出來。 2222 ,yxxvyxu????()f z u i v??證由于 ? ? ? ?? ? ? ?222222222 2 2 22 3 2 2 2 333222 2 2 22 , 2 , 2 , 22, 2 6 6 2, u u u uxyx y x yv y x v x yxyx y x yv x x y v x y xxyx y x y? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????? ??? ? ? ????? ??復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 所以 0 ,0 22222222???????????? y vx vy ux u故是全平面上的調(diào)和函數(shù)，除原點(diǎn)外在全平面上調(diào)和。復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 2 , 2u v u vx y y xx y y x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?因為依線積分法，有? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? C2 x y2y2xCdyy2xdxx Cdyy2xdxx2yCdyxudxxuv2y02x0y,x0,0y,x0,0???????????????????????????　　　? ?是調(diào)和

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