柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)(已修改)
2025-08-31 18:22 本頁(yè)面
【正文】 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 柯西積分公式 000( ) ( )ddC z zf z f zzzz z z z??????? 閉路變形原理0 ,zD?設(shè)若 f (z) 在 D內(nèi)解析，則 分析： ? ? ? ? ? ?0 0f z f z ???00001( ) d 2 π ( ) .zzf z z if zzz??????DC0z ?復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 一、柯西積分公式 001 ( )( ) d .2 π Cfzf z zi z z? ??? ? ? ?12 C fo r f z diz ? ???????? ??? ?(1) 上述公式稱(chēng)為柯西積分公式 .通過(guò)該公式可以把一個(gè)函數(shù)在 C內(nèi)部任何一點(diǎn)的值 ,用它在邊界上的值表示出來(lái)。 0( ) ( ),f z DC D DzC定 理 柯 西 積 分 公 式 如 果 在 區(qū) 域 內(nèi) 處 處 解 析 ，為 內(nèi) 的 任 何 一 條 正 向 簡(jiǎn) 單 閉 曲 線 ， 它 的 內(nèi) 部 完 全 含 于為 內(nèi) 的 任 一 點(diǎn) ， 則復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 例 1 計(jì)算 (沿圓周正向 ) dzzzz? ? ?????????4 3211解 由公式 (1)得 dzzdzz zz ?? ?? ???? 44 31211. iii ??? ???41213z dzzz???????????復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 例 2 ? ?????? CzrrzCdzzzz e )2,1(:)2)(1(計(jì)算積分解： ,10 ?? r? ???? Czdzzzze)2)(1(izzeizz?? ?????? 0)2)(1(2復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 0?? ??? 21 CC? ?????2 1)2(Czdzzzzei?3C22C1?1C,21 ?? riei 32 ?? ???1)2(2??????zzzzeii ??復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform ? ??????3 2)1(32Czdzzzzeiei??2)1(232??????zzzzeiiei ???ieiei 3322 ??? ????,2?r ??? ????321 CCC復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform ? ? ? ? ? ?? ? ? ??,2,12!100 ??? ?? ndzzzzfinzfncn?二、解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 其中 為函數(shù) 的解析區(qū)域 內(nèi)圍繞 的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線 ,而且它的內(nèi)部完全含于 。 ??zfCD0zD 一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù) ,而且有各 階導(dǎo)數(shù) .這一點(diǎn)與實(shí)變函數(shù)完全不同 , 關(guān)于解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)我們有 : n定理 : 解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù) ,它的 階導(dǎo)數(shù)為 : n復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 例 3 求下列積分的值 , 其中 C為正向圓周 : | z | = r 1. ?? ??CzCzzzzz d)1(e)2。d)1(co s)1225?5c os11( 1 )c oszCzzzC????解 ： ） 函 數(shù) 在 內(nèi) 的 處 不 解 析 ，但 在 內(nèi) 卻 是 處 處 解 析 的.12)(c os)!15( 2d)1( c os51)4(5 |izizzzzC???? ????? ??復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 222) ( 1 )zCe dzz ?? 12CC?????? ??????212222)()()()(CzCzdzizizedzizize?????????? ????????????????????????? izzizzizeizei22 )()(2 ?)41s i n(2 ?? ?? i12CC????C2C1C 高階導(dǎo)數(shù)
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